自动机理论语言和计算导论课后复习题答案中文版.docx
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自动机理论语言和计算导论课后复习题答案中文版
SolutionsforSection2.2
Exercise2.2.1（a）
Statescorrespondtotheeightcombinationsofswitchpositions,andalsomustindicatewhetherthepreviousrollcameoutatD,i.e.,whetherthepreviousinputwasaccepted.Let0representapositiontotheleft（asinthediagram）and1apositiontotheright.Eachstatecanberepresentedbyasequenceofthree0'sor1's,representingthedirectionsofthethreeswitches,inorderfromlefttoright.Wefollowthesethreebitsbyeitheraindicatingitisanacceptingstateorr,indicatingrejection.Ofthe16possiblestates,itturnsoutthatonly13areaccessiblefromtheinitialstate,000r.Hereisthetransitiontable:
杠杆可能出现8种情况，影响着最终状态。
并且也要说明，前面一个石球是否从D滚出，也就是说，前一个输入是否被接受。
令0代表向左方的状态（如图表），1代表向右方。
这三个杠杆的每一个状态都可以用三个数（0或1）组成的序列表示。
这个序列后面跟着字母a或者r。
a代表接受状态，r代表拒绝状态。
16种可能的状态中，只有13种是从初始状态000r可达的。
下面它的有穷自动机的转移表。
A
B
->000r
100r
011r
*000a
100r
011r
*001a
101r
000a
010r
110r
001a
*010a
110r
001a
011r
111r
010a
100r
010r
111r
*100a
010r
111r
101r
011r
100a
*101a
011r
100a
110r
000a
101a
*110a
000a
101a
111r
001a
110a
Exercise2.2.2
Thestatementtobeprovedisδ-hat（q,xy）=δ-hat（δ-hat（q,x）,y）,andweproceedbyinductiononthelengthofy.
证明：
通过对|y|进行归纳，来证明
（q,xy）=
（
（q,x）,y），具体过程如下：
Basis:
Ify=ε,thenthestatementisδ-hat（q,x）=δ-hat（δ-hat（q,x）,ε）.Thisstatementfollowsfromthebasisinthedefinitionofδ-hat.Notethatinapplyingthisdefinition,wemusttreatδ-hat（q,x）asifitwerejustastate,sayp.Then,thestatementtobeprovedisp=δ-hat（p,ε）,whichiseasytorecognizeasthebasisinthedefinitionofδ-hat.
基础:
=0，则y=ε。
那么需证
（q,x）=
（
（q,x）,ε），记p=
（q,x）,命题变为p=
（p,ε）,由
的定义知这显然成立。
Induction:
Assumethestatementforstringsshorterthany,andbreaky=za,whereaisthelastsymbolofy.Thestepsconvertingδ-hat（δ-hat（q,x）,y）toδ-hat（q,xy）aresummarizedinthefollowingtable:
归纳:
假设命题对于比y 短的串成立,且y=za,其中a是y的结尾符号。
（
（q,x）,y）到
（q,xy）的变换总结在下表中:
Expression表达式
Reason原因
（
（q,x）,y）
Start开始
（
（q,x）,za）
y=zabyassumption由假设y=za
δ（
（
（q,x）,z）,a）
Definitionofδ-hat,treatingδ-hat（q,x）asastate
的定义,把
（q,x）看作是一个状态
δ（
（q,xz）,a）
Inductivehypothesis归纳假设
（q,xza）
Definitionofδ-hat
的定义
（q,xy）
y=za
Exercise2.2.4（a）
TheintuitivemeaningsofstatesA,B,andCarethatthestringseensofarendsin0,1,oratleast2zeros.
状态A,B，C分别表示以１,０和00结尾的串的状态。
0
1
->A
B
A
B
C
A
*C
C
A
Exercise2.2.6（a）
Thetrickistorealizethatreadinganotherbiteithermultipliesthenumberseensofarby2（ifitisa0）,ormultipliesby2andthenadds1（ifitisa1）.Wedon'tneedtoremembertheentirenumberseen---justitsremainderwhendividedby5.Thatis,ifwehaveanynumberoftheform5a+b,wherebistheremainder,between0and4,then2（5a+b）=10a+2b.Since10aissurelydivisibleby5,theremainderof10a+2bisthesameastheremainderof2bwhendividedby5.Sinceb,is0,1,2,3,or4,wecantabulatetheanswerseasily.Thesameideaholdsifwewanttoconsiderwhathappensto5a+bifwemultiplyby2andadd1.
对于一个二进制整数，如果读入一个比特０，其值等于原数乘以２；否则等于原数乘以２再加以1。
而任意一个数均可写成形如5a+b，其中a任意，0<=b<=4，那么输入0，原数变为2（5a+b）=10a+2b，由于10a是5的倍数,，因此10a+2b除以５的余数与2b相同。
输入1，则得2（5a+b）+1类似。
因此对于所有的数只要记住它被５除的余数就可以。
由于b是0,1,2,3或者4,我们可以容易得到该DPA的转移表，具体如下：
Thetablebelowshowsthisautomaton.Stateqimeansthattheinputseensofarhasremainderiwhendividedby5.
其中状态qi代表输入串被５除的余数i的状态。
0
1
->*q0
q0
q1
q1
q2
q3
q2
q4
q0
q3
q1
q2
q4
q3
q4
Thereisasmallmatter,however,thatthisautomatonacceptsstringswithleading0's.Sincetheproblemcallsforacceptingonlythosestringsthatbeginwith1,weneedanadditionalstates,thestartstate,andanadditional``deadstate''d.If,instates,weseea1first,weactlikeq0;i.e.,wegotostateq1.However,ifthefirstinputis0,weshouldneveraccept,sowegotostated,whichweneverleave.Thecompleteautomatonis:
但是上述自动机仍接受以０开头的字符串。
因为题目要求只接受以１开头的串，可增加一个初始状态s和“死亡状态”d。
在状态初始状态s,若看到１，则转到状态q1；若看到０,则直接转到状态d，识别终止。
所求自动机如下:
0
1
->s
d
q1
*q0
q0
q1
q1
q2
q3
q2
q4
q0
q3
q1
q2
q4
q3
q4
d
d
d
Exercise2.2.9
Part（a）isaneasyinductiononthelengthofw,startingatlength1.
Basis:
|w|=1.Thenδ-hat（q0,w）=δ-hat（qf,w）,becausewisasinglesymbol,andδ-hatagreeswithδonsinglesymbols.
Induction:
Letw=za,sotheinductivehypothesisappliestoz.Thenδ-hat（q0,w）=δ-hat（q0,za）=δ（δ-hat（q0,z）,a）=δ（δ-hat（qf,z）,a）[bytheinductivehypothesis]=δ-hat（qf,za）=δ-hat（qf,w）.
证明：
a）通过对w长度的归纳证明。
基础:
若|w|=1，则w是一个符号，此时需证
（q0,w）=
（qf,w）,而对于单个符号扩展转移函数
与转移函数δ的作用是一样的，得证。
归纳:
令w=za,假设对于z命题
（q0,z）=
（qf,z）成立。
那么
（q0,w）=
（q0,za）=δ（
（q0,z）,a）=δ（
（qf,z）,a）[由归纳假设]=
（qf,za）=
（qf,w）.
Forpart（b）,weknowthatδ-hat（q0,x）=qf.Sincexε,weknowbypart（a）thatδ-hat（qf,x）=qf.Itisthenasimpleinductiononktoshowthatδ-hat（q0,xk）=qf.
Basis:
Fork=1thestatementisgiven.
Induction:
Assumethestatementfork-1;i.e.,δ-hat（q0,xSUP>k-1）=qf.UsingExercise2.2.2,δ-hat（q0,xk）=δ-hat（δ-hat（q0,xk-1）,x）=δ-hat（qf,x）[bytheinductivehypothesis]=qf[by（a）].
b）x是属于L（A）的非空串，也即串x被接收，因此
（q0,x）=qf，则由a）知
（qf,x）=
（q0,x）=qf。
现在通过对k的归纳来证明
（q0,xk）=qf。
基础:
k=1时，需证
（q0,x）=qf，由已知可得。
归纳：
假设对于k-1命题成立，也就是说，
（q0,xk-1）=qf。
由练习2.2.2,
（q0,xk）=
（
（q0,xk-1）,x）=
（qf,x）[由归纳假设]=qf[由（a）]。
Exercise2.2.10
Theautomatontellswhetherthenumberof1'sseeniseven（stateA）orodd（stateB）,acceptinginthelattercase.Itisaneasyinductionon|w|toshowthatdh（A,w）=Aifandonlyifwhasanevennumberof1's.
Basis:
|w|=0.Thenw,theemptystringsurelyhasanevennumberof1's,namelyzero1's,and
（A,w）=A.
Induction:
Assumethestatementforstringsshorterthanw.Thenw=za,whereaiseither0or1.
Case1:
a=0.Ifwhasanevennumberof1's,sodoesz.Bytheinductivehypothesis,
（A,z）=A.ThetransitionsoftheDFAtellus
（A,w）=A.Ifwhasanoddnumberof1's,thensodoesz.Bytheinductivehypothesis,δ-hat（A,z）=B,andthetransitionsoftheDFAtellusδ-hat（A,w）=B.Thus,inthiscase,δ-hat（A,w）=Aifandonlyifwhasanevennumberof1's.
Case2:
a=1.Ifwhasanevennumberof1's,thenzhasanoddnumberof1's.Bytheinductivehypothesis,δ-hat（A,z）=B.ThetransitionsoftheDFAtellusδ-hat（A,w）=A.Ifwhasanoddnumberof1's,thenzhasanevennumberof1's.Bytheinductivehypothesis,δ-hat（A,z）=A,andthetransitionsoftheDFAtellusδ-hat（A,w）=B.Thus,inthiscaseaswell,δ-hat（A,w）=Aifandonlyifwhasanevennumberof1's.
这个自动机表示，状态A表示偶数个1，状态B表示奇数个1，不管串有偶数个还是奇数个1，都会被接受。
当且仅当串w中有偶数个1时，
（A,w）=A.。
用归纳法证明如下
基础:
|w|=0。
空串当然有偶数个1，即0个1，且
（A,w）=A.
归纳：
假设对于比w短的串命题成立。
令w=za,其中a为0或1。
情形1：
a=0.如果w有偶数个1,则z有偶数个1。
由归纳假设，
（A,z）=A。
由转移表的DFA知
（A,w）=A.如果w有奇数个1,则z有奇数个1.由归纳假设，
（A,z）=B,由转移表的DFA知
（A,w）=B.因此这种情况下
（A,w）=A当且仅当w有偶数个1。
情形2：
a=1.如果w有偶数个1,则z有奇数个1。
由归纳假设，
（A,z）=B.由转移表的DFA知
（A,w）=A.如果w有奇数个1,则z有偶数个1。
由归纳假设,
（A,z）=A,由转移表的DFA知
（A,w）=B.因此这种情况下
（A,w）=A当且仅当w有偶数个1.
综合上述情形，命题得证。
SolutionsforSection2.3
Exercise2.3.1
HerearethesetsofNFAstatesrepresentedbyeachoftheDFAstatesAthroughH:
A={p};B={p,q};C={p,r};D={p,q,r};E={p,q,s};F={p,q,r,s};G={p,r,s};H={p,s}.
下表就是利用子集构造法将NFA转化成的DFA。
其中构造的子集有：
A={p};B={p,q};C={p,r};D={p,q,r};E={p,q,s};F={p,q,r,s};G={p,r,s};H={p,s}.
0
1
->A
B
A
B
D
C
C
E
A
D
F
C
*E
F
G
*F
F
G
*G
E
H
*H
E
H
Exercise2.3.4（a）
Theideaistouseastateqi,fori=0,1,...,9torepresenttheideathatwehaveseenaninputiandguessedthatthisistherepeateddigitattheend.Wealsohavestateqs,theinitialstate,andqf,thefinalstate.Westayinstateqsallthetime;itrepresentsnoguesshavingbeenmade.Thetransitiontable:
记状态qi为已经看到i并猜测i就是结尾将要重复的数字，i=0,1,...,9。
初始状态为qs，终止状态为qf。
我们可以一直停留在状态qs，表示尚未猜测。
转移表如下：
0
1
...
9
->qs
{qs,q0}
{qs,q1}
...
{qs,q9}
q0
{qf}
{q0}
...
{q0}
q1
{q1}
{qf}
...
{q1}
...
...
...
...
...
q9
{q9}
{q9}
...
{qf}
*qf
{}
{}
...
{}
SolutionsforSection2.4
Exercise2.4.1（a）
We'lluseq0asthestartstate.q1,q2,andq3willrecognizeabc;q4,q5,andq6willrecognizeabd,andq7throughq10willrecognizeaacd.Thetransitiontableis:
记q0为初始状态。
q1,q2和q3识别abc;q4,q5和q6识别abd,q7到q10识别aacd.转移表如下：
a
b
c
d
->q0
{q0,q1,q4,q7}
{q0}
{q0}
{q0}
q1
{}
{q2}
{}
{}
q2
{}
{}
{q3}
{}
*q3
{}
{}
{}
{}
q4
{}
{q5}
{}
{}
q5
{}
{}
{}
{q6}
*q6
{}
{}
{}
{}
q7
{q8}
{}
{}
{}
q8
{}
{}
{q9}
{}
q9
{}
{}
{}
{q10}
*q10
{}
{}
{}
{}
Exercise2.4.2（a）
Thesubsetconstructiongivesusthefollowingstates,eachrepresentingthesubsetoftheNFAstatesindicated:
A={q0};B={q0,q1,q4,q7};C={q0,q1,q4,q7,q8};D={q0,q2,q5};E={q0,q9};F={q0,q3};G={q0,q6};H={q0,q10}.NotethatF,GandHcanbecombinedintooneacceptingstate,orwecanusethesethreestatetosignaltherecognitionofabc,abd,andaacd,respectively.
由子集构造法可得以下DFA的状态，其中每一个状态都是NFA状态的子集：
A={q0};B={q0,q1,q4,q7};C={q0,q1,q4,q7,q8};D={q0,q2,q5};E={q0,q9};F={q0,q3};G={q0,q6};H={q0,q10}.注意到F,G和H可以整合到一个接受状态中，或者我们可以用这三个状态来分别标记已识别abc,abd和aacd。
a
b
c
d
->A
B
A
A
A
B
C
D
A
A
C
C
D
E
A
D
B
A
F
G
E
B
A
A
H
*F
B
A
A
A
*G
B
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