高二空间几何体练习题.docx

1、高二空间几何体练习题立体几何练习题1 -在直四棱住 ABCD AiBiCiDi中，AA, 2 ,底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点( I )求证：平面AD1E /平面BGF ; ( n )求证:D1E 面 AEC .2如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2, E为AB的中点.(1)求证： AC 平面BDD1 (2)求点B到平面A1EC的距离3.如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA 平面 ABC, ACB 90, AB 2 BC 1 AA 3 .(I)求三棱锥 A1 AB1C1的体积；(n)若D是棱CG的中点，棱AB的中点为E ,证明：

2、DE /平面AB1C14.如图，在棱长均为2的三棱柱ABC DEF中，设侧面四边形FEBC的两对角线相交于 0，若BF丄平面AEC，AB AE . (1)求证：A0丄平面FEBC ; (2)求三棱锥B DEF的体积5.如图，在体积为1的三棱柱ABC ABQ,中，侧棱AA, 底面ABC , AC AB , AC AA, 1 ,E为线段AB上的动点(I)求证：CAi CE;7.如图，在底面 为平行四 边形的 四棱锥 P ABCD中，AB AC ,PA 面ABCD，点E是PD的中点。(I)求证：AC PB (n)求证：PB/平面 AEC如图，在四棱锥 P ABCD中，ABCD是矩形，PA 平面ABC

3、D , PA AD点F是PD的中点，点E在CD上移动。(1)求三棱锥E PAB体积；(2)当点E为CD的中点时，试判断 EF与 平面PAC的关系，并说明理由；(3)求证：PE AF9如图所示，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PD F , G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证：PA平面EFG ；(2)求证：GC 平面PEF ；(3)求三棱锥P EFG的体积.平面 ABCD，PD AB 2，E ,10.如图6，已知四棱锥 P ABCD中，PA丄平面 ABCD , ABCD是直角梯形, BAD =90o , BC 2AD .(1)求证：AB丄PD ;(2)在线段PB上是否存在一点

4、E ,使AE /平面PCD ,若存在，指出点 E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.11.如图(1), ABC是等腰直角三角形，AC BC 4, ACB 90 ,E,F分别是AC, AB的 中点，将AEF折起,使点A到达A位置，且A在平面BCEF上的射影恰为点E,如图(2).(1)求证EF AC; (2)求点F到平面ABC的距离.12.如图所示是一个几何体的直观图、 正视图、俯视图和侧视图如图所示)。(I)求四棱锥P ABCD的体积；(n)若G为BC上的动点，求证： AE PG 。13.如图，四边形 ABCD为矩形，DA 平面ABE,C尺寸AE EB BC 2 , BF 平面 ACE 于点

5、 F ,且点F在CE上.(I)求证：AE BE ;(n)求三棱锥D AEC的体积；(川)设点 M在线段AB上，且满足 AM 2MB , 试在线段CE上确定一点N，使得MN II平面DAE.14已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1的三视图如图所示(1 )画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的体积；(2)若E为AA上一点，EBII平面A,CD ,AB AD a , BF DH b .(I)证明：截面四边形 EFGH是菱形;(n)求三棱锥 F ABH的体积.16.正方形 ABCD中, AB=2 E是AB边的中点，F是BC边上一点，将 AED及 DCF折起(如下图)，使A C点重合于A点.1(1)证明

6、：A D EF; (2)当BF=BC时，求三棱锥 A EFD的体积.417、已知四棱锥 P ABCD的三视图如下图所示， E是侧棱PC上的动点求四棱锥P ABCD的体积;19、如图，四棱锥 PABCD中，底面四边形 ABCD是正方形，侧面 PDC是边长为a的正三角形, PDCL底面 ABCD E为PC的中点。(I )求异面直线PA与DE所成的角; (II )求点D到面PAB的距离20.如图，在三棱锥 A- BCD中,侧面ABD ACD是全等的直角三角形， AD是公共的斜边， 且AD-J3 ,BD- CD- 1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD八BC(2) 在直线AC上是否存在一点 E,使E

7、D与面BCD成 30角？若存在确定 E的位置；若不存在，说明 理由。立体几何参考答案1. 证明：(I ) E, F分别是棱BB1,DD1中点BE/D1F且BE D1F 四边形BEDjF为平行四边形D1E/ BF 又 D1E 平面 AD1E, BF 平面 AD1EBF / 平面 ADiE 3 分又G是棱DA的中点 GF / AD1 又AD1 平面AD1E, GF 平面AD1E又 BFI GF F平面AD1E /平面BGF 6分(n )QAA 2AD1.AA2 ADj5,同理AE .2, D1E 、3AD12D1E2AE2D1E AE .9 分Q ACBD,ACD1DAC 面 BD-又D-E平面

8、BD1 , ACD1E又ACIAE A,AC面 AEC, AE 面 AECD1E 面AEC- 12 分2. (1)连接BD,由已知有 D1D 平面 ABCD、得AC D1D又由ABCD是正方形，得：AC BD、 D1D 与 BD 相交， AC平面 BDD-(2) /A-AECBE A,E CE 5 又/ A1C 2.3点 E到 A-CGF / 平面 AD1E 5 分-EB AiA 1，2Saeb的距离d 5 3 ,2，有:1 ,Sa-ec AC d 62又由VBAEC Vc aeb , 设点B到平面A-EC的距离为晁 763SaiEBCB，有 6 h 2 , h ,所以点B到平面 A EC的距

9、离为 3 31，二 AC -.3 . AA 、3 , 四边形 ACC-AEF P AB1. AB1 平面 AB1C1 , EF 平面 AB1C1 ,EF P 平面 AB1C1 . -10 分同理可证 FD P 平面 AB1C1 . EF I FD F ,平面 EFD P 平面 ABQ . / DE 平面 EFD , DE P 平面 AB1C1 .12分4. (1)证明： BF丄平面AEC，而AO 平面SEC BF丄AO 2分 AE AB , AB AC AE AC ,而 BCFE为菱形，贝V O 为 EC 中点， AO 丄 EC,且 BF EC O AO 丄平面 BCFE. 6 分(2) Q

10、DA / BE, BE BCFE DA /平面 BCFE点D、A到面BCFE的距离相等 8分VB DEF VD BEF VA BEF - AE AB , AO=AOAOE AOB得OE=OB,艮卩EC=FB而BCFE为菱形，则 BCFE是正方形,12分14分计算得AO=、,2 , EFB的面积等于正方形 BCFE的一半 2 ,因此 VBDEF 3 2 2 J25.解：（I）证明：连结 AC1 , Q侧棱AA1 底面ABC AC丄平面BCGB 又T BG 平面BCGBi AC丄 BC 4 分 A(2)证明：设CB与GB的交点为E,连结DE/ D是AB的中点，E是BC的中点 DE/ AC 又t D

11、E 平面CDB, AG 平面CDB AC / 平面 CDB 8 分(3)t DE/ AG CED为 AG 与 BiC所成的角15 i 5 i _在 CED 中 ED=_ AC= _ , CD=_ AB= _ CE=_ CB= 22 cos /22 2 2 2CED= 8 2 22 2 罷-52异面直线AG与BiC所成角的余弦值为 勿2 。 12分5的中点i2PB 面AEC, EO 面AEC PB/面AEC中占I 八、：PCD . 10 分11111(3)- PF -PD1, EF-CD1, S PEF-EF PF/ GC -BC 122222VpEFG VG PEF1SPEFGC -11 1

12、14分332610.解：（1）平面ABCD,丄PD .（2）取线段PB的中点E ,PC的中点F，连结AE, EF, DF ,1 则 EF 是厶 PBC 中位线. EF / BC , EF - BC21 / AD / BC , AD - BC /. AD/ EF, AD EF2 ，四边形EFDA是平行四边形， 10分AE/DF .T AE 平面 PCD , DF 平面 PCD ,AE /平面PCD .线段PB的中点E是符合题意要求的点.11.解：(1)证明：在等腰直角 ABC中,E,F分别是AC,AB的中点EF / BC且 BC AC EF AC在四棱锥 A BCEF 中,EF AE,EF EC

13、又 AE EC E,AE 平面 AEC,EC 平面 AECEF 平面AECAC 平面 AECEF AC 6 分解：BC/EF由（1）得BC AC由已知得EAE EC平面BCEF在RtACE中AC ME2 EC22 2 2 2, BC 41 1 一 _S ABC - 2 2 4 4 22 2设点F到平面ABC的距离为d,由VfS ABC d3ABCABCABC Va FBC 得1-S fbc AE314 2 2224.2.S FBC A EdS所以点F到平面ABC的距离为 2ABC14分12.解：（I ）由几何体的三视图可知，低面PA 面ABCD , PA/EB，且 PAVP ABCD(n)连

14、BP1-PA SABCD3c EB,QAB13BAPA4,2ABCD是边长为4的正方形，4 2, BE 2、2, AB AD CD CB 4,4 613 ，厂BEA,EBA BAP90 / 序穆團0firn於PBAPB AE 又Q BC 平面APEB,AE13.解：(而BF又BE(n)在PBABAE10分BC AE,由已知及（I）得EHBEA BAEAE 平面PBGPGI）证明：由AD 平面ACE，贝U 平面BCE，故AE BE。ABE中，过点E作EH AB于点H，贝U-AB - 2, S ADC 2 2 .故Vd 2平面ABE及AD / BC得BC BF AE，又 BCI BFEHAECM作

15、MG/AE交BE于点G，在 冲丄 CN BG MB 1m,，则由 得CNCE BE AB 3 平面ADE，则MG平面ADE（川）在ABE中过点BC于点N，连接MN再由 GN BC,BCAD 得 GN/平面 ADE，又 MN90平面 则AEABE，贝U AE 平面BCE ,平面ACD .Ve ADC 3 2 2 丄BC43BEC中过点G作GN / BC交1-CE 由平面ADE ,AE3平面MGN ,则MN /平面ADE .故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，14.（本小题主要考查空间中线面关系，空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力 （1）（参考右下图一一图略）； （3分）MN /

16、平面 ADE .V Sabcd AA 6/2 ( 6 分)(2)作 EF / AD 交 A,D 于 F ,连 CF ,贝y BCFE 共面Q EB/ 平面 AQD ,BE/CF，又EF /BC , BCFE为平行四边形.EF BCAD ,2E为AAi的中点.(10 分)在矩形AA1B1B中,AB2 , AE 2AE AAB BB1，AB1B :ABE , AB1BABE , BEAB1又ADAA1, AD AB ,AA1 I AB AAD平面 AABB , BE平面AABBADBE , AB1 I AD ABE平面 AB1C1D . (14 分)15.解：CI）证明：因为平面 ABEF /平面

17、CDHG ,且平面EFGH分别交平面 ABFE、平面CDHG于直线EF、GH，所以 EF / GH.同理，FG / EH .因此，四边形EFGH为平行四边形.(1)因为BDAC，而AC为EG在底面 ABCD上的射影,所以因为BFDH，所以 FH / BD .因此，FH EG .(2)由（1）、（2）可知：四边形 EFGH是菱形； EG6分(II )因为 DA 平面 ABFE , HDD/ AE，所以H到平面 ABF的距离为DA a .于是，由等体积法得所求体积VfABH16. (1)证明：T A D A E, A5(2 J解：/ A D 平面 A EF.由 BE=1,BF= A1 11 1Vh

18、 abf S abf DA ab a a?b 12 分3 3 2 6A F, , . A D 平面 A EF. AEFD是三棱锥D-A EF的高.5出 EF=2仝SvaEF41-5.23 4四棱锥1.Sa，ef .AD=3 AEF17、解：(1)由三视图可知，面 ABCD，且 PC 2.VP ABCD r S正方形 ABCD PC3VA-EFDVD AEF AEF126P ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC 底1 21 12 2 即四棱锥P3 32ABCD的体积为3(2)不论点E在何位置，都有 BD AE . 5分证明如下：连结 AC，: ABCD是正方形， BD AC PC 底面 A

19、BCD，且 BD 平面 ABCD , BD PC .又 ACI PC C , BD 平面 PAC 8 分不论点E在何位置，BD AE 9 分解：在平面DAE内过点都有AE 平面PAC .D作DF AE于F，连结BE 厂12 .2 , AE不论点E在何位置，都有 AD AB 1 , DE- Rt ADE 也 Rt ABE，从而 ADF ABF , BF DFB为二面角DBF .AE .3 ,AE.在 Rt ADE 中，DFAE B的平面角AD DEAE12分又 BD ,2，在 DFB 中，DF2 BF2 BD2cos DFB2DF BFDGB 120，即二面角1 2J3由余弦定理得2 2 232

20、 ?3D AEBF，13分CB的大小为120 .14分18(1)证法一：取CE的中点G，连FG、BG .1 / F 为 CD 的中点， GF/DE 且 GF 1 DE .2平面 ACD,. AB/DE , GF/AB 2 分/ AB平面ACD, DE又AB1DE , GF2/ AF平面BCE , BG分证法二：取DE的中点M，连AM、FM .AB. 四边形GFAB为平行四边形，则 AF/BG.平面 BCE , AF/ 平面 BCE./ F 为 CD 的中点， FM /CE 1 分 AB 平面 ACD, DE 平面 ACD,. DE/AB.1 又 AB -DE ME ,2四边形ABEM为平行四边

21、形，则 AM / BE FM、AM- FM又FM/ AF证：/ DE又CD I9分/ BG/平面AM平面2分平面 BCE , CE、BE 平面 BCE ,BCE , AM / 平面 BCE M，平面 AFM /平面BCE 4分AFM , AF / 平面 BCE 5 分ACD为等边三角形，F为CD的中点， AF CD 6分ACD, AF 平面 ACD,. DE AF 7 分D，故 AF 平面 CDE.： BG / AF，- BG 平面 CDE 平面DE平面BCE，平面BCE 平面CDE . CE 于 H，连 BH .解：在平面CDE内，过F作FH FH 平面 BCE . FBH为BF和平面BCE

22、所成的角10分平面BCE平面CDE，12分设 AD DE 2AB 2aFHCF sin 45BF AB2AF2R t FHB 中，sina2 G3a）2 2a ,.直线BF和平面BCE所成角的正弦值4FH FBHBF14分为迄419、【解】（1）解法一：连结AC, BD交于点0,连结E0.T四边形 ABCD为正方形， AO=CO 又 PE=EC. PA/ EO3 分 ADL面 PCD ADL PD.在 Rt PAD 中，PD=ADa，贝U/ DEO为异面直线PA与DE所成的角面 PCDL面 ABCD AD丄 CDPA 2a，EDF 30 8 分10分设E为所求的点，作EF CH于F ,连FD 则EF / AHEF 面BCD, EDF就是ED与面BCD所成的角,则EF xAH HC 1,则CF x,FD 1 x2. tan EDF 空FD解得x 2则cE ，2x 1.2故线段AC上存在E点，且CE 1时，ED与面BCD成30角12分