实数.docx

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实数

《实数》复习与回顾

一、知识梳理

1.平方根

（1）算术平方根的定义：

一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。

（2）平方根的定义：

如果一个数x的平方等于，即_____，那么这个数x就叫做的_______。

（3）平方根的性质：

一个正数有_____个平方根，它们________；0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。

（4）开平方：

求一个数a的________的运算，叫做开平方。

2.立方根

（1）立方根的定义：

如果一个数x的_____等于，即_____，那么这个数x就叫做的立方根。

（2）立方根的性质：

每个数a都只有_____个立方根。

正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。

（3）开立方：

求一个数a的________的运算叫做开立方。

3.实数

（1）无理数的定义：

无限不循环小数叫做_____。

（2）实数的定义：

_____和_____统称实数。

（3）实数的分类：

①按定义分：

________________________；②按性质分：

________________________。

（4）实数与数轴上的点的对应关系：

_____与数轴上的点是_____对应的。

（5）有关概念：

在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。

4.实数的运算：

（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。

（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为__________；__________。

二、考点例析

考点1 平方根、立方根的定义与性质

例1

（1）下列各数是否有平方根？

若有，求出其平方根；若没有，说明理由。

①625 ②（－2）2 ③（－1）3

（2）下列各数是否有立方根？

若有，求出其立方根。

① ②－343 ③－22

分析：

（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。

（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。

解：

（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±=±25；②因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±=±2；③因为（－1）3=－1<0,故其不存在平方根。

（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。

①； ② ；

③－22的立方根。

说明：

只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。

考点2 实数的分类与性质

例2 下列各数中：

－，，3.14159,－π,,－,0,0.,,,2.121122111222…

其中有理数有__________________________；

无理数有__________________________。

　　分析：

对于、等应先化简再判断。

解：

有理数：

－，3.14159,0,0.3,,

无理数有：

－π,,－,2.12112111222……

说明：

本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。

例3的相反数是            ；的绝对值是         ；－的倒数是          。

分析：

如果表示一个正实数，那么－就表示一个负实数，与－互为相反数；0的相反数依然是0。

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

非零实数a的倒数是。

解：

的相反数是1－；的绝对值是；－=－，所以－的倒数是－。

说明：

解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。

考点3 实数的运算

例4 

（1）计算：

（2）化简得（   ）

（A）－2      （B）    （C）2      （D）

分析：

有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。

解：

（1）原式=0.2×=；

（2）=－2。

故选（A）。

说明：

在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。

值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。

考点4 非负数 

例5 已知，为实数，且，则的值为（   ）.

（A）3         （B）－3       （C）1          （D）－1

分析：

本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：

实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。

它有一个非常重要的性质：

若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。

利用这个性质可解本题，

解：

由题意，得，，即，，所以。

故选（D）。

说明：

非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。

考点5 数形结合题

例6 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：

试化简：

｜a－b｜－｜a＋b｜

分析：

要化简｜a－b｜－｜a＋b｜，需根据数轴上a、b的位置判断a－b和a+b的符号。

解：

因为a>0，b<0，且∣a∣<∣b∣，所以a－b>0，a+b<0，

b

a

0

所以原式=（a－b）+（a+b）=a－b+a+b=2a

说明：

数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。

考点6 探究题

例7 阅读下列解题过程：

请回答下列问题：

（1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：

（2）、利用上面所提供的解法，请化简：

分析：

通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。

解：

（1）。

（2）原式==。

说明：

这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。

三、易错点例析

1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透

理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：

求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“”成了平方根等等。

例1

（1）求6的平方根 

（2）求的算术平方根

错解：

（1）；

（2）的算术平方根是9

错解分析：

错解

（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解

（2）中=9，的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。

正确解法：

（1）；

（2）的算术平方根是3。

例2求64与－27的立方根。

错解：

64的立方根是±4，－27没有立方根。

错解分析：

64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；－27的立方根是－3，错误地认为－27没有立方根是与负数没有平方根相混淆。

正确解法：

因为43=64，所以64的立方根是4。

因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3。

2、忽略平方根成立的条件

只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。

例3 当m取何值时，有意义？

错解：

不论m取何值时，都无意义。

错解分析：

考虑不全，漏掉了m=0时的情况。

正确解法：

当m=0时，－m2=0，此时有意义。

3、实数分类时只看表面形式

对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。

例4下列各数－2、、3.14159、－、、（－）2、、中无理数有                       ．

错解：

无理数有、－、、（－）2、。

错解分析：

这种错误认为带根号的数都是无理数。

其实能化简的应先化简，－=－3，（－）2=7，=2，所以它们是有理数。

正确解法：

无理数有、。

4、运算错误

在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。

例5 化简

（1）5 

（2）

错解：

（1）5=5=2；

（2）==（－3）×（－5）=15

错解分析：

（1）中合并同类二次根式时丢掉了从而出错；

（2）中忽略了公式的应用条件，即a≥0，b≥0，因为负数没有平方根，虽然最后结果正确，但解法是错误的。

正确解法：

（1）5=5=2；

（2）===3×5=15。

四、考点链接

　　中考中对于实数一章的考查，其题型主要有选择题、填空题、解答题。

近几年题型变化比较大，创设了一些新的情境，考查学生灵活运用所学知识的能力，这也是近几年考查的热点和趋势。

下面是2007年各省市关于实数的中考题的归类说明。

1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题

（1）如果某数的一个平方根是－6，那么这个数为________．

（2）的平方根是          ．

（3）的算术平方根是（　　）

Ａ．                 Ｂ．                Ｃ．                    Ｄ．  

（4）的立方根是       ．

（5）＝________。

（6）若，则的值等于（             ）

A．                    B．         C．或2            D．0或

分析：

本组题目主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，其中（6）小题与方程相结合，可由得（x+1）2=1，又由（±1）2=1得x+1=±1，再进一步求出x即可。

解：

（1）36；

（2）±2；（3）选B；（4）2；（5）0.1；（6）选D

Ａ

Ｂ

2、考查实数的有关概念及实数大小的比较

（7）的相反数是        ．

（8）如图，在数轴上，两点之间表示整数的点有                   个．

（9）在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是         ．

（10）比较大小：

7    ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 

（11）下列各数中，最小的数是（  ）

A．－2    B．－1     C．0    D．

（12）（中山市）在三个数0.5、、中，最大的数是（  ）。

A、0.5    B、    C、    D、不能确定

分析：

涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等实数的有关概念及实数大小的比较历来是中考考查的基本内容。

实数进行大小比较的基本原则是：

数轴上右边的数总是大于左边的数。

解：

（7）；（8）4；（9）；（10）＜；（11）A；（12）B

3、考查非负数的性质及其应用

（13）已知，那么的值为            ．

分析：

先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入代数式求解即可。

解：

由题意，得a－2=0，b+5=0，即a=2，b=－5，所以=2+（－5）=－3。

故的值为－3。

4、考查实数的化简与运算

（14）化简的结果是（   ）

A．10              B．2     C．4       D．20

（15）已知：

是整数，则满足条件的最小正整数为（   ）

A．2         B．3             C．4             D．5

（16）下列各数中，与的积为有理数的是（　　） 

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．             Ｄ．

（1