吉林省长春市榆树一中五校联考学年高二上学期期末联考数学理试题含精品解析.docx
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吉林省长春市榆树一中五校联考学年高二上学期期末联考数学理试题含精品解析
2018－2019学年度第一学期期末考试
高二数学（理）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
“
”的含义是
A.、全不为0
B.、不全为0
C.、至少有一个为0
D.不为0且为0，或不为0且为0【答案】B
【解析】
【分析】
“
【详解】““
”等价于“、全为0”，直接利用命题的否定判断即可.
”等价于“、全为0”，
”的否定是“”，
“、全为0”的否定是“、不全为0”，
所以“、不全为0”与“”等价，故选B.
【点睛】本题主要考查命题的否定，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题.
2.已知
，
，
，则与的大小关系为
A.
【答案】D
【解析】
【分析】
B.C.
D.
作差，判断
的符号即可得结果.
【详解】因为
所以
故选D.
【点睛】本题主要考查“作差法”比较两个数的大小，属于简单题.
作差法；
（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.
比较两个数的大小主要有四种方法：
（1）
3.空间任意五个点、、、、，则A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
等于
将
化为，利用相反向量的和为零向量即可得结果.
【详解】
故选D.
【点睛】本题主要考查空间向量的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力属于简单题.
4.数列
满足，，那么
A.
-1
B.C.
1
D.
2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数列的递推关系得到数列是周期是3的周期数列，从而可得到结论.
【详解】
故数列
则
是周期数列，周期是3，
，故选A.
【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：
（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
5.若焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程是，则该双曲线的离心率是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据渐近线方程可得，结合，利用离心率的定义可得结果.
【详解】因为焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程是
所以，，
，即双曲线的离心率为，故选A.
，即，
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线与双曲线的离心率，属于中档题.
本题主要考查双曲线的定义及离心
率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
①
直接求出
，从而求出;②构造
的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
6.在
3
A.
中，内角，，所对的边分别是，，.
B.
B.D.
若
，，则
的面积是
【答案】C
【解析】
【分析】
根据
，，结合余弦定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出结果.
【详解】由
，可得
，
由余弦定理
，
，
，
则，故选C.
【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.
对余弦定理一定要熟记两种形式：
（1）
；
（2）
三角函数有关的问题时，还需要记住
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
7.设为抛物线若
的焦点，、、为该抛物线上三点，、、三点坐标分别为，则
、、
.
A.
9
B.
6
C.
4
D.
3
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可得
分别等于
到准线
的距离，从而可得结果.
【详解】根据抛物线的定义所以
分别等于
到准线
.
的距离，
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋
物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：
（1）将抛线上的点到
准线距离转化为该点到焦点的距离；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
8.在
中，
，
为
的平分线，，则
A.
B.
C.
【答案】B
【解析】
【分析】
或
D.
首先过点作
交
延长线于点，过点作
于
于，由不妨设
结合
，可求得
的长，进而求得
的面积，又由
是
的角平分线，由角平分
线的性质，可得
利用面积相等求得
的长，然后求得
的长，从而可得结果.
【详解】
过点作
交
延长线于点，过点作
于
于，
不妨设
，
，
，
是
的角平分线，
，
，
，
在
中，，
，故选B.
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形面积公式的应用以及特殊角的应用，意在考查数形结合思想、方程思想的应用，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题.
9.已知数列
是公比为3的等比数列，且
，则
的值是
A.B.
C.
5
D.
-5
【答案】D
【解析】
【分析】
由
，根据，结合对数的运算法则即可得结果.
【详解】
公比是3
的等比数列
中,,
则
，
，故选D.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式以及对数的运算，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中
档题.
10.命题：
函数
中真命题有
有零点；命题：
存在、，使，在，，，，
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由
可判断为真命题，由，
可得为真命题，利用真值表分别判断，，，，
的真假即可得结果.
【详解】因为
是函数
的零点，所以为真命题，为假命题；
当
可得
，
，
时，
，
成立，所以为真命题，为假命题；都为真命题，即真命题有3个.故选C.
【点睛】本题主要考查函数的零点以及真值表的应用，属于中档题.
解答非命题、且命题与或命题真假有关
的题型时，应注意：
（1）原命题与其非命题真假相反；
（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
11.多面体是由底面为
的长方体被截面
所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知
、
、、
、、
.
若
为平行四边形，则点到平面
的距离为
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面
的法向量，结合，利用空间向量夹角余弦公
式求出
与所求法向量的夹角余弦，进而可得结果.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
设
，
为平行四边形，
由
得，
，
，
设为平面
故可设
，
的法向量，显然不垂直于平面，
，
，
即，，
所以
又
，
，设
与的夹角为，
则，
到平面
的距离为
，故选D.
【点睛】本题主要考查利用空间向量求点面距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：
（1）
观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；
（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相
应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
12.已知，，，则
的最小值是
A.
2
B.
8
C.
4
D.
6
【答案】C
【解析】
【分析】
由
可得
，则
展开后，利用基本不等式可得结果.
【详解】因为
所以
可得
，
=
当
所以
时，等号成立，
的最小值是4，故选C.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌
握“一正，二定，三相等”的内涵：
一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为
定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时
参数是否在定义域内，二是多次用或
时等号能否同时成立）.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.写出命题“若
【答案】若方程
【解析】
【分析】
，则方程
的两根不全大于0”的一个等价命题是__________．的两根均大于0，则
根据逆否命题的与原命题的等价性写出“若题即可.
【详解】因为命题“若，则方程
，则方程
的两根不全大于0”的逆否命
的两根不全大于0”的逆否命题是“若方程
的两根均大于0，则
根不全大于0”的一个等价命题是“若方程程
的两根均大于0，则
”，所以命题“若，则方程
的两根均大于0，则
.
”，故答案为:
的两
若方
【点睛】本题主要考查逆否命题的定义以及原命题与逆否命题的等价性，属于简单题.
（1）写出原命题的逆命题；
（2）再写出逆命题的否命题.
逆否命题求解方法：
14.设，满足约束条件
则
的最小值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出
表示的可行域，如图，
由
可得，
将
变形为
，
平移直线
，
由图可知当直
经过点
时，
直线在轴上的截距最小，
最大值为，故答案为.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步
骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最
优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解
坐标代入目标函数求出最值.
15.我舰在岛南偏西
方向相距
的处发现敌舰正从岛沿北偏西
的方向航行，若我舰以
的速度用1小时追上敌舰，则敌舰的速度为__________
．
【答案】20
【解析】
【分析】
设敌舰的速度为，则，利用余弦定理列方程求解即可.
【详解】
设敌舰的速度为，则
在
中，由余弦定理，得
即
，
解得
，即敌舰的速度为海里/小时，故答案为20.
，
，
【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用以及及特殊角的三角函数，属于简单题.与实际应用相结合的题
型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
16.下列四个命题中，正确的有__________．
①如果、与平面共面且
，，那么就是平面的一个法向量；
2设：
实数，满足
3已知椭圆
；：
实数，满足
与双曲线
则是的充分不必要条件；
的焦点重合，，分别为，的离心率，则，
且；
④菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形.【答案】③④
【解析】
【分析】
根据、共线，就不一定是平面的一个法向量判断①；令实数
线的离心率利用基本不等式可判断③；讨论两种情况判断④.
，
可判断②；分别求出椭圆与双曲
【详解】①如果、与平面共面且正确；
，，若、共线，那么就不一定是平面的一个法向量，①不
②实数，
时
成立；而
不成立，所以不是的充分不必要条件，②不正确；
③因为椭圆与双曲线焦点重合，，即
均大于零），，
，③正确；
④若菱形的对角线相等则菱形是圆的内接四边形，若菱形的对角线不相等，因为菱形的对角线就是内角的平分线，对角线交点到四边的距离相等，所以是圆的外切四边形，④正确.故答案为③④.
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查法向量充分条件与必要条件；椭圆与双曲线的离心率、
基本不等式的应用，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点
掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在
【答案】
【解析】
【分析】
中，如果，且，求
的度数.
由
求得，结合
，得，由正弦定理得，即，利用两角差的正弦公式可，由三角形内角和定理可得结果.
【详解】由
，
得
.
由正弦定理得：
，即
，
即
.
所以
，得：
.
又因为
，所以
，
从而
的度数为
.
【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.
正弦定理是解三角
形的有力工具，其常见用法有以下三种：
（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论
钝角与锐角）；
（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
18.已知命题
在区间
上是减函数：
命题：
不等式
的解集为.若命题“
”
为真，“
.
”为假，求实数的取值范围.【答案】
【解析】
【分析】
化简命题可得，化简命题可得，由
为真命题，
为假命题，可得
一真一假，分两种情
况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.
【详解】对于命题，由
在区间
上是减函数，得，解得：
；
对于命题，不等式
的解集为等价于不等式
的解集为，
因为
因为命题“
恒成立，所以
”为真，“
.
”为假，所以命题和命题一真一假.
当命题为真，命题为假时，
当命题为假，命题为真时，
得：
；
此时不存在，
故实数的取值范围是
.
【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，
属于中档题.
解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：
（1）原命题与其非命题真假相反；
（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
19.已知数列
满足，，数列
满足，求数列
的前项和.
【答案】
【解析】
【分析】
由，可得数列
是等差数列，首项，公差为
.
得
，可得，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果.
【详解】由，得：
，即，
所以数列
是等差数列，首项
，公差为.
所以
，所以
.
所以
①
所以
②
①-②得：
.
即
.
【点睛】本题主要考查等差数列的定义、等比数列求和公式通项以及错位相减法求数列的前项和，属于中
档题.一般地，如果数列
是等差数列，
是等比数列，求数列
的前项和时，可采用“错位相减
法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列
的公比，然后作差求解,
在写出“”与“
”的表达式时应
特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式.
20.设、分别是椭圆
若直线的斜率为1，求椭圆的标准方程.
【答案】
【解析】
【分析】
的左、右焦点，过的直线与相交于、两点，且
.
设的方程式为，联立，化简得：
，结合韦达定理与性质
，由
利用弦长公式列方程可求得
从而可得结果.
【详解】设的方程式为
，其中
.
设
化简得：
、，则两点坐标满足
.
，
则
，
.
因为直线
即
的斜率为1，所以，则
，
，解得：
.
所以所求的椭圆的标准方程为：
.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.求椭圆标准方程的方法一
般为待定系数法,根据条件确定关于
的方程组，解出
，从而写出椭圆的标准方程．
21.已知，，为不全相等的正实数，且
.求证：
.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用，根据基本不等式可得，，，三式相加，结合不等式等号成立的条件，即可得结果.
【详解】证明：
因为，，都是正实数，且
所以，，
以上三个不等式相加，得：
，
，
，即
，
因为，，不全相等，所以上述三个不等式中的“”不都同时成立，
所以
.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及不等式等号存在的条件，意在考查灵活应用所学知识解答问
题的能力，属于中档题.利用基本不等式解题，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时
参数是否在定义域内，二是多次用或
时等号能否同时成立）.
22.如图，
平面，四边形
是正方形，
为等腰直角三角形，，是
的中点.
（1）证明：
（2）求二面角
平面
.
的余弦值.
【答案】
（1）见解析；
（2）【解析】
【分析】
先根据正方形与等腰三角形的性质证明
，
可得
平面，以
为轴建立坐
标系：
（1）设
，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面
的一个法向量，求出
，利用
即可得结果；
（2）平面
的一个法向量为
，结合
（1），利用空间向量夹角余弦公式可
得结果.
【详解】∵四边形
是正方形，∴
.
∵
平面，∴
.
∵
∴
为等腰直角三角形，
.∴
，
平面
，
.
建立如图所示的空间直角坐标系
.
设，则、、、、、
.
∴、、、
（1）设平面
的一个法向量为，则有
.
即
.
∴，∴
平面，∴
又∵
.
平面
.
，∴，
（2）设平面
∴二面角
的一个法向量为
的余弦值为.
.
，
【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：
第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；
第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；
第
四，
破
“
应
用
公
式
关”.
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