1,B•
解析：
pJo,1,2〉,M=I-,3】，因此P^Mhb,1,2"
（2）在等比数列taj中,印=1，公比qH1.右am=8182838485，则m=
几何体的俯视图为
解析：
很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
将所有学生先排列，有A种排法，然后将两位老师插入9个空
中，共有A9种排法，因此一共有A8A9种排法。
（5）极坐标方程（;?
-1）^-7：
）=0（T_0）表示的图形是
（6）
（A）两个圆
（B）两条直线
解析：
原方程等价于'二1或-二，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。
（6）若a,b是非零向量，“a丄b”是“函数f（x）二（xa-b）・（xb-a）为一次函数”的
6,B.
条件必要。
当图象经过区域的边界点（2,9）时，a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点。
（8）如图，正方体ABCD-ABQD!
的棱长为2，动点E、F在棱A^上，动点P,Q分别在棱AD,CD上,
1
的面积永远不变，为面ABCD面积的4，而当P点变化时，它到面ABCD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。
（10）在厶ABC中,若b=1，c=、、3，.C^—，则a=3
10，1。
（12）如图，LIO的弦ED,CB的延长线交于点A。
若BD—AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=
CE=
解析：
首先由割线定理不难知道ABAC=ADAE，于是AE=8,DE=5，又BD_AE，故BE为直径，因
此•C=90，由勾股定理可知CE2=AE2-AC2=28，故CE
2222
（⑶已知双曲线才『1的离心率为2,焦点与椭圆詁的焦点相同，那么双曲线的焦点坐
标为;渐近线方程为
13（现0）,y=±T3x
解析：
双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为-4,0，又双曲线离心率为y=±bx=±j3x
渐近线为a
（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周
为；y二f（x）在其两个相邻零点间的图像与x轴
所围区域的面积为。
说明：
“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。
沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。
类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。
14，4,二1
解析：
不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。
下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动
1
4个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：
因此不难算出这块的面积为7：
1
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
2
已知函数f（x）=2cos2xsinx-4cosx。
（I）求f（§）的值；
（n）求f（x）的最大值和最小值。
15
（I）
兀2兀2兀兀39
f（）=2cossin4cos12二
333344
（2）
22
f（x）=2（2cosx-1）（1-cosx）-4cosx
2
=3cosx-4cosx-1
gVxR
27
♦cosx一———
因为cosx」-"l,所以当cosx=—1时，f（x）取最大值6；当3时，取最小值3。
（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE丄AC,EF//AC,AB=2，CE=EF=1.
（I）求证：
AF//平面BDE
（n）求证：
CH平面BDE
（川）求二面角A-BE-D的大小。
16证明：
（I）设AC与BD交于点G，因为EF//AG，
且EF=1
1
AG=2AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。
所以AF//EG。
因为EGP平面
BDE，AF一平面BDE，
所以AF//平面BDE。
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE丄AC，所以CE丄AC，所以CE丄平
面ABCD。
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。
则C（0，0，
0）,A（迈，施,0）,DO/2,0,0）,E（0,
2.2—2
0,1）,F（2,2,1）o所以CF=（2
1）,DE=（--2,0,
1），BE=（0,—d,
1=0。
所以CF丄BE,CF丄DE,所以CF丄平面
1）。
所以CF.BE=0-1+仁o,CF.DE=—i
BDE
2辽
BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量n=（x,y,z）,
（HI）由（II）知，CF=（2,2,1）,是平面
则n・BA=o,nBE=0o
（x,y,z）（、、2,0,0）=0
即（x,y,z）（0,-迈⑴=0
所以X=0,且Z八2y。
令y=1,则z='2。
所以n=（0,1,2）,从而COS（n,
兀
因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为6。
（17）（本小题共13分）
某同学参加3门课程的考试。
假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为4,第二、第三门课程取
5
得优秀成绩的概率分别为p,q（p>q）,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
记E为该生取得优秀
成绩的课程数，其分布列为
E
0
1
2
3
P
6
125
a
b
24
125
（I）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;
（n）求p,q的值；
（川）求数学期望EE。
17
解：
事件A,表示该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。
由题意可知
4
P（AJ,P（A2）=p,P（A3）=q.
5
（I）由于事件该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“=0”是对立的，所以该生至少有一门课程取
得优秀成绩的概率是
戶6119
1-P（=0）=1
125125
（II）由题意可知,
6
125
p（=0）二p（A1A2A3）J（i—p）（i—q）二
5
32
q=
整理得pq=55。
（III）由题意知，
a=p（匕=i）=p（aA2A3）+p（AaA3）+p（AA2a3）
411
「（1-p）（1-q）匚P（1-q）匚（1-P）q
555
37
一125.
b=P（=2）=1_P（=0）_P（=1）_P（=3）
58
_125.
E=0P（=0）1P（=1）2P（=2）3P（=3）
9
_5.
（18）（本小题共13分）
k2
已知函数f（x）=ln（1x）-xx2（k_0）
2
（i）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程;
（n）求f（x）的单调区间。
18
21f（x）=ln（1+x）_x+x,f'（x）=——_1+2x.
解:
（I）当k=2时，1x
3
由于f
（1）ln
（2）,f
（1）2,所以曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为
3
y=ln2=2（xT）。
即3x-2y+2ln2-3=0f'（x）=x（k：
k-1..（_1,•：
：
）.
（II）
1+x
f'（x）=
f'（x）：
：
：
0；
当k=0时，1+x
因此在区间（一1,0）上,f'（x）0;在区间（0,二）上,
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为
当0:
:
:
k：
：
：
1时,
1x
（1—k旦）
因此，在区间_1,0和k'
（x）/（kx—JoX"0,x2
…，得
即函数f（x）的单调递增区间为一1,0和
1—k0k；
5
1—k
上，f'（x）0；在区间（0，〒）上,
1—k（,；）k，单调递减区间为
f'（X）:
:
：
0；
/c1-k\
（0,）
k；
2
f'（x）=-^—/彳丄\
当k=1时，1+x.f（x）的递增区间为3,3）
当k1时，由
因此，在区间
f'（x）=x（kxk-1）=0x=0,X2Jk.（_1,0）
1+x，得k；
41—k1—k
（_1,nr）和（o,；）上，f'（x）0，在区间（〒,0）上,
〔1,Sj
的单调递增区间为.'k和（°，；），单调递减区间为
（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积
1
等于-丄.
3
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：
是否存在点P使得△PAB与厶PMN勺面积相等？
若存
在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
19,
解：
（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1,-1）。
y—1y+1y—1y+11
fx\八kAP=■~,kBP—~=__
设P点坐标为x,y，则x1x-1，由题意得x1x-13,
22
化简得：
X3y=4,（x7）。
即P点轨迹为：
x?
3/=4,（^-1）
（2）因/APB+NMPN=180°，可得sin丛APB=sinZMPN,
11
SAPBPAPBsin.APB,Smpn二PMPNsin.MPN又…22，
若S搜b=S应pn，则有PA||PB=PM||PN，
PAPN即PM=PB
Xo1_3—X。
设P点坐标为Xo，yo，则有：
3—x°X。
-1
533
Xo=—2.0x,2Ay0=二一
解得：
3，又因Xo6。
=4，解得9。
5.335.33
,-故存在点p使得PAB与PMN的面积相等，此时P点坐标为39或39
（20）（本小题共13分）
已知集合Sn二{X|X=（X1,X2，…,Xn）,X1{0,1},i=1,2,…，n}（n一2）对于人二⑻忌,…an,）,
B屮也,…bn,）•Sn，定义A与B的差为
A-B=（|a1a2-I，…|an"bn|）;
n
A与B之间的距离为d（A,B）=E匕-b|
（I）证明：
—A,B,CSn，有A-BSn,且d（A-C,B-C）=d（A,B）；
（n）证明：
-A,B,C・Sn，d（A,B）,d（A,C）,d（B,C）三个数中至少有一个是偶数
（川）设P—Sn,P中有m（m>2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d（P）.
证明：
d（P）2（m-1）
【分析】：
这道题目的难点主要出现在读题上，这里简要分析一下。
题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于31的，其实31中的元素就是一个n维的坐标，其
中每个坐标值都是0或者1,也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1,第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才
能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，
就能看到整体的性质了。
第一问，因为每个数位上都是0或者1,取差的绝对值仍然是0或者1,符合S1的要求。
然后是减去
C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差。
第二问，先比较A和B有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后比较A和C有几个不同，这
两者重复的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同）去掉两次（因为在
前两次比较中各计算了一次），剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：
h二k•I—2i，
从而三者不可能同为奇数。
第三问，首先理解P中会出现Cm个距离，所以平均距离就是距离总和再除以Cm，而距离的总和仍然
可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位。
然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即
2
m
ti（m—tj兰——,
可，等算出来4一切就水到渠成了。
此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范。
解：
（1）设A~（a1Ia2,...,an）,B—（bl,b?
j...j）,C—（cl,C2,...,CnSn
因a,b•9,仁故ai-b|；〔0,1』i=1,2,...,n
即A-B二ai-bi,a2—b2,...,an—bn）匸Si
又ai,b,G：
0,1f,i=1,2,...,n.
当c时，有|印—g—b—cllTai—b；
当c=1时有|ai-Ci-bi-c』=（1-a）-（1-h）=ai-bi
n
d（A-C,B-C）=：
Za-bi|=d（A,B）
故v
记d（A,B）二k,d（A,C）=l,d（B,C）二h
记。
一（0,0,...,0）Sn，由第一问可知：
d（A,B）二d（A-A,B-A）=d（O,B-A）二kd（A,C）=d（A-A,C-A）=d（O,C-A）=1d（B,C）=d（B—A,C—A）=h
即bY中1的个数为k,—ai中i的个数为|,（i^，2,…，n）
设t是使b—a=g_ai|/成立的i的个数，则有h=k+l_2i,
由此可知，k」，h不可能全为奇数，即d（A,B）,d（A,C）,d（B,C）三个数中至少有一个是偶数。
2d（P）二'd（A,B）、、d（A,B）
（3）显然P中会产生Cm个距离，也就是说CmABP，其中A,BP表示P中每两个
t个1，那么自然有m—ti个o,因此在这个
元素距离的总和。
分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了
位置上所产生的距离总和为
2
m
ti（m7）,（i=1,2,...,n）
4
_12
d（P）=疋瓦d（A,B^m!
2即CmA,BP4Cm
下面就一些具体问题来阐述一下解题思路，希望可以指点今后高三学生的一些复习方向。
选择题，第5题，考察知识点：
极坐标系，在这个问题的设置上，命题人很巧妙地加入了一个乘积为0的现象，这违背了不少考生在之前的模拟考试中对于极坐标题的认识，认为就是简简单单的坐标转化，这一设置虽未增加多少难度，但构思仍然值得称赞。
选择题，第6题，考察知识点：
常用逻辑，向量。
借助函数的背景，把几个小知识点灵活地放在一起，若略有粗心便可能失分。
选择题，第7题，考察知识点：
线性规划，指数函数。
同样是求参数范围，这道题却能突破常规，最大值是3容易想，所有的a大于1却需要学生敏锐的观察力。
选择题，第8题，考察知识点：
立体几何。
四个运动的点会让考生感觉不太舒服，而几何的美妙之处很大程度上就在于如何从运动中寻找不变，这也是一向北京市命题风格，09年的选择题最后一题也体现了
这个风格。
填空题，第14题，一个正方形的滚动虽然是新背景，但也不是第一次在考试中见到，但是这样的滚动方式还是会让不少学生感觉陌生，如何迅速地考察运动状态的每一次变化，就成为了解决这个问题的关键。
解答题整体难度梯度较好，第15题直接考察三角函数虽然有些出人意外，但题目本身中规中矩，跟
平时三角函数的练习并没有太大区别，立体几何，概率，导数三道大题也依然维持常态，与我们平时在课堂上讲解的东西保持一致。
值得说的是最后两道大题。
19题为解析几何大题，第二问很多考生反映说计算量很大，的确，如果按照一般的计算交点然后计算
距离的方式去求三角形面积，计算量的确不小，但是这样做的同学大多数都是拿到题目，未详细思考直接动笔运算，事实上，如果认真考察两个三角形之间的关系，便可以发现这道题目并不需要过于复杂的运算，
我后面给出的解法口算即可完成。
最后一题的立意继承了07年的压轴题立意，在离散情况下处理集合的新背景规则，带有一些组合技
巧。
考生的瓶颈在于读题上，大多数同学读到复杂的符号和定义的时候便头晕眼花，这说明了许多考生对于数学语言的理解层面尚浅，不能将抽象的符号语言转化为直观的认识，北京近年来的压轴题风格多为此类，下一届的高三应该在这方面多下功夫。
2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）
（北京卷）
参考答案
、选择题
（本大题共
（1）
B
（5）
C
、填空题
（本大题共
（9）
（-1,1）
（11）
0.0303
（13）
（-4，0）
、解答题
（本大题共
（15）
（共13分）
解：
（
Df（3"
8小题，每小题
（2）C
（6）B
6小题，每小题
5分,
5分,
6小题，共80分）
共40分）
（3）C
（7）A
共30分）
（10）1
（12）5
（14）4
2.7
2cossin24cos13=-
3334
22
（II）f（x）=2（2cosx-1）（1-cosx）-4cosx
（4）
（8）
E
=3cos2x-4cosx-1
2
27
=3（cosx）,x=R
33
因为cosx[_1,1],
所以，当cosx=-1时，f（x）取最大值6；当
27cosx时，f（x）取最小值
33
（16）（共14分）
证明：
（I）设AC与BD交与点G。
1
因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.
2
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF//平面EG，
因为EG二平面BDE，AF二平面BDE，所以AF//平面BDE.
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面
相互垂直，且CE_AC，
所以CE_平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（恵，42，0），B（0，丘，0）
所以CFIB：
=0-11=o,CFlde—101=0
所以CF_BE,CF_DE.所以CF_BDE.
」（x,y,z）小2,0卫）=0
（x,y,z）G：
0,—眨,1）=0
令y=1,则z=2.
所以n=（0,1,、、2）.
从而cosn,CFnCF3
|n||CF|2
5125
因为二面角A-BE-D为锐角，
所以二面角A-BE-D的大小为一.
6
（17）（共13分）解：
事件A表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知
4
P（A），P（AzHP，P（A3）=q
5
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“=0”是对立的，所以该生至少有1
门课程取得优秀成绩的概率是
119
125125
（II）由题意知
p（=o）=p（A1A2A3）=丄（1-p）（1-q）=
整理得pq一，pq
125
由pq，可得p=—，q=_.
55
（III）由题意知a=P（=1）=P（aAA—）p（AaA—）p（AA2A3）
411
=4（1-p）（1-q）；P（1-q）；（1-p）q
555
_37
_125
b=P（F：
=2）=1-P（F：
=0）-P（F：
=1）-PC：
-3）
=58
=125
E=0P（=0）1P（=1）2P（=2）3P（=3）
（18）（共13分）
解：
（l）当k=2时，f（x）=ln（1x）-xx2，f'（x）—-12x
3
由于f
（1）=ln2，f'（1^-，
所以曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为
y—ln2=2（x-1）
即3x-2y2ln_2=30（II）f'（x）=x（kxk"）,x.（“「J.
1+x
x
当k=0时，f'（x）
1+x
所以，在区间（-1,0）上，f'（x）.O；在区间（0,七）上，f'（x）：
：
：
0.
故f（x）得单调递增区间是（-1,0），单调递减区间是（0,
当0：
：
k：
：
1时，由f'（x）=x（kxk-1）=0，得，1k0
1+xk
1_k1_k
所以，在区间（-1,0）和（，二）上，f'（x）■0；在区间（0,）上，f'（x）：
：
：
0
kk
1-k1-k
故f（x）得单调递增区间是（-1,0）和（「：
），单调递减区间是（0,）.
kk
2
x
当k=1时，f'（x）二
1+x
故f（x）得单调递增区间是（-
当k1时，f'（x）=x（kxk"
升级会员 