必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第5讲 充分条件与必要条件.docx

1、必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语第5讲 充分条件与必要条件第5讲 充分条件与必要条件知识点一：命题【知识梳理】命题【要点讲解】1判断一个语句是命题的两个要素：(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；(2)可以判断真假2命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可【知识精讲】题型一：命题的判断例1判断下列语句是不是命题，并说明理由(1) 是有理数；(2)3x25；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)x2x70.解(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题(2)因为无法判断“3x25”的真假，所以它不是命题(3)“梯形是不是平面图形

2、呢？”是疑问句，所以它不是命题(4)因为x2x720，所以“x2x70”是真的，故是命题【变式训练】判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题(2)是陈述句，能判断真假，是命题(3)不是陈述句，不是命题(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.【方法技巧总结】判断语句是不是命题的策略判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是题型二：判断命题的真假例2判

3、断下列命题的真假，并说明理由(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x4时，2x10；(3)若x3或x7，则(x3)(x7)0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列解(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形(2)是假命题，x4不满足2x10.(3)是真命题，x3或x7能得到(x3)(x7)0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a10，公比q1时，该数列为递减数列【变式训练】下列命题中真命题有()mx22x10是一元二次方程；抛物线yax22x1与x轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集A1个B2个 C3个 D4个解析：选A中当m0时，

4、是一元一次方程；中当44a0时，抛物线与x轴无交点；是正确的；中空集不是本身的真子集【方法技巧总结】命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法题型三：命题的结构形式例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)6是12和18的公约数；(2)当a1时，方程ax22x10有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自

5、然数，当yx2时，y4，x2.解(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数是真命题(2)若a1，则方程ax22x10有两个不等实根是假命题(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题(4)已知x，y为非零自然数，若yx2，则y4，x2.是假命题【变式训练】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)奇数不能被2整除；(2)当(a1)2(b1)20时，ab1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除是真命题(2)若(a1)2(b1)20，则ab1.是真命题(3)若两个三角形是相似三

6、角形，则这两个三角形是全等三角形是假命题(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行是假命题【方法技巧总结】(1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一【易错题】命题条件不明致误典例将命题“已知a，b为正数，当ab时，有”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论【易错点】1易误把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中2任一命题都可以

7、改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子【易错点训练】把命题“已知a，b为正数，当ab时，有”写成“若p，则q”的形式解：“若p，则q”的形式：已知a，b为正数，若ab，则.知识点二充分条件与必要条件【知识梳理】(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，但qp，称p是q的充分不必要条件，若qp，但pq，称p是q的必要不充分条件【要点讲解】充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充

8、分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点三充要条件如果既有pq，又有qp，记作pq.则p是q的充分必要条件，简称充要条件【要点讲解】从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立【要点讲解】1、定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要

9、关系其基本步骤是：3集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题其解决的一般步骤是：【知识精讲】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判断例1判断下列各题中p是q的什么条件(1)p：x1，q：x21；(2)p：(a2)(a3)0，q：a3；(3)p：ab，q：1.解 (1)由x1可以推出x21；由x21，得x1，或x1，不一定有x1.因此，p是q的充分不必要条件(2)由(a2)(a3)0可以推出a2，或a3，不一定有a3；由a3可以得出(a2)(a3)0.因此，p是q的必要不充分条件(3由于ab，当b0时，1；当b

10、0时，1，故若ab，不一定有1；当a0，b0，1时，可以推出ab；当a0，b0，1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件【变式训练】1、指出下列各组命题中p是q的什么条件(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解：(1)四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，p是q的既不充分也不必要条件(2)(x1)2(y2)20x1且y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0(x1)2(y2)20，p是q的充分不必要条件.2、下列各题中，试分别指出p是q的什么条件(1)p：两个三角形相似

11、，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：AB，q：ABA；(4)p：ab，q：acbc.解(1)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，p是q的必要不充分条件(2)矩形的对角线相等，pq，而对角线相等的四边形不一定是矩形，qp，p是q的充分不必要条件(3)pq，且qp，p既是q的充分条件，又是q的必要条件(4)pq，且qp，p是q的既不充分也不必要条件3、指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2ax10的解集是R，q：0a4；(2)p：|x2|3，q： 0满足题意；当a0时，由可得0a4.故p是q的必要不充分条件(2)

12、易知p：1x5，q：1x5，所以p是q的充要条件(3)因为ABAABB，所以p是q的充要条件(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，有即pq.但比如，当1，5时，而2，所以qp，所以p是q的充分不必要条件4、“m3”是“|m|3”的_条件答案：必要不充分5、指出下列命题中p是q的什么条件(1)p：(x1)(x2)0，q：x2；(2)p：x22x80，q：x2或x4.解(1)令Ax|(x1)(x2)0x|2x1，集合Bx|x2显然，AB，所以pq，但qp，即p是q的充分不必要条件(2)令Ax|x22x80x|x2或x42,4，Bx|x2或x42,4AB，pq，即p是q的充要条件6一元二次方程ax

13、22x10(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()Aa0 Ba0Ca1 Da1解析：选C一元二次方程ax22x10(a0)有一正根和一负根即解得a0.由于a|a1a|a0，故选C.【方法技巧总结】充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件(2)命题判断法：如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件

14、类型二充要条件的探求与证明题型1充要条件的探求例2求ax22x10至少有一个负实根的充要条件是什么？解(1)当a0时，原方程变为2x10，即x，符合要求(2)当a0时，ax22x10为一元二次方程，它有实根的充要条件是0，即44a0，a1.方程ax22x10只有一个负根的充要条件是即a0.方程ax22x10有两个负根的充要条件是即0a1.综上所述，ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.题型2充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明充分性(由ac0推证方程有一正根和一负根)，ac0，一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac0，原方程

15、一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x20，原方程的两根异号，即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性(由方程有一正根和一负根推证ac0)，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，由根与系数的关系得x1x20，即ac0，此时b24ac0，满足原方程有两个不等实根综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.【变式训练】1、求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.证明必要性：若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则即即解得k2.充分性：当k2时，(2k1)24k214k

16、0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1，x2.则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210，x11，x21.综上可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.类型三利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4设命题p：x(x3)0，命题q：2x3m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_答案3，)解析p：x(x3)0，即0x3；q：2x3m，即x.由题意知pq，qp，则在数轴上表示不等式如图所示，则3，解得m3，即实数m的取值范围为3，)【变式训练】设

17、A，B，记命题p：“yA”，命题q：“yB”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为_答案解析由题意知A(0,1)，B，依题意，得B A，故m0和a2x2b2xc20的解集分别是集合M和N，那么“”是“MN”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案D解析若0，则MN，即MN；反之，若MN，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式10，20(a10，a20)，而与系数之比无关二、解答题7已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且qp，得M N，或解得a2或a2，即a2.即实数a的取值范围是.8已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的取值范围解由x28x200，得2x10，Px|2x10由xP是xS的必要条件，知SP.则当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3