最新初一有理数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析.docx
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最新初一有理数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析
初一有理数所有知识点总结和常考题
知识点
1、正数和负数
（1）、大于0的数叫做正数。
（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。
（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
2、有理数
（1）凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.
注意：
0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：
-（-2）=4，这个时候的a=-2。
π不是有理数；
（2）有理数的分类:
①
②
（3）自然数
0和正整数；a＞0
a是正数；
a＜0
a是负数；a≥0
a是正数或0
是非负数；
a≤0
a是负数或0
a是非正数.
3、数轴【重点】
（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
它满足以下要求：
①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…
（2）、数轴的三要素：
原点、正方向、单位长度。
（3）、画数轴的步骤：
一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。
数轴的规范画法：
是条直线，数字在下，字母在上。
注意：
所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
（4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
4、相反数
（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
①注意：
a的相反数是-a；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-（a+b）=-a-b；
②非零数的相反数的商为-1；
③相反数的绝对值相等。
（2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。
（3）、a和-a互为相反数。
0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
相反数是它本身的数只有0。
（4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。
（5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。
（6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：
若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。
比如：
-2×4×（-3）×（-1）×（-5），首先由4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120
5、绝对值
（1）、绝对值的定义：
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作|a|。
（2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0（或者说0的绝对值是它本身，或者说0的绝对值是它的相反数）；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：
绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；）。
0是绝对值最小的数。
（3）、绝对值可表示为：
或
；
（4）、
；
；
（5）、任何数的绝对值总是非负数（非负数是正数或0），即|a|≥0。
（6）、互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。
（7）、有理数比大小：
①正数比0大，0大于负数，正数大于负数；
②两个负数比较，绝对值大的反而小；
③数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（8）、比较两个负数的大小的步骤如下：
①先求出两个数负数的绝对值；
②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
1、有理数的加法
（1）、有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
③一个数与0相加，仍得这个数.
（2）、加法计算步骤：
先定符号，再算绝对值。
（3）、有理数加法的运算律：
①加法的交换律：
a+b=b+a；
②加法的结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）.
（4）、为了计算简便，往往会采取以下方法：
①互为相反的两个数，可以先相加；
②符号相同的数，可以先相加；
③分母相同的数，可以先相加；
④几个数相加能得到整数，可以先相加。
2、有理数的减法
（1）、有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.（有理数减法运算时注意两“变”：
①减法变加法；②把减数变为它的相反数.）
注：
有理数的减法实质就是把减法变加法。
3、有理数的乘法
（1）、有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
②任何数同零相乘都得零；
（2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。
（3）、乘积为1的两个数互为倒数；
注意：
0没有倒数；若ab=1<====>a、b互为倒数。
（4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。
负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。
（5）、有理数乘法的运算律：
①乘法的交换律：
ab=ba；
②乘法的结合律：
（ab）c=a（bc）；
③乘法的分配律：
a（b+c）=ab+ac.
4、有理数的除法
（1）、有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
（2）、有理数除法符号法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
（3）、乘除混合运算的步骤：
①先把除法转化为乘法；②确定积的符号；③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。
5、有理数的乘方
（1）、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在an中，a叫做底数，n叫做指数。
（2）、an表示的意义是n个a相乘。
如：
2³=2×2×2=8
（3）、分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。
如：
（1/2）²
（4）、负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来。
（5）、10的几次方，幂的结果中1后面就有几个0。
如：
105=100000
（6）、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
1的任何次幂都是1。
-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1。
6、科学记数法
（1）、把一个大于10数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，而且1≤︱a︱＜10，n是正整数），使用的是科学计数法。
（2）、用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1。
例：
240000000用科学计数法记为2.4×108
7、近似数
（1）、接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个近似数。
（2）、精确度：
近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。
（3）、利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
（4）、从一个数的左边的第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
（5）、解题技巧：
①近似数精确到哪一位，只需看这个数的最末一位在原数的哪一位。
②当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数，再按要求取近似数。
（6）、a×10n中有效数字是指a的有效数字。
7、等于本身的数汇总：
①相反数等于本身的数：
0
②倒数等于本身的数：
1，-1
③绝对值等于本身的数：
正数和0
④平方等于本身的数：
0,1
⑤立方等于本身的数：
0,1，-1.
常考题:
一．选择题（共12小题）
1．
的倒数是（ ）
A．﹣2B．2C．
D．
2．|﹣2|的相反数是（ ）
A．
B．﹣2C．
D．2
3．|﹣
|的相反数是（ ）
A．
B．﹣
C．3D．﹣3
4．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg、（25±0.2）kg、（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8kgB．0.6kgC．0.5kgD．0.4kg
5．计算（﹣3）2的结果是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣9D．9
6．有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则（ ）
A．a+b＜0B．a+b＞0C．a﹣b=0D．a﹣b＞0
7．若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（ ）
A．﹣8B．2C．8或﹣2D．﹣8或2
8．如果|a|=﹣a，下列成立的是（ ）
A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤0
9．在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米．194亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.94×1010B．0.194×1010C．19.4×109D．1.94×109
10．下列说法不正确的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．1是绝对值最小的数
C．一个有理数不是整数就是分数
D．0的绝对值是0
11．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．24.70千克B．25.30千克C．24.80千克D．25.51千克
12．某地某天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这一天的温差是（ ）
A．﹣10℃B．﹣6℃C．6℃D．10℃
二．填空题（共12小题）
13．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 ．
14．如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为﹣1时，则输出的数值为 ．
15．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ．
16．绝对值小于5的所有的整数的和是 ．
17．若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为 ．
18．纳米是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1纳米=10﹣9米，已知某种植物孢子的直径为45000纳米，用科学记数法表示该孢子的直径为 米．
19．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f
（1）=0，f
（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，…；
（2）f（
）=2，f（
）=3，f（
）=4，f（
）=5，…
利用以上规律计算：
f（2009）﹣f（
）= ．
20．图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，…，你是否发现苹果的排列规律？
猜猜看，第六行有 个苹果、第十行有 个．（可用乘方形式表示）
21．水位上升用正数表示，水位下降用负数表示，如图，水面从原来的位置到第二次变化后的位置，其变化值是 ．
22．观察两行数根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是（要求写出最后的计算结果） ．
23．若实数a，b满足
，则
= ．
24．如图，数轴上的两个点A，B所表示的数分别是a，b，在a+b，a﹣b，ab，|a|﹣|b|中，是正数的有 个．
三．解答题（共16小题）
25．观察下列等式
，
，
，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
（1）猜想并写出：
= ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
= ；
②
= ．
（3）探究并计算：
．
26．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（单位：
千克）
﹣3
﹣2
﹣1.5
0
1
2.5
筐数
1
4
2
3
2
8
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
（结果保留整数）
27．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：
千米）：
+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？
（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
28．计算：
1﹣2+2×（﹣3）2．
29．小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：
（单位：
元）
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌（元）
+2
﹣0.5
+1.5
﹣1.8
+0.8
根据上表回答问题：
（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？
（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？
（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
30．据国家税务总局通知，从2007年1月1日起，个人年所得12万元（含12万元）以上的个人需办理自行纳税申报．小张和小赵都是某公司职员，两人在业余时间炒股．小张2006年转让沪市股票3次，分别获得收益8万元、1.5万元、﹣5万元；小赵2006年转让深市股票5次，分别获得收益﹣2万元、2万元、﹣6万元、1万元、4万元．小张2006年所得工资为8万元，小赵2006年所得工资为9万元．现请你判断：
小张、小赵在2006年的个人年所得是否需要向有关税务部门办理自行纳税申报并说明理由．
（注：
个人年所得=年工资（薪金）+年财产转让所得．股票转让属“财产转让”，股票转让所得盈亏相抵后为负数的，则财产转让所得部分按零“填报”）
31．某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣10
+16
﹣9
（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆；
（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆；
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆；
（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
32．计算：
﹣1100﹣（1﹣0.5）×
×[3﹣（﹣3）2]．
33．已知|a|=3，|b|=5，且a＜b，求a﹣b的值．
34．计算：
﹣14﹣
×[2﹣（﹣3）2]．
35．计算：
（﹣2）4÷（﹣2
）2+5
×（﹣
）﹣0.25．
36．计算：
．
37．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：
任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如1，2，3，4，可作如下运算：
（1+2+3）×4=24．（注意上述运算与4×（2+3+1）应视作相同方法的运算）现有四个有理数3，4，﹣6，10．运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：
（1） ；
（2） ；（3） ．
另有四个数3，﹣5，7，﹣13，可通过运算式（4） 使其结果等于24．
38．若“三角
表示运算a﹣b+c，“方框”
表示运算x﹣y+z+w，求：
×
表示的运算，并计算结果．
39．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：
；B：
；
（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：
；
（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，则B点与数 表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：
M：
N：
．
40．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．
（1）求2※4的值；
（2）求（1※4）※（﹣2）的值；
（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：
□※○和○※□；
（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．
初一有理数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2015•宿迁）
的倒数是（ ）
A．﹣2B．2C．
D．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：
的倒数是﹣2，
故选：
A．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（2008•莱芜）|﹣2|的相反数是（ ）
A．
B．﹣2C．
D．2
【分析】利用相反数和绝对值的定义解题：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：
∵|﹣2|=2，2的相反数是﹣2．
∴|﹣2|的相反数是﹣2．
故选：
B．
【点评】主要考查了相反数和绝对值的定义，要求掌握并灵活运用．
3．（2015•东营）|﹣
|的相反数是（ ）
A．
B．﹣
C．3D．﹣3
【分析】一个负数的绝对值是它的相反数，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：
∵|﹣
|=
，
∴
的相反数是﹣
．
故选：
B．
【点评】本题考查了相反数的意义，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
同时考查了绝对值的性质：
一个负数的绝对值是它的相反数．
4．（2004•无为县）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg、（25±0.2）kg、（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8kgB．0.6kgC．0.5kgD．0.4kg
【分析】根据题意给出三袋面粉的质量波动范围，并求出任意两袋质量相差的最大数．
【解答】解：
根据题意从中找出两袋质量波动最大的（25±0.3）kg，则相差0.3﹣（﹣0.3）=0.6kg．
故选：
B．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
5．（2015•郴州）计算（﹣3）2的结果是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣9D．9
【分析】根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
【解答】解：
（﹣3）2=（﹣3）×（﹣3）=9．
故选：
D．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
6．（2014秋•莘县期末）有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则（ ）
A．a+b＜0B．a+b＞0C．a﹣b=0D．a﹣b＞0
【分析】先根据数轴判断出a、b的正负情况，以及绝对值的大小，然后对各选项分析后利用排除法求解．
【解答】解：
根据图形可得：
a＜﹣1，0＜b＜1，
∴|a|＞|b|，
A、a+b＜0，故A选项正确；
B、a+b＞0，故B选项错误；
C、a﹣b＜0，故C选项错误；
D、a﹣b＜0，故D选项错误．
故选：
A．
【点评】本题考查了有理数的加法、减法，根据数轴判断出a、b的情况，以及绝对值的大小是解题的关键．
7．（2006•哈尔滨）若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（ ）
A．﹣8B．2C．8或﹣2D．﹣8或2
【分析】首先根据相反数，绝对值的概念分别求出x、y的值，然后代入x+y，即可得出结果．
【解答】解：
x的相反数是3，则x=﹣3，
|y|=5，y=±5，
∴x+y=﹣3+5=2，或x+y=﹣3﹣5=﹣8．
则x+y的值为﹣8或2．
故选：
D．
【点评】此题主要考查相反数、绝对值的意义．
绝对值相等但是符号不同的数是互为相反数．
一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
8．（2008•赤峰）如果|a|=﹣a，下列成立的是（ ）
A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤0
【分析】绝对值的性质：
正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．
【解答】解：
如果|a|=﹣a，即一个数的绝对值等于它的相反数，则a≤0．
故选D．
【点评】本题主要考查的类型是：
|a|=﹣a时，a≤0．
此类题型的易错点是漏掉0这种特殊情况．
规律总结：
|a|=﹣a时，a≤0；|a|=a时，a≥0．
9．（2013•自贡）在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米．194亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.94×1010B．0.194×1010C．19.4×109D．1.94×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：
194亿=19400000000，用科学记数法表示为：
1.94×1010．
故选：
A．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（2016春•翔安区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．1是绝对值最小的数
C．一个有理数不是整数就是分数
D．0的绝对值是0
【分析】先根据：
0既不是正数，也不是负数；整数和分数统称为有理数；0的绝对值是0；判断出A、C、D正确；再根据绝对值最小的数是0，得出B错误．
【解答】解：
0既不是正数，也不是负数，A正确；
绝对值最小的数是0，B错误；
整数和分数统称为有理数，C正确；
0的绝对值是0，D正确．
故选：
B．
【点评】本题主要考查正数的绝对值是正数，负数的绝对值是正数，0的绝对值是0，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
11．（2017•乐安县校级模拟）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．24.70千克B．25.30千克C．24.80千克D．25.51千克
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：
“25±0.25千克”表示合格范围在25上下0.25的范围内的是合格品，即24.75到25.25之间的合格，
故只有24.80千克合格．
故选：
C．
【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
12．（2013•曲靖）某地某天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这一天的温差是（ ）
A．﹣10℃B．﹣6℃C．6
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