高数学习资料一.docx

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高数学习资料一

第一章函数与极限

函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。

§1、函数

一、集合、常量与变量

1、集合：

集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。

通常用大写字母A、B、C……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。

若事物a是集合M的一个元素，就记aM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）；集合有时也简称为集。

注1：

若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。

2：

集合的表示方法：

3：

全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。

以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。

4：

集合间的基本关系：

若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就称A为B的子集，记为,或（读B包含A）。

显然：

.

若,同时,就称A、B相等,记为A=B。

5：

当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：

{1,2,2,3}={1,2,3}。

6：

不含任何元素的集称为空集,记为,如：

{}=,{}=,空集是任何集合的子集,即。

7：

区间：

所有大于a、小于b＜的实数组成一个集合,称之为开区间,记为（a,b）,即（a,b）=。

同理：

[a,b]=为闭区间，和分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。

以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点。

对无穷区间有：

，

在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示。

8：

邻域：

设a和为两个实数，且0.集合称为点a的邻域，记为,a为该邻域的中心，为该邻域的半径，事实上，

。

同理：

我们称为a的去心邻域，或a的空心邻域。

9：

集合的内容很多，其它内容（如集合的运算）在此不作一一介绍了。

2、常量与变量：

在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。

【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。

注1：

常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。

2：

常量一般用a,b,c……等字母表示，变量用x,y,u,t……等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：

表示可代表中的任一个数。

二、函数的概念

【例】正方形的边长与面积之间的关系为：

，显然当确定了，也就确定了。

这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。

它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。

定义：

设和为两个变量，，为一个给定的数集，如果对每一个，按照一定的法则变量总有确定的数值与之对应，就称为的函数，记为.数集称为该函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。

当取数值时，依法则的对应值称为函数在时的函数值。

所有函数值组成的集合称为函数的值域。

注1：

函数通常还可用等表示。

2：

约定：

函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。

【例1】的定义域为，值域为。

【例2】的定义域为，值域为。

【例3】的定义域为，值域为。

【例4】的定义域为，的定义域为，从而显然。

3、若对每一个，只有唯一的一个与之对应，就称函数为单值函数；若有不止一个与之对应，就称为多值函数。

如：

等。

以后若不特别声明，只讨论单值函数。

4、函数的表示法有三种：

解析法、图象法、列表法。

其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：

当自变量在上取值，其函数值为；当取0时，；当在上取值时，其函数值为。

（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！

）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！

5、对中任一固定的，依照法则有一个数与之对应，以为横坐标，为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。

当取遍中的每一数时，便得到一个点集，我们称之为函数的图形。

换言之，当在中变动时，点的轨迹就是的图形。

【例5】书上的几个例子。

（同学们自己看）

【例6】例3的图形如下图

三、函数的几种特性

1、函数的有界性：

设在上有定义，若对，使得：

，就称在上有界，否则称为无界。

注：

1、若对，，使得，就称在上有上（下）界。

在上有界在上同时有上界和下界。

2、在上无界也可这样说：

对，总，使得。

【例7】上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。

2、函数的单调性：

设函数在区间上有定义，若对，当时总有：

（1），就称在上单调递增，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递增。

（2），就称在上单调递减，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递减。

注：

1、此处的定义与书上有区别，希望注意！

2、2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。

3、3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。

【例8】符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。

【例9】在上是严格单减函数。

【例10】[例3]中的函数在定义域上不是单调的，但在上是严格单减的，在上是严格单增的。

3、函数的奇偶性：

设函数的定义域为对称于原点的数集，即若，有，

（1）若对，有恒成立，就称为偶函数。

（2）若对，有恒成立，就称为奇函数。

【例11】，,,是偶函数，，，，是奇函数。

，是非奇非偶函数。

【例11】﹡是奇函数。

注：

1、偶函数的图形是关于轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。

2、若是奇函数，且，则必有。

3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。

4、周期性：

设函数的定义域为，如果，使得对，有，且恒成立，就称为周期函数，称为的周期。

【例12】分别为周期为的周期函数，为周期为1的函数。

注1：

若为的周期，由定义知也都是的周期，故周期函数有无穷多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？

）

例如：

，设有最小正周期。

2：

周期函数在一每个周期（为任意数，为任意常数）上，有相同的形状。

四、反函数

设的定义域为，值域为，因此，对，必，使得，这样的可能不止一个，若将当作自变量，当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数，称之为函数的反函数，而叫做直接函数。

注1：

反函数的定义域为，值域为；

2：

由上讨论知，即使为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究；

3：

在习惯上往往用表示自变量，表示因变量，因此将中的与对换一下，的反函数就变成，事实上函数与是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。

所以说：

若的反函数为，那么也是的反函数，且后者较常用；

4：

反函数的图形与直接函数的图形是对称于（证明很简单，大家自己看书）；

5：

有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。

【例13】函数的反函数分别为：

或分别为。

§1、2初等函数

一、幂函数

形如（为常数）的函数叫做幂函数。

其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：

（1）当为非负整数时，定义域为；

（2）当为负整数时，定义域为；

（3）当为其它有理数时，要视情况而定。

【例1】的定义域为；

的定义域为；

的定义域为。

（4）当为无理数时，规定其定义域为，其图形也很复杂，但不论取何值，图形总过（1，1）点，当>0时，还过（0，0）点。

二、指数函数与对数函数

1、指数函数：

形如的函数称为指数函数，其定义域为，其图形总在轴上方，且过（0，1）点，

（1）当时，是单调增加的；

（2）当时，是单调减少的；

以后我们经常遇到这样一个指数函数的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，与关于轴对称。

2、对数函数：

指数函数的反函数，记为为常数，,称为对数函数，其定义域为，由前面反函数的概念知：

的图形和的图形是关于对称的，从此，不难得的图形，

的图形总在轴右方，且过（1，0）点

（1）当时，单调递增，且在（0，1）为负，上为正；

（2）当1时，单调递减，且在（0，1）为正，上为负；

特别当取时，函数记为，称为自然对数函数。

三、三角函数与反三角函数

1、三角函数

三角函数主要是：

正弦函数：

余弦函数：

正切函数：

余切函数：

正弦函数和余弦函数均为周期为的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。

正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：

正割和余割，其图形在此不做讨论了。

2、反三角函数：

反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：

反正弦函数：

反余弦函数：

反正切函数：

反余切函数：

显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：

将限制在上，得一单值函数，记为，它就是所取主值函数，叫做主值区间，显然，

同理：

将限制在上，得

将限制在上，得

将限制在上，得

从图中不难看出和是单调递增的，和是单调递减的。

四、复合函数和初等函数

设，定义域为，，定义域为，值域为，且，这样对于，由可算出函数值，所以，由又可算出其函数值，因此对于，有确定的值与之对应，从而得一个以为自变量，为因变量的函数，我们称之为以为外函数，为内函数复合成的复合函数，记为，其中为中间变量。

【例1】就是和复合而成；

就是和复合而成。

注1：

并非任何两函数都可以复合的，

例如：

和不能复合；

和也不能复合。

2：

复合可推广到三个或更多的函数上去，如：

就是复合成的。

3：

在函数复合中，未必都有、的形式，一般为和，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有和之分。

2、初等函数

我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。

【例2】等都是初等函数。

本教材讨论的主要都是初等函数。

五、双曲函数和反双曲函数

双曲正弦：

双曲余弦：

双曲正切：

反双曲正弦：

反双曲余弦：

（多值函数取“+”号为主值）

反双曲正切：

由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。

§1、3数列的极限

所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列（排）。

在数学中，我们可用这样的话来定义：

定义：

数列是定义在自然数集上的函数，记为，由于全体自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：

，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为或数列。

数列中的每一数称为数列的项，第项称为一般项或通项。

【例1】书上用圆内接正边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列（多边形的面积数列）

【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列：

，通项为。

【例3】

都是数列，其通项分别为。

注：

在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。

如果将依次在数轴上描出点的位置，我们能否发现点的位置的变化趋势呢？

显然，是无限接近于0的；是无限增大的；的项是在1与两点跳动的，不接近于某一常数；无限接近常数1。

对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。

我们来观察的情况。

从图中不难发现随着的增大，无限制地