高三数学北京四中数学第三次统测L 精品.docx
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高三数学北京四中数学第三次统测L精品
2018年北京四中数学第三次统测(理科)
一、选择题:
(每小题5分)
1.在正实数集上定义一种运算*:
当
时,a*b=b3:
当
时,a*b=b2。
根据这个定义,满足3*x=27的x的值为( )
A.3 B.1或9 C.1或
D.3或
2.函数
的部分图象大致是( )
A. B. C. D.
3.在
的展开式中,含
项的系数是首项为-2公差为3的等差数列的( )
A.第13项 B.第18项 C.第11项 D.第20项
4.若将函数
的图象按向量
平移,使图象上点P的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后图象的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
5.一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数
在点
处连续,则
的值是( )
A.2 B.3 C.-2 D.-4
7.已知
,
,点C在坐标轴上,若
,则这样的点C的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设数集
,
,且
都是集合
的子集,如果把
叫做集合
的“长度”,那么集合
的“长度”的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
(每小题5分)
9.若
(m∈R+)是纯虚数,则
的值为_____,
的虚部是_____.
10.在数列
中,若
且对任意
有
则数列
前
项的和为_____,前
项和最小时的
等于_____.
11.若
,则目标函数
的取值范围是_____.
12.向量a、b满足(a-b)·(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,则a与b夹角的余弦值等于_____.
13.已知P是抛物线
上的动点,定点A(0,-1),若点M分
所成的比为2,则点M的轨迹方程是
_____,它的焦点坐标是_________.
14.若定义在区间D上的函数
对于D上的任意n个值
,总满足
,则
称为D上的凸函数.现已知
在
上是凸函数,则锐角
中,
的最大值是_________.
三、解答题
15.(本小题满分13分)
矩形ABCD,AB=4,BC=3,E为DC中点,沿AE将ΔAED折起,使二面角D-AE-B为60°。
(I)求DE与平面AC所成角的大小;
(II)求二面角D-EC-B的大小。
16.(本小题满分13分)
甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题,规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题才算合格。
(1)求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少?
(2)求乙答对试题数
的概率分布及数学期望。
17.(本小题满分14分)
设函数
在
时取得极值.
(1)试确定
的值;
(2)求
的单调区间.
18.(本小题满分14分)
已知函数
.
(1)求
的值,使点
到直线
的距离最短为
;
(2)若不等式
在
恒成立,求
的取值范围.
19.(本小题满分13分)
直线
与曲线
交于
(
异于原点
);过
且斜率为
的直线与曲线
交于
(
异于
);过
且斜率为
的直线与曲线
交于
(
异于
),……,过
且斜率为
的直线与曲线
交于
(
异于
),……。
设
坐标为
(
).
(Ⅰ)求
和
的表达式;
(Ⅱ)判定
是否存在,若存在,求它的值;若不存在,说明理由.
20.(本小题满分13分)
已知
为椭圆
和双曲线
的公共顶点,
分别为双曲线和椭圆上不同于
的动点,且有
,设
的斜率分别是
.
(1)求证
;
(2)设
分别为双曲线和椭圆的右焦点,若
∥
,求
的值.
答案
一、选择题:
(每小题5分)
1、D2\C3\D4\C5\C6\B7\C8\C
二、填空题:
(每小题5分)
9.
-810、
4或511、[8,14]12、
13、y=6x2-1(x≠0)
14
15.如图1,过点D作DM⊥AE于M,延长DM与BC交于N,在翻折过程中DM⊥AE,MN⊥AE保持不变,翻折后,如图2,∠DMN为二面角D-AE-B的平面角,∠DMN=60°,AE⊥平面DMN,又因为AE
平面AC,则平面AC⊥平面DMN。
(I)在平面DMN内,作DO⊥MN于O,
∵平面AC⊥平面DMN,
∴DO⊥平面AC。
连结OE,DO⊥OE,∠DEO为DE与平面AC所成的角
如图1,在直角三角形ADE中,AD=3,DE=2,
,
。
如图2,在直角三角形DOM中,DO=DM·sin60°=
在直角三角形DOE中,
,则
。
∴DE与平面AC所成的角为
。
(II)如图2,在平面AC内,作OF⊥EC于F,连结DE,
∵DO⊥平面AC,∴DF⊥EC,∴∠DFO为二面角D-EC-B的平面角。
如图1,作OF⊥DC于F,则RtΔEMD∽RtΔOFD,
,∴
。
如图2,在RtΔDOM中,OM=DMcos∠DMO=DM·cos60°=
.
如图1,DO=DM+MO
。
在RtΔDFO中,
,
∴二面角D-EC-B的大小为
。
16.解:
(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B
则
(2)乙答对试题数ξ的可能值为1,2,3
则
∴ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
P
17.(1)
∵f(x)在x1=1,x2=2时取得极值
∴
(2)由
(1)可得:
令
∴x<0或1 ∵
∴ 1 ∴f(x)的单调增区间为(1,2),减区间是(0,1)和(2,+
)
18.解:
(1)由题意得M到直线x+y-1=0的距离
令
解得a=3或a=-1(舍去)
∴a=3
(2)由
得
也就是
令
即at2-2t+a2≤0在t∈[1,2]上恒成立
设
,则要使上述条件成立,只需
解得
即满足题意的a的取值范围是
19.解:
(Ⅰ)由已知
,
设
,其中
,
解
(注意到
)得
,
x1=1
于是,
;
;
;
猜测
当
时,
,猜测正确,
假设当
时,
成立,即
那么,当
时,
综上所述,
.
(Ⅱ)
.
所以,
.
20.解:
(1)A(-a,0),B(a,0),设P(x1,y1)Q(x2,y2)
则
(2)
由
(1)
又P在双曲线上
同理