人教九数上册第24章 圆.docx

1、人教九数上册第24章 圆第24章 圆24.1圆的有关性质 24.1.1圆自主预习1如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 圆 ，记作O，读作“圆O”，其固定的端点O叫做_圆心_，线段OA叫做_半径_2圆可以看成是到一个定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合1题图3圆的有关概念（1） 弦、直径弦：连接圆上任意两点的_线段_叫做弦直径：经过_圆心_的弦叫做直径直径是圆中_最长_的弦（2）弧、半圆、优弧、劣弧弧：圆上任意_两点间_的部分叫做圆弧，简称弧以A，B为端点的弧记作_，读作“圆弧AB”或“弧AB”半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两

2、条弧，每一条弧都叫做半圆优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧（3）等圆、等弧等圆：能够重合的两个圆叫做等圆等弧：在同圆或等圆中，能够_互相重合_的弧叫做等弧名师讲堂知识点1：圆的有关概念例1：有下列四个说法：半径确定了，圆就确定了；直径是弦；弦是直径；长度相等的弧是等弧其中错误的有()A1个 B2个 C3个 D4个思路分析：根据圆、直径、弦等概念来判断半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定直径是弦，但弦不一定是直径等弧包括两方面的内容：长度和所在圆的半径大小所以的说法是错误的答案：C方法提炼： (1)确定圆的条件：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；(2)直径是弦

3、，但弦不一定是直径；(3)劣弧只需用弧端点的两个字母表示；(4)优弧必须用三个字母表示，其中表示端点的两个字母写在两端；(5)等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等；2题图(6)等弧的弧长相等，但弧长相等的弧不一定是等弧自主体验1. 下列语句中不正确的有(B)过圆上一点可以作圆中最长的弦无数条；长度相等的弧是等弧；圆上的点到圆心的距离都相等；同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长A1个 B2个 C3个 D4个2. 如图所示，在O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在同一直线上，图中弦的条数为(A)4题图A2 B3 C4D53.根据下列条件只能画出一个圆的是（D）A.以一个点O为圆心画圆； B.以5cm为半径

4、画圆 C.过已知线段AB的两个端点画圆 D.以线段AB为直径画圆4. 如图， AC是O的直径；弦有_ AB，BC，AC；劣弧有_，_；优弧有_， 知识点2：圆中的有关计算与证明例2：如图所示，已知CD是O的直径，EOD78，AE交O于点B，且ABOC，求A的度数思路分析：已知EOD78，与A构成了内、外角关系，而E也未知，且ABOC这一条件不能直接使用，因此想到同圆的半径相等，需连接半径OB，从而得到OBAB.解：连接OB.ABOC，OBOC，ABOB，A1.又OBOE，E21A2A，DOEEA3A.而DOE78，3A78，A26.方法提炼：解与弦有关的问题，要求边与角时，连接半径构成等腰三角

5、形是常作的辅助线自主体验5.（2015诸城市 ）如图，AB是O的直径，D、C在O上，ADOC，DAB=60，连接AC，则DAC等于（B）A15 B30 C45 D605题图6题图7题图6. 如图所示，OB，OC是O的半径，A是O上一点若B20，C30，则A的度数为_507. 如图所示，在O中，AB，CD为直径，请判断AD与BC的位置关系解： ADBC.如图24112，连接AC，BD.AB，CD为O的直径，OAOB，OCOD，四边形ADBC是平行四边形，ADBC.自主训练1. （2015 张家港 ）下列说法中，不正确的是（A）A直径是弦，弦是直径 B半圆周是弧C圆上的点到圆心的距离都相等 D同圆

6、或等圆中，优弧一定比劣弧长2. M，N是O上的两点，已知OM3 cm，那么一定有(D)AMN6 cm BMN6 cm CMN6 cm DMN6 cm3. 下列说法：矩形的四个顶点在同一个圆上；菱形的四个顶点在同一个圆上；平行四边形的四个顶点在同一个圆上其中正确的有(B)A0个 B1个 C2个 D3个4.（2015 武平县）如图所示，MN为O的弦，N=50，则MON的度数为（C） A40 B50 C80 D100 5.（2015 黄陂区 ）如图，O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE=OB，已知DOB=72，则E等于（D）A36 B30 C18 D249题图8题图5题图4题图6.

7、圆中最长的弦为10cm，则该圆的半径为 5cm 7. 直角三角形的斜边长时6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是_9_.8. （2015 北碚区 ）如图：AB为O的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB=2DE，E=16，则AOC的大小是489. 如图，A，B是O上的两点，若四边形ACBO是菱形，O的半径为r，则点A与点B之间的距离为 r （用含r的式子表示）10. 已知：如图，OA、OB、OC是O的三条半径，AOC=BOC，M、N分别为OA、OB的中点求证：MC=NC10题图 证明：因为M、N分别为OA、OB的中点.所以OM=OA，ON=OB. 又因为0A=

8、OB，所以OM=ON.因为OC=OC，AOC=BOC，OM=ON所以MCONCO，所以MC=NC.11. 已知点P到O上一点的最长距离为6 cm，最短距离为 2 cm.试求O的半径长解：(1)如图24117(a)，当点P在O内部时，PA6 cm，PB2 cm，直径ABPAPB628(cm)，O的半径长为AB4 cm.11题答案图(2)如图24117(b)，当点P在O外部时，PA6 cm，PB2 cm，直径ABPAPB624(cm)，O的半径长为AB2 cm.综上所述，O的半径长为2 cm或4 cm. 12. 如图，ABC和ABD都为直角三角形，且CD90.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上证

9、明：取弦AB的中点O，连接OC，OD.12题答案图ABC和ABD都为直角三角形，且ACBADB90，CO，DO分别为RtABC和RtABD斜边上的中线，OAOBOCOD，A，B，C，D四点在同一个圆上12题图自我提升13题图13. 如图 ，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm，则该半圆的半径为 .14. 如图 ，D是ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB 的延长线相交于点F，点O在AD 上，AOCO，BCEF.14题图求证：(1)ABAC；(2)A，B，C三点在以点O为圆心的圆上证明：(1)AEEF, EFBC，ADBC.在A

10、BD和ACD中，BDCD，ADBADC，ADAD，ABDACD(或者BDCD，AD是BC的垂直平分线)，ABAC. (2)连接BO.AD是BC的垂直平分线，BOCO.又AOCO，AOBOCO，A，B，C三点在以点O为圆心的圆上24.1.2垂直于弦的直径自主预习1题图1.操作：在你准备好的圆心为O的圆形纸片上画一条弦AB，作直径CD，使CDAB，垂足为E，沿CD折叠此图后回答：(1)这个图形是轴对称图形，它的对称轴是 直径CD所在的直线(2) 相等的线段：AEBE，OCOD.（3) 相等的劣弧：，.2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分_弦_，并且平分_弦所对的两条弧_推论：平分弦(不是直径)的直径

11、_垂直_于弦，并且_平分_弦所对的两条弧3. （2015遂宁）如图，在半径为5cm的O中，弦AB=6cm，OCAB于点C，则OC=（B）3题图A3cm B4cm C5cm D6cm名师讲堂知识点1：垂径定理的运用例1：如图，O的半径为17 cm，弦ABCD，AB30 cm，CD16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求弦AB和CD之间的距离思路分析：过圆心O作弦AB的垂线，易证它也与弦CD垂直，由垂径定理知AEBE，CFDF.根据勾股定理可求OE，OF的长，进而可求出弦AB和CD之间的距离解：过点O作OEAB，交CD于点F，连接OA.ABCD，OFCD.在RtOAE中，OA17，AEBEAB1

12、5，OE8，同理可求OF15.圆心O位于AB，CD的上方，EFOFOE1587，即弦AB和CD之间的距离是7 cm.方法提炼：在圆中解有关弦心距、半径的问题时，常作“过圆心的直线”这一辅助线，把垂径定理和勾股定理结合起来解题自主体验1. 如图所示，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于点E，则下列结论中不成立的是(C)A.COEDOE BCEDE COEBE D.3题图2题图1题图2. （2015西藏）如图，BC是O的弦，OABC，垂足为A，若O的半径为13，BC=24，则线段OA的长为（A）A5 B6 C7 D83. （2016.徐州） 如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P.若CD8，O

13、P3，则O的半径为(C)A10 B8 C5 D3知识点2：垂径定理在实际生活中的应用例2： “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”答曰：“26寸”题目用现在的数学语言表达：“如图所示，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为E，CE1寸，AB10寸，求直径CD的长”例2图思路分析：连接OA，构造RtAOE，利用勾股定理及垂径定理解答解： 连接OA.CDAB于点E，CD为O的直径，AEAB105(寸)在RtAEO中，设AOx寸，则OE(x1)寸由勾股定理，得x252(x1)2，解得x13，OA13寸，CD2OA26寸答：直径CD的长为26寸方法提炼：建模思想：运用垂径定理解题时的模型如下：如图，设O的半径是r，圆心到弦的距离是d，弦长是a，三者之间的关系是r2d2.常见的辅助线：(1)连半径，构造直角三角形；(2)作弦心距，构造直角三角形 自主体验4.（2016.南宁）在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示若油面AB1