人教九数上册第24章 圆.docx

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人教九数上册第24章圆

第24章圆

24.1圆的有关性质

24.1.1圆

自主预习

1．如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，记作⊙O，读作“圆O”，其固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__．

2．圆可以看成是到一个定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合．

1题图

3．圆的有关概念

（1）弦、直径

弦：

连接圆上任意两点的__线段__叫做弦．

直径：

经过__圆心__的弦叫做直径．

直径是圆中__最长__的弦．

（2）弧、半圆、优弧、劣弧

弧：

圆上任意__两点间__的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作____，读作“圆弧AB”或“弧AB”．

半圆：

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

优弧：

大于半圆的弧叫做优弧．

劣弧：

小于半圆的弧叫做劣弧．

（3）等圆、等弧

等圆：

能够重合的两个圆叫做等圆．

等弧：

在同圆或等圆中，能够__互相重合__的弧叫做等弧．

名师讲堂

知识点1：

圆的有关概念

例1：

　有下列四个说法：

①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④长度相等的弧是等弧．其中错误的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

思路分析：

根据圆、直径、弦等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定．直径是弦，但弦不一定是直径．等弧包括两方面的内容：

长度和所在圆的半径大小．所以①③④的说法是错误的．

答案：

C

方法提炼：

（1）确定圆的条件：

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

（2）直径是弦，但弦不一定是直径；

（3）劣弧只需用弧端点的两个字母表示；

（4）优弧必须用三个字母表示，其中表示端点的两个字母写在两端；

（5）等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等；

2题图

（6）等弧的弧长相等，但弧长相等的弧不一定是等弧．

自主体验

1.下列语句中不正确的有（　B　）

①过圆上一点可以作圆中最长的弦无数条；

②长度相等的弧是等弧；

③圆上的点到圆心的距离都相等；

④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在同一直线上，图中弦的条数为（　A）

4题图

A．2　　　　B．3C．4　　　　D．5

3.根据下列条件只能画出一个圆的是（D）

A.以一个点O为圆心画圆；B.以5cm为半径画圆

C.过已知线段AB的两个端点画圆D.以线段AB为直径画圆

4.如图，AC　是⊙O的直径；弦有___AB，BC，AC；劣弧有_，_；优弧有_，．

知识点2：

圆中的有关计算与证明

例2：

　如图所示，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．

思路分析：

已知∠EOD＝78°，与∠A构成了内、外角关系，而∠E也未知，且AB＝OC这一条件不能直接使用，因此想到同圆的半径相等，需连接半径OB，从而得到OB＝AB.

解：

连接OB.

∵AB＝OC，OB＝OC，

∴AB＝OB，

∴∠A＝∠1.

又∵OB＝OE，

∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，

∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.

而∠DOE＝78°，

∴3∠A＝78°，∴∠A＝26°.

方法提炼：

解与弦有关的问题，要求边与角时，连接半径构成等腰三角形是常作的辅助线．

自主体验

5.（2015•诸城市）如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则∠DAC等于（　B　）

A．15°B．30°C．45°D．60°

5题图

6题图

7题图

6.如图所示，OB，OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点．若∠B＝20°，∠C＝30°，则∠A的度数为__50°

7.如图所示，在⊙O中，AB，CD为直径，请判断AD与BC的位置关系．

解：

AD∥BC.如图24－1－12，连接AC，BD.

∵AB，CD为⊙O的直径，

∴OA＝OB，OC＝OD，

∴四边形ADBC是平行四边形，

∴AD∥BC.

自主训练

1.（2015•张家港）下列说法中，不正确的是（　A　）

A．直径是弦，弦是直径B．半圆周是弧

C．圆上的点到圆心的距离都相等D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长

2.M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3cm，那么一定有（　D　）

A．MN＞6cmB．MN＝6cmC．MN＜6cmD．MN≤6cm

3.下列说法：

①矩形的四个顶点在同一个圆上；②菱形的四个顶点在同一个圆上；③平行四边形的四个顶点在同一个圆上．其中正确的有（　B　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

4.（2015•武平县）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则∠MON的度数为（　C　）

A．40°B．50°C．80°D．100°

5.（2015•黄陂区）如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE=OB，已知∠DOB=72°，则∠E等于（　D　）

A．36°B．30°C．18°D．24°

9题图

8题图

5题图

4题图

6.圆中最长的弦为10cm，则该圆的半径为5cm

7.直角三角形的斜边长时6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是_9π_.

8.（2015•北碚区）如图：

AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠AOC的大小是　48　°．

9.如图，A，B是⊙O上的两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为r（用含r的式子表示）

10.已知：

如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：

MC=NC．

10题图

证明：

因为M、N分别为OA、OB的中点.

所以OM=

OA，ON=

OB.

又因为0A=OB，所以OM=ON.

因为OC=OC，∠AOC=∠BOC，OM=ON

所以△MCO≌△NCO，所以MC=NC.

11.已知点P到⊙O上一点的最长距离为6cm，最短距离为2cm.试求⊙O的半径长．

解：

（1）如图24－1－17（a），当点P在⊙O内部时，PA＝6cm，PB＝2cm，

∴直径AB＝PA＋PB＝6＋2＝8（cm），

∴⊙O的半径长为AB＝4cm.

11题答案图

（2）如图24－1－17（b），当点P在⊙O外部时，PA＝6cm，PB＝2cm，

∴直径AB＝PA－PB＝6－2＝4（cm），

∴⊙O的半径长为AB＝2cm.

综上所述，⊙O的半径长为2cm或4cm.

12.如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：

A，B，C，D四点在同一个圆上．

证明：

取弦AB的中点O，连接OC，OD.

12题答案图

∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴CO，DO分别为Rt△ABC和Rt△ABD斜边上的中线，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∴A，B，C，D四点在同一个圆上．

12题图

自我提升

13题图

13.如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm²，则该半圆的半径为

.

14.如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF.

14题图

求证：

（1）AB＝AC；

（2）A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．

证明：

（1）∵AE⊥EF,EF∥BC，

∴AD⊥BC.

在△ABD和△ACD中，

∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD（或者∵BD＝CD，

∴AD是BC的垂直平分线），∴AB＝AC.

（2）连接BO.

∵AD是BC的垂直平分线，

∴BO＝CO.

又∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO，

∴A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．

24.1.2垂直于弦的直径

自主预习

1题图

1.操作：

在你准备好的圆心为O的圆形纸片上画一条弦AB，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E，沿CD折叠此图后回答：

（1）这个图形是轴对称图形，它的对称轴是直径CD所在的直线

（2）相等的线段：

AE＝BE，OC＝OD.

（3）相等的劣弧：

＝，＝.

2.垂径定理：

垂直于弦的直径平分__弦__，并且平分__弦所对的两条弧__．

推论：

平分弦（不是直径）的直径__垂直__于弦，并且__平分___弦所对的两条弧．

3.（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（　B　）

3题图

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

名师讲堂

知识点1：

垂径定理的运用

例1：

如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求弦AB和CD之间的距离．

思路分析：

过圆心O作弦AB的垂线，易证它也与弦CD垂直，由垂径定理知AE＝BE，CF＝DF.根据勾股定理可求OE，OF的长，进而可求出弦AB和CD之间的距离．

解：

过点O作OE⊥AB，交CD于点F，连接OA.

∵AB∥CD，

∴OF⊥CD.

在Rt△OAE中，

∵OA＝17，AE＝BE＝AB＝15，

∴OE＝＝8，

同理可求OF＝＝15.

∵圆心O位于AB，CD的上方，

∴EF＝OF－OE＝15－8＝7，

即弦AB和CD之间的距离是7cm.

方法提炼：

在圆中解有关弦心距、半径的问题时，常作“过圆心的直线”这一辅助线，把垂径定理和勾股定理结合起来解题．

自主体验

1.如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（　C　）

A.∠COE＝∠DOEB．CE＝DEC．OE＝BED.＝

3题图

2题图

1题图

2.（2015•西藏）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，BC=24，则线段OA的长为（　A　）

A．5B．6C．7D．8

3.（2016.徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（　C　）

A．10B．8C．5D．3

知识点2：

垂径定理在实际生活中的应用

例2：

“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：

“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？

”答曰：

“26寸”．

题目用现在的数学语言表达：

“如图所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”

例2图

思路分析：

连接OA，构造Rt△AOE，利用勾股定理及垂径定理解答．

解：

连接OA.

∵CD⊥AB于点E，CD为⊙O的直径，

∴AE＝AB＝×10＝5（寸）．

在Rt△AEO中，设AO＝x寸，则OE＝（x－1）寸．

由勾股定理，得x2＝52＋（x－1）2，

解得x＝13，

∴OA＝13寸，

∴CD＝2OA＝26寸．

答：

直径CD的长为26寸．

方法提炼：

建模思想：

运用垂径定理解题时的模型如下：

如图，设⊙O的半径是r，圆心到弦的距离是d，弦长是a，三者之间的关系是r2＝d2＋.

常见的辅助线：

（1）连半径，构造直角三角形；

（2）作弦心距，构造直角三角形．

自主体验

4.（2016.南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示．若油面AB＝1