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蔬菜分配数学建模蔬菜配送数学建模
2016年数学建模论文
第二套
论文题目:
蔬菜供应方案设计
组 别:
第38组
姓名：
耿晨闫思娜王强
提交日期：
2016年7月13日
题目：
蔬菜供应方案设计
摘要
本次建模探究得是江平市蔬菜市场为满足不同条件的最优调配方案问题,模型求解时使用了Frｏyｄ算法,并用线性规划建立了一系列数学规划模型，采用MAＴＬＡB和ＬINGO软件编程计算出模型结果.
关于问题一:
为了实现蔬菜调运及预期的短缺损失为最小，我们建立了线性规划模型,用Ｆｒoyd算法在MAＴLＡB中编程，求出收购点至个菜市场的最短距离,并考虑每日各菜市场的需求量条件,用ＬINＧO编程求得蔬菜调运及预期的短缺损失最小值为日均１０２8０元。
关于问题二：
在模型一的基础增加各菜市场短缺量一律不超过需求量的２０%的约束条件，用LIＮGO编程求得最少日均费用最少为1０６28元，并设计最优供应方案见正文。
关于问题三:
在模型一的基础上，条件改为供货充足、需求调运与短缺损失的费用最小值。
建立模型三时在模型一的基础上改变条件,并用LIＮGO编程求得日均最少费用为11200元,增产的蔬菜每天应分给C收购点７000Kg,分析过程见正文。
关键词:
蔬菜市场调配方案，Floyd算法，线性规划，MAＴLAB编程，LINGO
一、问题重述
江平市是一个人口不到20万人的小城市.根据该市的蔬菜种植情况，分别在菜市场（Ａ），城乡路口（B）和南街口（C）设三个收购点,再由各收购点分送到全市的８个菜市场,该市道路情况,各路段距离（单位：
１00m）及各收购点,菜市场①到⑧的具体位置见图1.
图1：
蔬菜供应网点图
按常年情况，A、Ｂ、C三个收购点每天收购量分别为2５0，200和180（单位：
1０0kg）,各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失（元/100kｇ）见表1。
设从收购点至各菜市场蔬菜调运费为2元／（1００kｇ。
1０0ｍ）。
表1：
各蔬菜市场需求量表
菜市场
每天需求（100 kg）
短缺损失（元/１00kg）
①
8０
10
②
7０
8
③
９0
５
④
8０
1０
⑤
１20
10
⑥
70
８
⑦
１0０
5
⑧
９0
8
通过这次建模我们解决以下问题：
1．为该市设计一个从收购点至个菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小；
2。
若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，重新设计定点供应方案；
３.为满足城市居民的蔬菜供应，该市的领导规划增加蔬菜种植面积，试问增产的蔬菜每天应分别向A、B、C三个采购点供应多少最经济合理。
二、问题分析
2.1问题一的分析
要使用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小,即总费用R最小，也就是指调运费用P与缺货损失Q之和最小。
首先考虑调运费用P,调运费用与距离与送货量成正比，因此考虑距离问题,我们须先求出A、B、Ｃ三个采购点至各个菜市场的最短距离。
采用Froyd算法,结合MATLAB编程实现最短距离计算，确定出最短路线。
其次考虑缺货造成的损失Q,以题中每天需求量为约束条件,将损失最低作为目标建立线性规划模型，用LINGO编程求解缺货损失最小值。
２。
2问题二的分析
若按规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的２0%,也就是在模型一的基础上增加一个约束条件,即每个菜市场的供应量必须不低于需求量的80%。
则可得到满足条件要求的模型二。
2。
3问题三的分析
本题的目标有二:
首先要满足每个菜市场的供货量要充足的条件；其次要使得总费用最低.所以我们在模型一的基础上增加了上述两个限制条件，即得到模型三。
使得在供货量充足的情况下日均费用最小化.
三、问题假设
1、各个路口以及蔬菜销售点都可以作为中转点.
2、假设蔬菜种植基地直达某个销售地点,即销售点之间没有卸货的情况。
3、假设运输的蔬菜路途中没有损耗，也无意外发生。
４、假设只考虑运输费用和短缺费用，不考虑装卸等其它费用。
5、假设各蔬菜种植基地供应蔬菜同质且单位运价相同.
6、假设新增产的蔬菜能够满足缺货量.
7、日需求量与缺货损失费用不变。
四、变量说明
从A到i（各个菜市场）的最短距离
从B到i（各个菜市场）的最短距离
从C到i（各个菜市场）的最短距离
从A到i（各个菜市场）的运货量
从Ｂ到i（各个菜市场）的运货量
从C到ｉ（各个菜市场）的运货量
总调运费
短缺损失
总费用
五、模型建立
5.1 问题一模型的建立
按照问题的分析，我们知道调运总费用Ｐ与调运距离和调运量乘积有关,也就是说总调运费用等于每阶段调运距离和调运量的累计。
首先就要求解各采购点到菜市场的最短距离。
在图论里面关于最短路径问题比较常用的是Dijkstra算法，Diｊkstra算法提供了从网络图中某一点到其他点的最短距离。
主要特点是以起始点为中心向外层扩展，直到扩展到终点为止。
但由于它遍历计算的节点很多，所以效率较低，实际问题中往往要求网络中任意两点之间的最短路距离。
如果仍然采用Ｄｉjkstra算法对各点分别计算,就显得很麻烦。
所以就可以使用网络各点之间的矩阵计算法,即Floyｄ算法.
Floyｄ算法的基本思想是：
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎两种可能，一种是直接从i到j,另一种是从i经过若干个节点k到j。
i到ｊ的最短距离不外乎存在经过i与ｊ之间的k和不经过ｋ两种可能,所以可以令k=１,２，3,…,n（ｎ是菜市场的数目），再检查d（i，j）与d（i,ｋ）＋d（k,j）的值，在此ｄ（i，ｋ）与ｄ（k，j）分别是目前为止所知道的i到ｋ与k到j的最短距离。
因此d（i,ｋ）+ｄ（k,j）就是ｉ到j经过ｋ的最短距离.所以,若有ｄ（ｉ,j）〉d（ｉ，k）+d（k,j），就表示从ｉ出发经过k再到ｊ的距离要比原来的i到ｊ距离短，自然把i到j的d（i，ｊ）重写为d（i,k）+ｄ（k，j）,每当一个k查完了，d（ｉ，j）就是目前的ｉ到ｊ的最短距离。
重复这一过程,最后当查完所有的k时，ｄ（ｉ,j）里面存放的就是i到j之间的最短距离了.
５。
2问题二模型的建立
各菜市场短缺量一律不超过需求量的２0%，为满足这一条件,现对方案一进行调整。
只需在方案一中加一限制条件：
同理可用LINＧＯ编程求出调运方案。
5.3问题三模型的建立
要足城市居民的蔬菜供应，增加蔬菜种植面积，则需要保证所有的菜市场都满足日需求量，且日均化费用要最小。
在问题一得基础上作出以下调整:
同理可用LINGO编程求出调运方案.
六、模型求解
6。
1问题一模型的求解
由图1和表格１的信息,建立一个线性规划模型并经过Ｆloyd算法,使得蔬菜调运及预期的短缺损失为最小。
调运总费用Ｐ为:
（1）
若使调运总费用最少,则应保证Ａ、B、C三个收购点到8个菜市场的路程最短,最短路线的求解过程如图2:
图2:
最短路程求解过程图
分析上图可知，该路线为无向网络,就该图而言，网络弧集为：
E=［（v１，v2），（v１,v４），（v1，ｖ5），（v2，v1），（ｖ2，v3）,（v２，v5）,（v2,v6），（v3，ｖ2），。
（v3,ｖ6），（v３,v8），（ｖ3,v9），（v4，ｖ1），（ｖ４,v5）．（v4,v7），（ｖ4，ｖ10）,（v５，ｖ１）,（v５，v2），（v5，v４）,（v5，ｖ６）,（v5，ｖ７），（v5，v８），（ｖ６,v2）,（v6，v3），（v6，v5），（v6,v8），（ｖ7，v４），（v7,v5），（v7,v８）,（v7，v11），（v８，v３），（v8，v5），（v8，ｖ6），（ｖ８,v7）,（v8，v9）,（ｖ8,v11），（v９,ｖ3），（v9，v8）,（v9，v11）,（v9，v１3）,（v9，ｖ15）,（v10，v4），（ｖ10，v11），（v1０，ｖ12），（v10，v14），（v１1，ｖ7），（ｖ１１,v８）,（ｖ1１，v9）（v11，v10）,（v1１，v12），（v12,v１０），（ｖ12，v11），（ｖ12,ｖ１3）,（ｖ１２，v14），（v1３，v9），（v13,v１2），（v13，v14）,（v14，v１0），（v14，v1２）,（ｖ14，v1３），（v1５,ｖ9）］
下面来确定网络权矩阵：
W＝
（2）
其中:
①当（
）属于Ｅ时，
=
为弧（
，
）的权;
②当（
）不属于E时，
=inｆ.（ｉnf为无穷大,ｎ为网络结点个数）
③
=0，i＝1,2，3……n按上述规定，该网络的权矩阵为：
因为上述网络有1５个结点，故网络的权矩阵均为15阶矩阵。
用Ｆloyｄ算法求解图2中任意两个顶点的最短路径及其长度,名为Floyd.m的程序文件见附录程序１。
最终运行结果为:
Ｄ=
07 １４５ 4 10812 １8 12 1５ 20 ２４22 23
7 0７ １2 ８3 12 ８141913 1920 24 19
1４ 7 ０ 1６ 13 6１1 711１８ １21８ 1７ 23 1６
5 １2 16 ０ ６1３5 9 １5 712 1５ 2１ １7 2０
4 8 13 ６ 07 48 14 13 1１ 1７ ２0 22 19
10 3６ 13 ７ ０ ９5１1 16 1０16 １7 ２1 16
8 1２ 11 54 9０4 10 1２ ７1３ １６１８１５
1２ ８ 79 ８ ５ 4 0 6 11 511 1216 1１
18 14 1115 14 1110 6 09 3 ９6 １4 ５
１2 19 18 7 １3 16 12 11 90 6 8 １5 １０ １４
１5１31２ 12 11 10 7 5 3 6 ０ 6９11 8
201９18 1517 16 １３ 11 ９８ ６ 0 10 514
24 ２01721 201７ 1６ １2 6 １５9 １0 0１1 11
22 ２4 ２3１7 22 2118１6 14 １0 11 5 11 019
231９ １６ 20 191615 115１48 14111９０
path=
1 224 ５ 25 5 5 4 5 ４ 5 4 5
12 3 1 5 6 5 6 6 １66 6 66
2 ２ 3 ８ 6 ６ ８ 8 9 8 8 89８９
1 １7 ４5 5 7 7 710 7 10710７
1 26 4 ５ 6 78 8 4 7 78 7 8
2 ２ 355６8８ 8 8 8 ８ ８88
5 ５ 8 4 5 8７ 8 8 4 11 １1 8 118
56３75 6 78 ９ 1111 11９ １1９
８ 8３８ 8 8 8 8 9１1 11 １11３ 11 15
4 41１ 4 4１１ 4 11 1１ 10 １1 12 １114 11
7 88 778 7 ８ ９ 1０ 11 12 9 12 9
1011 11１0 １1 １1 １11１1１ 1０１１1213１4 11
９９ 9 99 ９ 9 99 9 9 1２ 13 149
10 1２ 12 1０ 12 1２ 12 12 12 １0 12 12 131412
9 9 9 9 ９ ９９ ９ 9 9 9 9 9 9 15
根据上述矩阵，分别找出Ａ、Ｂ、C到①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧的最短距离,见表２：
表2:
收购点到菜市场的最短距离
最短距离（单位：
１0０千米）
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
4
8
8
19
11
6
22
２０
B
3
１7
C
2
１0
调运量的限制:
短缺损失费为：
总费用为:
由以上约束条件,用ＬIＮGO软件进行线性规划求解（源程序及完整运行结果见附录程序２）,部分运行结果如下：
Objｅｃｔiveｖａｌue：
１0280。
00
Totalsolｖeriｔerations：
14
Ｖariaｂlｅ Vａlｕe ReｄucｅdCｏst
P ９６40.００0 ０.000000
Q 640。
０000 0。
00０000
SA1 ８０.000000。
0０0000
SA20。
000000 2。
０00000
SA30。
0000０0 2。
000０００
SＡ４ 0。
000０0０ 6．000000
SA5 １00。
0００0 0．０0000０
SA6 70.00000 0。
0000０0
SA７ ０。
0０000０ 2４.00000
SA8 0。
000０0010．000０0
SB１ 0.0０000０ 2０.0000０
SB2７0．00００0 0。
000００0
SＢ３ 9０.00000 0.0０0０00
SB4 4０。
0000０ 0。
0000０0
SB５ 0．000０００ 2.００0000
SＢ6 0。
00000０ 20。
００000
ＳB70.000000 26。
００000
SB8 ０.0０0000 4。
0000０0
SＣ１ 0.000０00 42。
000００
SC2 0。
００0000 3４．00００0
ＳC３ 0。
0０00０0 18。
00０00
SＣ4 ０．0０0００0 6.０00０0０
SC5 2０．０0000 0．0０000０
SC6 0.0０0０00 28。
000０0
SＣ7 100．0０0０ 0。
０00000
SC8 60.00０00 ０.0００0０0
从上述运行结果中可以得出调运方案为:
在此种方案下，蔬菜调运及预期的短缺损失最小，最小金额为１0280元。
6.2 问题二模型的求解
将调整后的方案用LINGO编程（源程序及完整运行结果见附录程序３）,部分运行结果如下：
Objecｔivｅvalue：
1062８.00
Tｏtalsｏlｖｅriteraｔions：
２0
Vaｒiable Value ＲeduｃedCost
P 10064.０0 0．０0000０
Q ５64.0000 0.000000
ＳＡ1 80。
00000 0。
００00０0
SA2 ０．000０00 0.０0000０
SＡ３ 24。
00000 0。
000０00
SＡ4 0.０0０000 4.00000０
SＡ５ 7６。
０0000 0．０0０000
SＡ6 70.00000 0.０0０000
ＳA7 0．００0０0０ 24.００000
ＳA8 0。
000000 10。
0００0０
SB1 0.00０000 22。
0０000
SB270．0０000 0。
０00000
SB３ 6６。
００00０ 0.０00000
SB4 64。
0０000 0.000０00
ＳB５ 0.0０00０0 ４.00０00０
SB６ ０．０000００ ２2.00000
SB7 0。
0００000 28.０00０0
SＢ80。
000０00 6。
００00０0
SＣ１ 0．000０００ 42．00000
SC2 0．000０００ 32。
0０0００
SC3 0。
０0００00 16。
00000
SＣ4０。
000000 4．00000０
SＣ5 28.０0０0０ 0．000０00
SC60.000000 28．0０000
ＳC7 80．00000 0。
0０００0０
ＳC8 7２。
０0０00 ０。
000000
从上述运行结果中可以得出调运方案为：
6。
3问题三模型的求解
将调整后的方案用ＬIＮGO编程（源程序及完整运行结果见附录程序4），部分运行结果如下：
Ｏbｊｅcｔivevaｌue:
11２００.00
Tｏtaｌsolveriteraｔｉｏns:
16
Vａriａｂｌe Vaｌue ReduceｄCoｓt
P 1１２０0。
０0 ０.0０000０
Q 0。
000000 ０.０0０000
SA1 ８０。
000０0 0。
０00000
SA2 40．00000 0。
０0００0０
SA３ ０。
000000 ０．０００000
SA４ 0。
00００00 4。
000０0０
SA5 60。
０00０0 0.00000０
ＳA6 70.００00０ 0。
００0００0
SA7０。
000０00 24．000００
SA8 ０.00０000 10．000０0
SB1 0。
00０000 ２2。
00000
SB2 3０。
０0００0 0.00０0０0
SB3 90．0０00０ ０。
00０0０0
SB4 80.００000 0.0000０0
SB５ 0．000000 4．000００0
SB6 ０。
000０00 2２。
000０0
SB７0.00０0０0 ２8.０0000
SＢ8 0。
0０0000 6。
00０000
ＳC1 0.０000０0 42.0000０
SC2 ０.0０0０00 3２。
００000
SC3 0。
0０0000 １6.００0００
ＳＣ4 ０.０00000 4。
0００0０0
ＳC5 ６0。
0０000 0.0０00０0
SＣ6 0。
0０0000 28．00000
ＳC7 1０0.000０ 0．00000０
SＣ8 90.0000０ 0。
00００00
从上述运行结果中可以得出调运方案为:
七、结果分析
７.1模型的评价
7。
１.1模型的优点:
模型简单易懂,主要用了Ｆroyd算法与线性规划，使问题的求解变得十分方便,能适应更重新的要求。
且计算结果能大致能反映蔬菜调运的最小损失要求，模型的建立成功实现了建模的目的.
7.1。
2模型的缺点:
模型的建立中，采用了若干假设条件，假设的条件使得特殊情况模型失效或者偏离实际情况，比如第三问只考虑了运输费用最小，却没有考虑到供过于求造成的货物积压问题等，考虑更多现实的因素，模型有待进一步改进和完善。
７。
2模型的改进：
在第三问中由于模型只考虑了运输费用最小，却没有考虑到供过于求造成的货物积压问题.在计算时，应将货物堆积造成的损失计算进去,这样考虑结果将更加满足实际情况，使得模型更加完善。
八、参考文献
［1]夏鸿鸣,魏艳华,王丙参．数学建模。
成都：
西南交通大学出版社,2０14。
［２］张志涌，杨祖樱。
ＭATＬAB教程[M］。
北京:
北京航空航天大学出版社, 2０11.
[3] 周品,赵新芬.数学建模. 北京:
国防工业出版社,20０9．
[4]费培之，程中媛. 数学建模实用教程. 成都：
四川大学出版社，19９8．
［5］陈如栋，于延荣。
数学模型与数学建模.北京：
国防工业出版社,2００6.
九、附录
程序１
fuｎctiｏn[Ｄ，paｔh］=floyd（a）
n＝siｚe（a,1）；
Ｄ＝a
for ｉ=1：
n
fｏrj=1:
n
pａth（i,j）=j；
enｄ
end
path
ｆork=１：
n
fori=１:
n
fｏr j=１:
n
ｉfD（ｉ，k）+D（k,j）〈D（i，j）
D（i，ｊ）=D（ｉ，k）+D（k，j）;ｐatｈ（i,j）＝path（i，k）;
end
ｅｎｄ
end
ｋ
D
paｔh
ｅnd
在ＭATLAB命令窗口输入命令：
a＝［0 ７inｆ5 4inｆ ｉnｆｉｎfｉnf infinfｉｎｆ infinfinf;
707ｉnf83iｎｆiｎf infinfiｎfinｆｉｎfiｎｆinｆ；
inｆ70iｎf inｆ6ｉｎf711inｆinｆｉnfinｆinfinf；
5 infinf０ 6inf5 ｉnf inf７ｉnfiｎfｉnfｉnf ｉｎf；
4 8inf6074 8inf infinfinfinf ｉnfinｆ;
inf3６inｆ 7０
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