奥数课程不定方程教案.docx
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奥数课程不定方程教案
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不定方程
适用学科
适用区域
小学数学
北京
适用年级
课时时长（分钟）
小学六年级
120
知识点
等式的意义
方程的意义
列表
枚举（一一列举）
教学目标
不定方程的定义、常见题型
教学重点
理解不定方程的定义并能解答相关问题
教学难点
对于不定方程的一些需要辨析内容的训练
教学过程
一、复习预习
当方程中未知数的个数比方程的个数多时，我们就称这样的方程为不定方程。
比如：
3x-4y=6，方程只一个，但未知数却有两个，这就是不定方程。
古希腊著名数学家丢番图曾
在其著作《算术》中介绍过关于不定方程，所以不定方程又叫丢番图方程。
很明显，在不定方程3x-4y=6中，x、y的取值有无数个，不定方程的解往往有无数个。
我们这里介绍的不定方程，一般都会有条件限制，比如说上述不定方程中的x、y只能是自然数，这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。
所以，解答这类方程，一定要找出题中明显或隐含的限制条件。
同时，我们这里介绍的不定方程，最主要是介绍不定方程在解答应用题方面的作用。
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二、知识讲解
考点
1
系数上的考虑
如7x+11y=276，我们有两种解法，一是变形为：
x=（276-11y）÷7；二是变形为：
y=
（276-7x）÷11。
我们对照下这两种解法中的取值情况。
第一种：
Y有0---25种取值可能；而第二种X有39种取值可能，很明显，第一种解法比第二种解法相对来说速度会更快些。
但我们换个角度，由于X、Y都是自然数，由上述两种变形可知，X应是7的倍数，应是11的倍数，而1---276中7的倍数有39个，11的倍数有25个，那么，很明显，从倍数上考虑，第二种解法比第一种解法相对来说速度更快些。
所以，在解不定方程时，一定要注意未知数前面的系数，选择恰当的变形来解不定方程。
Y
考点
2
尾数上的考虑
例如解不定方程5X+4Y=59的自然数解。
和的个位数是9，说明5X的个位数字一定是5，那么X一定取奇数；4Y的个位数字一定是4，那么Y只能是1、4、6、11、14。
这样解的过程就容易多了，速度也上来了。
考点
3
奇偶性上的考虑
上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。
就一定是个奇数，那么X取值只能取奇数，如
59是一个奇数，4Y一定是个偶数，那么，
1、3、5、、、、等等，也能起到简便解题过程
5X
的作用。
考点
4
倍数关系上的考虑
例如解不定方程
2X+3Y=21的自然数解。
我们注意到，
21是
3的倍数，
3Y
肯定也是
3
的倍数，2X=21-3Y，那么
2X也应是
3的倍数，这样
X只能取是
3的倍数的数了，如：
0、3、
6等等，这样就能起到简化解题过程的作用了。
三、例题精析
【例题
1】
【题干】一天，张明问李军的生日，李军说：
“将我生日的月份数乘以乘以12，相加后得347。
”你知道李军的生日是几月几日吗？
31，生日的日期数
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【答案】解：
设李军生日的月份数为
x，生日的日期数为
y，列方程：
31x+12y=347
变形后得：
y=34731x（
1）
12
即y=29-3x+5x1
12
∵x、y为整数，且
1≤x≤12，5x-1能被12整除
∴x=5
x=5
把x=5代入（
1），得所列方程的整数
解为:
y=16
答：
李军的生日是
5月
16日。
【解析】如果设李军生日的月份数为x，生日的日期数为y，则原题实际上就是求不定方程
31x+12y=347的正整数解。
【例题
2】
【题干】我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买鸡”这个有名的
数问题：
“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？
”
【解析】该题共有三个未知数，若设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，根据题意可以建立方程则然后进行分析解答。
【答案】解：
设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡（100-x-y）只，可得方程
5x+3y+1×（100-x-y）=100
3
化简整理得：
7x+4y=100
由此有：
1≤x≤
100
即1≤x≤14
7
注意到100和
可能：
4、8、12。
4y
都是
4的倍数，而
7和
4互质，所以
x也应是
4的倍数，
x就是三种
x=4
时，y=18；x=8
时，y=11；x=12
时，y=4。
所以此题有三个答案：
1.买公鸡
4只，
母鸡
18只，小鸡
78只；2.买公鸡
8只，母鸡
11只，小鸡
84只；3.买公鸡
12只，母鸡
4
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只，小鸡84只。
【例题3】
【题干】红旗剧场共有座位
1000个，排成若干排，总排数大于
16，从第二排起，每排比
前一排多一个座位。
问：
居场共有多少排座位？
【解析】设剧声共有x排座位，要找到总座位数与排数的关系，还必须设第一排有座位
m
个，那么第二排有座位（
m+1）个，第三排有座位（m+2）个，，第x排有座位（m+x-1）
个，剧场共有座位m+m
x
1·x个（想一想，这是怎样得到的）
。
因剧场总座位数已知，
2
所以就可以得到有关x和m的一个不定方程。
【答案】解：
设剧场共有x排座排，第一排有m个座位，则第x排有座位（m+x-1）个，
根据题意列方程得：
m+mx1·x=1000
2
将方程变为：
m
1000x1
x2
因为x,m均为整数，所以x为奇数，且x是1000的约数
33
∵1000=2×5
∴1000的奇约数只有
5，25，125
∵x＞16，∴x=5不合题意
又当x=125时，m=8-62，不合题意
当x=25时，m=28，符合题意答：
剧场共有25排座位。
【例题4】
【题干】（《小学生数学报》第九届数学竞赛决赛试题）新世纪学校的学生总数是一个三位数，
平均每个班36个。
统计员提供的学生总数却比实际总人数少180人。
原来，他在记录时粗
心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。
这个学校学生总数最多是多少人？
【答案】解：
设这个学校学生总人数是abc,
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则abc-bac=180
即（100a+10b+c）－（100b+10a+c）=180
化简得a-b=2
这个学校的总人数只能是：
20□，31□，42□，53□，64□，75□，86□，97□。
又知道总人数是
36的倍数，直接除以
36，可知：
总人数只能是
648、756、864或
972。
答：
这所学校的学生总人数最多是
972人。
【解析】假设这个学校总人数是abc,那么abc-bac=180，化简
a－b=2，根据这个不定方程，
结合数的整除性，就可以确定这个学校学生的总人数。
四、课堂运用
【基础】
1.求不定方程7x+11y=276的自然数解
【答案】题中不定方程的限制条件就是
x、y
都是自然数
将不定方程
7x+11y=276
变形为
x=（276-11y）÷7
由于
x、y
都是自然数，说明
276-11y
应该是
7的倍数，
y可以从最小的自然数1开始试验
经过试验，y可取6、13、20
相对应，x=30、19、8
2.大客车有48个座位，小客车有30个座位。
现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位，需要大、小客车各多少辆？
【答案】方法
（一）列举法
通过画表列举的方法，一一尝试，最终把答案找出来。
方法
（二）假设法
假设全部用小客车，需要
10辆，另空出
6个座位
由于题目要求不能有空位，所以首先要弄清楚的是换几辆小客车挪出的空位正好能换成大客
483330+6=96
辆大客车。
所以，需要大客车2辆，小客车7辆
方法（三）不定方程
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由于旅客人数、车辆数都是自然数，所以我们可以列出符合题意的不定方程，并求出它的自然数解。
设需要大客车x辆，小客车y辆
则48x+30y=306
即8x+5y=51
Y=（51-8x）÷5
由于y是自然数，所以51-8x应该是5的倍数
我们不难找出：
x=2；y=7
（另注：
在解这个不定方程时，我们还可以从奇偶数的角度来解。
8x是一个偶数，51是个
奇数，那么
5y肯定是个奇数。
那么
5y的个位数字一定是
5，由于和是51，可见
8x的个位
数字一定是
6，即x=2或7，把它代入不定方程中，很容易得出：
x=2；y=7）
【巩固】
1.学校里共有12
间宿舍，可以住
80人，大宿舍住8人，中宿舍住
7人，小宿舍住
5人，问
中、小宿舍共有多少间？
【答案】设中宿舍x间，小宿舍y间，那么大宿舍就有（
12-x-y）间
则8（12-x-y）+7x+5y=80
即x+3y=16
解得：
y=1、x=13或y=2、x=10或y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1
由于总的宿舍间数是12间，所以前两种答案不符题意。
即y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1
2.某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元;超过10吨的,超过部分按每吨0.80元收费;张
家比李家多交水费3.30元,如果两家的用水量都是整数吨,问张家和李家各交水费多少
元?
（两家所用水量均为整数吨）
【答案】为了便于理解
题中所有单位为元的数字全部转化成以分为单位
这样就没有小数了
由于张家比李家多交水费明一定是张家的用水量超过
330分,而330分既不是
10吨,而李家的用水量不到
45的整数倍
10吨.
也不是
80的整数倍
说
设张家用水
x吨,李家用水
y吨,且x>10,y<10,x,y
均为自然数
则（x-10）×80+10×45-45y=330
即
16x-9y=136
x=（136+9y）/16=8+（8+9y）/16
y
可取
1、2、3、、、、9，经尝试，只有
y=8时，x
才是整数，
x=13
所以，张家交水费：
10×45+3×80=690（分）
=6.9
元
李家交水费
:
6.9-3.3=3.6
元
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【拔高】
1.今年,祖父的年龄是小明的
6倍,几年后,祖父的年龄将是小明的
5倍.又过几年后,祖父的
年龄是小明的4倍.求祖父今年多少岁?
【答案】设小明今年x岁,祖父今年就是
6x
岁,y年后,祖父的年龄是小明的5倍
则5（x+y）=6x+y
即x=4y
又设m年后,祖父的年龄是小明的
4
倍,
则4（x+y+m）=6x+y+m即2x=3y+3m
把x=4y代入2x=3y+3m,
得8y=3y+3m即5y=3my=（3/5）m
由于y是整数,所以m=5、10、15、20、、、
可算出y=3、6、9、12、、、、
那么x=12、24、36、48、、、
那祖父的年龄就是72、144、、、、
很明显，只有当m=5，y=3，x=12时，祖父的年龄是72岁才符合实际。
2.某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每
人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。
后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每
人发4枝，三等奖每人发1枝。
问：
一、二、三等奖的学生各有几人？
【答案】设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。
则
6x+3y+2z＝22①
9x+4y+z＝22②
由②×2－①，得12x+5y＝22
y
22－12x
x
＝1
＝
5
x只能取1。
y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为
y＝2
z
＝5
故一等奖的学生有
1人，二等奖的学生有
2人，三等奖的学生有
5人。
课程小结
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1、在一个问题中，如果未知数的个数多与题目中所给的条件，就会列出未知数比方程的个数多的方程，这样的方程叫做不定方程。
2、不定方程的解题思路是：
给出一个未知数的值，代入求另一个的值。
3、解题步骤：
先根据题目中的条件缩小未知数的范围，再逐个去试验。
课后作业
【基础】
求下面方程组的自然数解。
1.4x+3y－2z＝72.7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝21
5x+7y+9z
＝52
【答案】
1.x＝1
y＝3
z＝3
2.x＝3x＝4
y＝4
y
＝2
z＝1
z
＝2
【巩固】
1.王老师家的电话号码是七位数
将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得
9063;将
前三位组成的数与后四位组成的数相加得
2529.王老师家的电话号码是多少？
【答案】
设电话号码的前三位为
x,后三位y,第四位为a（a≠0）.由题意有
10xa
y9063
①
x1000ay2529
②
①-②,化简得.
当a=1时,x=837,y=692;
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当a≥2时,y<0,不合题意.
所以电话号码为8371692.
2.某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工多少人？
xy
【答案】设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子人.这个条件说明3|x+y.
3
由已知
10x
13y
x
y
6216
3
即
4x
5y
72
4（x
y）
y
72
由12|4（x+y）,12|72.
所以12|y,又y
724x
≤
72
144
.
5
5
5
所以，y=12,x=3.
即有女职工
3人.
【拔高】
1.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每
人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:
获一、二、三等奖的学生各几人?
【答案】设获一、二、三等奖的人数分别为x,y,z,根据题意有:
6x
3y
2z
22
①
9x
4y
z
22
②
2×②得
18x
8y
2244
③
③-①得12x5y22④
解④求得整数解为x=1,y=2.
代入②可求得z=5.
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答:
获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.
2.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若
干,其中B种个数多于
A种个数,找回了几张100元和几张
10元的（10元的不超过9张）.如
把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100元和几张
10元的钞票张数也恰好相反
.问
购A物几个,B物几个?
【答案】设买
A
种物品
a
个,
B
种物品
b
个,找回100元的
张,10元的
n
张,则有:
m
590a
670b
10000
100m
10n
①
670a
590b
10000
10m
100n
②
其中>,
<10.
ban
①-②得
8（b
a）9（n
m）
③
所以89（nm）,故8nm,
由b>a,n<10知m
由此推知n=9,m=1,b=a+9.
代入①式,解得a=3.B=12.
答:
购A物3个,B物12个.
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