FIR滤波器和IIR滤波器格型结构.docx

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FIR滤波器和IIR滤波器格型结构

4・3・5全零点格型结构

1973年，Gray和Markel提出一种新的系统结构形式，即格型结构（latticestructure）。

这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。

这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。

这种结构有三种形式，即适用于FIR系统的全极点格型结构和适用于IIR系统的全极点

和零极点格型结构。

下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。

其他两种个性结构将留到

第4.3节讨论。

格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。

图7.11示出其中的第

m极。

与fir滤波器的直接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支路的，

第1级第2皴■…第级第阳级

:

厂jZ-1；:

z1:

z1f

g血）£0）爲也）裁1火）£如⑷£则何

图7.10全零点格型结构

图7.11全零点格型结构的基本单元

让我们从一组FIR滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。

图7.10中，以x（n）为输入序列，后接M个格型级，这样就形成M个滤波器：

第m

（m=1,2,...,M）个滤波器有两个输出，即上输出fm（n）和下输出gm（n）。

以fm（n）为输

出的滤波器称为前向滤波器；以gm（n）为输出的滤波器称为后向滤波器。

对于M个前向FIR滤波器，它们的系统函数为：

（18）

Hm（z）=Am（z）,m=1,2,...,M

式中，AJz）是多项式:

m

Am（z）=1'am（k）z=1EmEM（19）

k=±

这里，为了数学推导的方便，令式子右边第

1项为1；下标m代表滤波器序号，也代表滤波

器的阶数，例如，给定a（0）=1以及a

（1）,a

（2）,…,a（M），则第4个滤波器的系统函数为

出⑵=1a4

（1）z」a4

（2）z，a°⑶z；a4（4）z，

设第m个滤波器的输入、输出序列分别是x（n）和y（n）,则

m

y（n）=x（n）'am（k）x（n-k）（21）

k4

其直接型实现如图12所示。

图7.12FIR滤波器的一种直接实现形式

m=1阶滤波器的输出可表示为

y（n）=x（n）冃

（1）x（n-1）（22）

该输出也可以从图12所示的第一级格型滤波器得到。

图中，两个输入端联在一起，激励信

号为x（n）。

从两个输出端得到的信号分别为f,（n）和g（n）:

下1（n）=x（n）+kox（n—1）

丿（23）

g（n）=k°x（n）-x（n-1）

其次我们考虑二阶FIR滤波器，它的直接型结构输出为

y（n）=x（n）a2

（1）x（n-1）a2

（2）x（n-2）

=[x（n）x（n-1）x（n-2）][1a2

（1）a?

（2）]T（24）

上式将输出y（n）表示为两个向量的内积，T表示向量转置。

相应地，这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元（图10前面的两级）来实现。

，

图中，第一级的输出为

f1（n）=x（n）+k|X（nT）

丿（25）

41（n）=k1X（n）—x（n—1）

丫2（n）=人（n）+k2®（n-1）加n）*£（n）p（n-1）

将式（25）中的fMn）代入式（26）中，得

=x（n）k1（Vk2）x（n一1）k2x（n一2）

（27）

现在令式（24）和式（27）的系数相等，即

鬼⑵=k2,a2

（1）-k1（1k2）

（28）

于是，

得二阶格型结构的参数

ka⑺k弘⑴

（29）

©-a2

（2）,k1-

1a2

（2）

其中，

k^a2

（2）这个结果是很容易理解的。

从图7.12看，如果滤波器阶数

m=2，则时

延为2的输入输出传输值为a2

（2），而从图7.10看，从输入到上端输出有三条可能的支路，而其中时延为2的支路传输值为k1。

如果这两个流图等效，则应有k2=a2

（2）。

因此可以推

论，若有m个格型级，则其最右边的支路km与直接型结构的参数am（m）相等：

km=am（m）（30）

为了得到其它支路传输值kmd,km^,...,k1与直接型结构的参数之间的关系，我们需要从图

7.10所示的M阶格型结构的最右边做起：

根据M阶滤波器的直接型参数，依次求

M-1，M-2,M-3,...,1阶滤波器的直接型参数。

这是降阶递推。

只要求出m阶滤波器

的系数组｛am（k）,k=1,2,...,m｝，则格型结构的支路传输km=am（m）。

式（29）表明，二阶格型结构的两个参数k1和k2可以根据直接型结构的参数求出。

继

续这个过程，可以得到一个m阶直接型fir滤波器和一个m阶或m级格型滤波器之间的等效性。

按照图7.10，格型滤波器可用递归方程描述为

f°（n）ng°（n）=x（n）

（31）

fm（n）=fm4（n）kmgm4（n-1）,m=1,2,...,M-1

（32）

gm（n）=kmfm4（n）gm4（n-1）,m=1,2,...,M-1

（33）

因此，第M-1级滤波器的输出相当于M-1阶FIR滤波器的输出，即

y（n）f4（n）（34）

因为fir滤波器和格型滤波器的输出fm（n）可以表示为

g2（n）=k2fi（n）gi（n-1）

二k2[x（n）Kx（n-1）]Kx（n-1）x（n-2）

二k2X（n）匕（1-k2）x（n「1）x（n-2）

=a2

（2）x（n）a2

（1）x（n-1）x（n-2）

=［x（n）x（n-1）x（n-2）］他

（2）a?

。

）1］T（37）

可见，对于g2（n）为输出的后向滤波器，滤波系数组为［a2

（2）a2

（1）1］，而对于以f2（n）

为输出的滤波器，滤波系数组按相反次序排列，为［1a2

（1）a2

（2）］。

根据以上分析。

可见m级格型滤波器的输出gm（n）可以用卷积和形式表示为

m

（38）

gm（n）八:

m（k）x（n-k）

k=0

式中，滤波系数-m（k）与产生输出fm（n）=y（n）的另一滤波器有关，只不过操作次序相反。

例如，如果m=6，

a6（0）=1月6

（1）=2代

（2）=4旦⑶二7旦（4）=5月6（5）=3,a6（6）=6，

-6（6）=1,飞（5）=2,飞（4）=4,飞（3）=7,飞

（2）=5,飞

（1）=6（0）=6

k=0,1,...,m

Pm（k）=am（m-k）,fm（m）=1

在Z域中，式（38）变为

（40）

Gm（Z）=Bm（Z）X（Z）

这里，Bm（Z）是下输出端相对于输入端的系统函数;

m

（42）

Bm（Z）八F（k）Z上

k=0

因为F（k）=am（m-k），故

mmm

Bm（z）八am（m-k）Z丄八am（j）zj』二Z』'am（j）zj

k=0j=0j=0

二Z』An（Z」）（43）

这个式子描述前、后向滤波器系统函数之间的关系。

现在我们回到式（31）~（33）的递推方程组，并把它们变换到Z域，得

Fo（z）=Go（z）=X（z）（44）

1

Fm（z）-Fmj（z）kmZGm4（z）,m=1,2,...,M-1（45）

Gm（z）二kmFmOz」Gm」（z）,m=1,2,...,M-1（46）

各式除以X（Z）并利用前面的关系式，可得

利用式（47）~（49）可以根据格型滤波器系数，从m=1开始按升阶递推法求出直接

型滤波器系数。

例给定三级格型滤波器如图13所示。

确定与之等效的直接型结构的FIR滤波器系数。

z-]

z-1

岛=62」，=12,

图13给定三级格型滤波器

解根据式（48）,得

A（z）=Ao（z）艰也（z）

因此，对应于单级格型的FIR滤波器系数为印（0）=1。

1

6

（1）二匕，因Bm（z）是Am（z）的反转多项式，故

4

Bdz）」zd

4

A2（z）=A（Z）Kz」Bi（z）

3z」-z^

3z"z"

A3（Z）二A2（Z）k3Z^2（z）

因此,

与给定三级格型滤波器等效的直接型FIR滤波器系数为

93（0）=1,33（1^7^,33

（2）（3）

248

1351

玄⑼珂玄⑴二玄玄⑵=弄3⑶-

假定已知M阶直接型FIR滤波器的系数或者多项式A（z），我们希望确定相应的格型

滤波器的系数组｛ki，i=1,2,...,M｝。

对于第M个格型级，可直接得出kM二Am（M）,所以,

只需从M—1开始降阶递推过程。

为了得到kMj，只需求出多项式

Ami（Z）=1Am』）Z，...州」（M-1）Z」M

就可以得到kMi=Amj（M-1）。

根据式（48）和式（49），可以得到降阶递推关系:

Am（Z）二Amd（Z）讣乜亠⑵

=Am」（Z）心咼⑵-kmAm^Z）]

曰

是,

（51）

片二⑵二州畀-第気⑵，

1—心

设FIR滤波器的系统函数为

H（z）讥（z）=113zd[z*

248

确定对应于该FIR滤波器的格型系数。

1

解首先，直接得出k3二a3（3），而且

3

B3⑺E十5宀易宀Z'

在m=4的情况下，利用式（51）降阶递推，得

®A^=1討尹

113

因此，k2=a2

（2）和B2（z）z4Z。

228

最后，在m=2的情况下，再降阶递推，得

A⑦-k2B2（z）

A1⑵二—

因此,

1ki二A

（1）

4

图13示出所得三级格型滤波器。

4.3.5IIR系统的全极点格型结构

H（Z）二M（12）

1-\akZ上

kJ

与M阶FIR系统函数相比较，可见这两种系统互为逆系统。

我们在第节以研究了FIR

系统的（全零点）格型结构。

现在我们要基于式（12）找出IIR系统的全极点格型结构。

最

简单的途径就是研究逆系统的信号流图，从中找出规律。

给定一阶FIR系统函数为

Y（z）

H（z）ck1zJ（13）

X（z）

则差分方程为

y（n）二cx（n）k1x（n-1）（14）

图19是相应的信号流图

图佃一阶FIR系统

逆系统的系统函数为

（15）

H'（z）4J

X（z）c+焜

其差分方程为

（16）

1y（n）[x（n）-ky（n-1）]

c

图20示出相应的信号流图。

兀（加0—^0^0—^0丿何

I—

统。

图20一阶FIR系统的逆系统

图21从一阶FIR系统得到其逆系统的中间步骤

于是，可以用上述方法从图7.10的全零点格型结构得到图7.22的全极点结构

第1簸第2级•…第级第肘级

3）g从阿站禺）£阿期⑹飭何

图7.22全极点格型结构

出该结构。

解：

13a5二13

例已求出FIR系统函数为HFir（Z）=1zzZ的格型结构，如图

2483

7.23所示。

岛=132-1,^2=1/2,=1/3

图7.233阶FIR系统的格型结构

图7