高考常考的两类计算题.docx

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高考常考的两类计算题

能力课　高考常考的“两类”计算题

　[常考点]封闭气体多过程的问题

多过程问题的处理技巧

研究对象（一定质量的气体）发生了多种不同性质的变化，表现出“多过程”现象。

对于“多过程”现象，则要确定每个有效的“子过程”及其性质，选用合适的实验定律，并充分应用各“子过程”间的有效关联。

解答时，特别注意变化过程可能的“临界点”，找出临界点对应的状态参量，在“临界点”的前、后可以形成不同的“子过程”。

【例1】　[2015·全国卷Ⅰ，33

（2）]如图1，一固定的竖直汽缸由一大一小两个同轴圆筒组成，两圆筒中各有一个活塞。

已知大活塞的质量为m1＝2.50kg，横截面积为S1＝80.0cm2；小活塞的质量为m2＝1.50kg，横截面积为S2＝40.0cm2；两活塞用刚性轻杆连接，间距为l＝40.0cm；汽缸外大气的压强为p＝1.00×105Pa，温度为T＝303K。

初始时大活塞与大圆筒底部相距

，两活塞间封闭气体的温度为T1＝495K。

现汽缸内气体温度缓慢下降，活塞缓慢下移。

忽略两活塞与汽缸壁之间的摩擦，重力加速度大小g取10m/s2。

求：

图1

（ⅰ）在大活塞与大圆筒底部接触前的瞬间，缸内封闭气体的温度；

（ⅱ）缸内封闭的气体与缸外大气达到热平衡时，缸内封闭气体的压强。

解析　（ⅰ）大小活塞在缓慢下移过程中，受力情况不变，汽缸内气体压强不变，由盖－吕萨克定律得

＝

初状态V1＝

（S1＋S2），T1＝495K

末状态V2＝lS2

代入可得T2＝

T1＝330K

（ⅱ）对大、小活塞受力分析则有

m1g＋m2g＋pS1＋p1S2＝p1S1＋pS2

可得p1＝1.1×105Pa

缸内封闭的气体与缸外大气达到热平衡过程中，气体体积不变，由查理定律得

＝

，T3＝T＝303K

解得p2＝1.01×105Pa

答案　（ⅰ）330K　（ⅱ）1.01×105Pa

【变式训练1】　[2015·新课标全国Ⅱ，33

（2）]如图2，一粗细均匀的U形管竖直放置，A侧上端封闭，B侧上端与大气相通，下端开口处开关K关闭；A侧空气柱的长度为l＝10.0cm，B侧水银面比A侧的高h＝3.0cm。

现将开关K打开，从U形管中放出部分水银，当两侧水银面的高度差为h1＝10.0cm时将开关K关闭。

已知大气压强p0＝75.0cmHg。

图2

（ⅰ）求放出部分水银后A侧空气柱的长度；

（ⅱ）此后再向B侧注入水银，使A、B两侧的水银面达到同一高度，求注入的水银在管内的长度。

解析　（ⅰ）以cmHg为压强单位。

设A侧空气柱长度l＝10.0cm时的压强为p；当两侧水银面的高度差为h1＝10.0cm时，空气柱的长度为l1，压强为p1。

由玻意耳定律得pl＝p1l1①

由力学平衡条件得p＝p0＋h②

打开开关K放出水银的过程中，B侧水银面处的压强始终为p0，而A侧水银面处的压强随空气柱长度的增加逐渐减小，B、A两侧水银面的高度差也随之减小，直至B侧水银面低于A侧水银面h1为止。

由力学平衡条件有

p1＝p0－h1③

联立①②③式，并代入题给数据得l1＝12.0cm④

（ⅱ）当A、B两侧的水银面达到同一高度时，设A侧空气柱的长度为l2，压强为p2。

由玻意耳定律得pl＝p2l2⑤

由力学平衡条件有p2＝p0⑥

联立②⑤⑥式，并代入题给数据得l2＝10.4cm⑦

设注入的水银在管内的长度Δh，依题意得

Δh＝2（l1－l2）＋h1⑧

联立④⑦⑧式，并代入题给数据得Δh＝13.2cm⑨

答案　（ⅰ）12.0cm　（ⅱ）13.2cm

　[常考点]关联气体的状态变化问题

多系统问题的处理技巧

多个系统相互联系的定质量气体问题，往往以压强建立起系统间的关系，各系统独立进行状态分析，要确定每个研究对象的变化性质，分别应用相应的实验定律，并充分应用各研究对象之间的压强、体积、温度等量的有效关联，若活塞可自由移动，一般要根据活塞平衡确定两部分气体的压强关系。

【例2】　[2017·全国卷Ⅰ，33

（2）]如图3，容积均为V的汽缸A、B下端有细管（容积可忽略）连通，阀门K2位于细管的中部，A、B的顶部各有一阀门K1、K3；B中有一可自由滑动的活塞（质量、体积均可忽略）。

初始时，三个阀门均打开，活塞在B的底部；关闭K2、K3，通过K1给汽缸充气，使A中气体的压强达到大气压p0的3倍后关闭K1。

已知室温为27℃，汽缸导热。

图3

（ⅰ）打开K2，求稳定时活塞上方气体的体积和压强；

（ⅱ）接着打开K3，求稳定时活塞的位置；

（ⅲ）再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20℃，求此时活塞下方气体的压强。

解析　（ⅰ）设打开K2后，稳定时活塞上方气体的压强为p1，体积为V1。

依题意，被活塞分开的两部分气体都经历等温过程。

由玻意耳定律得

p0V＝p1V1①

（3p0）V＝p1（2V－V1）②

联立①②式得

V1＝

③

p1＝2p0④

（ⅱ）打开K3后，由④式知，活塞必定上升。

设在活塞下方气体与A中气体的体积之和为V2（V2≤2V）时，活塞下气体压强为p2由玻意耳定律得

（3p0）V＝p2V2⑤

由⑤式得

p2＝

p0⑥

由⑥式知，打开K3后活塞上升直到B的顶部为止；此时p2为

p2′＝

p0

（ⅲ）设加热后活塞下方气体的压强为p3，气体温度从T1＝300K升高到T2＝320K的等容过程中，由查理定律得

＝

⑦

将有关数据代入⑦式得

p3＝1.6p0⑧

答案　（ⅰ）

　2p0　　（ⅱ）顶部　（ⅲ）1.6p0

【变式训练2】　[2016·全国卷Ⅲ，33

（2）]一U形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞。

初始时，管内汞柱及空气柱长度如图4所示。

用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为止。

求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离。

已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p0＝75.0cmHg。

环境温度不变。

图4

解析　设初始时，右管中空气柱的压强为p1，长度为l1；左管中空气柱的压强为p2＝p0，长度为l2。

活塞被下推h后，右管中空气柱的压强为p1′，长度为l1′；左管中空气柱的压强为p2′，长度为l2′。

以cmHg为压强单位。

由题给条件得

p1＝p0＋（20.0－5.00）cmHg＝90cmHg

l1＝20.0cm①

l1′＝（20.0－

）cm＝12.5cm②

由玻意耳定律得

p1l1S＝p1′l1′S③

联立①②③式和题给条件得

p1′＝144cmHg④

依题意

p2′＝p1′⑤

l2′＝4.00cm＋

cm－h＝11.5cm－h⑥

由玻意耳定律得

p2l2S＝p2′l2′S⑦

联立④⑤⑥⑦式和题给条件得

h＝9.42cm⑧

答案　144cmHg　9.42cm

活页作业

（时间：

30分钟）

1.如图1所示，一上端开口、下端封闭的细长玻璃管竖直放置。

玻璃管的下部封有长l1＝25.0cm的空气柱，中间有一段长l2＝25.0cm的水银柱，上部空气柱的长度l3＝40.0cm。

已知大气压强为p0＝75.0cmHg。

现将一活塞（图中未画出）从玻璃管开口处缓慢往下推，使管下部空气柱长度变为l1′＝20.0cm。

假设活塞下推过程中没有漏气，求活塞下推的距离。

图1

解析　

以cmHg为压强单位。

在活塞下推前，玻璃管下部空气柱的压强p1＝p0＋l2①

设活塞下推后，下部空气柱的压强为p1′，由玻意耳定律得

p1l1＝p1′l1′②

如图所示，设活塞下推距离为Δl，则此时玻璃管上部空气柱的长度l3′＝l3＋（l1－l1′）－Δl③

设此时玻璃管上部空气柱的压强为p3′，则

p3′＝p1′－l2④

由玻意耳定律得p0l3＝p3′l3′⑤

联立①～⑤式及题给数据解得Δl＝15.0cm⑥

答案　15.0cm

2.如图2所示，内壁光滑、长度均为4l、横截面积均为S的汽缸A、B，A水平、B竖直固定，之间由一段容积可忽略的细管相连，整个装置置于温度为27℃、大气压为p0的环境中，活塞C、D的质量及厚度均忽略不计。

原长3l、劲度系数k＝

的轻弹簧，一端连接活塞C、另一端固定在位于汽缸A缸口的O点。

开始活塞D距汽缸B的底部3l。

后在D上放一质量为m＝

的物体。

求：

图2

（1）稳定后活塞D下降的距离；

（2）改变汽缸内气体的温度使活塞D再回到初位置，则气体的温度应变为多少？

解析　

（1）由于活塞的质量不计，所以初始状态汽缸A、B中的气体压强都为大气压p0，弹簧弹力为零，

所以活塞C到汽缸A底部的距离为x1＝l

放上物体稳定后汽缸A、B中气体的压强都为p1，对D活塞有p1S＝mg＋p0S

对活塞C有p1S＝F1＋p0S

F1为弹簧的弹力，F1＝kΔx1＝

Δx1

联立以上三式可求得弹簧被压缩Δx1＝

此时活塞C距汽缸底部的距离为x2＝

初态下气体的总体积V0＝4lS，末态总体积为V1，由玻意耳定律p0V0＝p1V1，解得V1＝2lS

由此可知活塞D下降的距离为x＝3l－

＝

（2）改变气体温度使活塞D回到初位置，气体为等压变化，所以弹簧位置不变。

V2＝

lS

由盖—吕萨克定律

＝

解得T2＝650K，所以气体此时的温度为t＝377℃。

答案　

（1）

（2）377℃

3.[2018·湖南六校联考，33

（2）]如图3所示，除右侧壁导热良好外，其余部分均绝热的汽缸水平放置，MN为汽缸右侧壁。

汽缸的总长度为L＝80cm，一厚度不计的绝热活塞将一定质量的氮气和氧气分别封闭在左右两侧（活塞不漏气）。

在汽缸内距左侧壁d＝30cm处设有卡环A、B，使活塞只能向右滑动，开始时活塞在AB右侧紧挨AB，缸内左侧氮气的压强p1＝0.8×105Pa，右侧氧气的压强p2＝1.0×105Pa，两边气体和环境的温度均为t1＝27℃，现通过左侧汽缸内的电热丝缓慢加热氮气，使氮气温度缓慢升高，设外界环境温度不变。

图3

（1）求活塞恰好要离开卡环时氮气的温度；

（2）继续缓慢加热汽缸内左侧氮气，使氮气温度升高至227℃，求活塞移动的距离。

解析　

（1）“恰好要离开”即汽缸内氮气压强与氧气压强相等，取封闭的氮气为研究对象，

初状态：

p1＝0.8×105Pa　T1＝300K　V1＝dS

末状态：

p2＝1.0×105Pa　T2　V2＝V1

由查理定律

＝

代入数据解得T2＝375K

（2）继续缓慢加热汽缸内气体，使氮气温度升高至

T3＝227℃＋273K＝500K，

设活塞移动距离为x

取氮气为研究对象，

初状态：

p1＝0.8×105Pa　T1＝300K　V1＝dS

末状态：

p3　T3＝500K　V3＝dS＋xS

由理想气体状态方程得

＝

取氧气为研究对象，

初状态：

p2＝1.0×105Pa　T1＝300K　V4＝（L－d）S

末状态：

p5＝p3　T5＝300K　V5＝LS－V3

由玻意耳定律p2V4＝p5V5

代入数据解得，向右移动的距离x≈5.6cm

答案　

（1）375K　

（2）5.6cm

4.如图4所示，一定质量的理想气体密封在体积为V0的容器中，室温为T0＝

300K，有一光滑导热活塞C（不占体积）将容器分成A、B两室，B室的体积是A室的两倍，A室容器连接有一U形管（U形管内气体的体积忽略不计），两边水银柱高度差为76cm，B室容器连接有一阀门K，可与大气相通。

（外界大气压强p0＝76cmHg）

图4

（1）将阀门K打开后，A室的体积变成多大？

（2）在

（1）的情况下，将容器加热到500K，U形管内两边水银面的高度差为多少？

解析　

（1）打开阀门，A室内气体压强最终会与外