初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题十一含答案 34.docx

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初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题十一含答案34

初中八年级数学下册第十八章平行四边形单元复习试题十一（含答案）

如图，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：

AE=CF．

【答案】证明见解析.

【解析】

由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得出得出∠BAC=∠DCA，证出∠EAB=∠FCD，根据垂直得出∠BEA=∠DFC=90°，由AAS证明△BEA≌△DFC，即可得出结论．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠BAC=∠DCA，

∴180°−∠BAC=180°−∠DCA，

即∠EAB=∠FCD，

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠BEA=∠DFC=90°，

在△BEA和△DFC中,

，

∴△BEA≌△DFC（AAS），

∴AE=CF.

112．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：

四边形BCEF是平行四边形．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】

可连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，由线段之间的关系可得OF=OC，OB=OE，可证明其为平行四边形．

【详解】

解：

连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，

∵AB∥DE，AB=DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴OB=OE，OA=OD，

∵AF=DC，

∴OF=OC，

∴四边形BCEF是平行四边形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

113．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且DC＝BF，DE⊥CF于E.

（1）E是CF的中点吗？

试说明理由；

（2）试说明：

∠B＝2∠BCF.

【答案】

（1）是

（2）见解析

【解析】

（1）连接DF.由AD是边BC上的高，F是边AB的中点，可得DC＝DF,又DE⊥CF即得结论；

（2）由

（1）的结论DF=BF得∠FDB=∠FBD，由DC＝BF得∠DCF=∠DFC，再根据由外角的性质即可证得结论。

114．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：

△DCA≌△EAC；

（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．

【答案】

（1）详见解析；

（2）AD=BC（答案不唯一）．

【解析】

【分析】

试题分析：

（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；

（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．

试题解析：

【详解】

（1）证明：

在△DCA和△EAC中，

，

∴△DCA≌△EAC（SSS）；

（2）添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：

∵AB=DC，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵CE⊥AE，

∴∠E=90°，

由

（1）得：

△DCA≌△EAC，

∴∠D=∠E=90°，

∴四边形ABCD为矩形；

考点：

矩形的判定；全等三角形的判定与性质．

115．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于

BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：

四边形ABEF是菱形；

（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4

，求∠C的大小．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）60°．

【解析】

试题分析：

（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD，即可得∠BAE＝∠EAF．再由四边形ABCD为平行四边形，可得BC∥AD，根据平行线的性质可得∠AEB＝∠EAF，所以∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的性质可得AB＝BE，即可得BE＝AF，所以四边形ABEF为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABEF为菱形；

（2）连接BF，已知四边形ABEF为菱形，根据菱形的性质可得BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE，OA＝

AE＝

．再由菱形ABEF的周长为16，可得AF＝4．所以cos∠OAF＝

＝

．即可得∠OAF＝30°，所以∠BAF＝60°．再由平行线的性质即可得∠C＝∠BAD＝60°．

试题解析：

（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF．

∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四边形ABEF为平行四边形．

∴四边形ABEF为菱形．

（2）连接BF，

∵四边形ABEF为菱形，∴BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE．

∴OA＝

AE＝

．∵菱形ABEF的周长为16，∴AF＝4．

∴cos∠OAF＝

＝

．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝60°．

116．已知：

如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．

（1）求证：

△BCE≌△DCF；

（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？

请说明理由．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）AB⊥BC时，四边形AEOF正方形．

【解析】

【分析】

（1）根据中点的定义及菱形的性质可得BE=DF，∠B=∠D，BC=CD，利用SAS即可证明△BCE≌△DCF；

（2）由中点的定义可得OE为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质可得OE//BC，根据正方形的性质可得∠AEO=90°，根据平行线的性质可得∠ABC=∠AEO=90°，即可得AB⊥BC，可得答案．

【详解】

（1）∵四边形ABCD是菱形，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，

∵点E、F分别是边AB、AD的中点，

∴BE=

AB，DF=

AD，

∴BE=DF，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF．

（2）AB⊥BC，理由如下：

∵四边形AEOF是正方形，

∴∠AEO=90°，

∵点E、O分别是边AB、AC的中点，

∴OE为△ABC的中位线，

∴OE//BC，

∴∠B=∠AEO=90°，

∴AB⊥BC．

【点睛】

本题考查菱形的性质、全等三角形的判定及正方形的性质，菱形的四条边都相等，对角相等；正方形的四个角都是直角；熟练掌握菱形和正方形的性质是解题关键．

117．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．

（1）求证：

四边形BFEG是矩形；

（2）求四边形EFBG的周长；

（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

【答案】

（1）见解析；

（2）20cm（3）当AF=5cm时,四边形BFEG是正方形.　

【解析】

【分析】

（1）由正方形的性质可得出AB⊥BC、∠B=90°，根据EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一条直线的两直线互相平行”，即可得出EF∥GB、EG∥BF，再结合∠B=90°，即可证出四边形BFEG是矩形；

（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出△AEF为等腰直角三角形，进而可得出AF=EF，再根据矩形的周长公式即可求出结论；

（3）由正方形的判定可知：

若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，结合AF=EF、AB=10cm，即可得出结论．

【详解】

（1）证明：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB⊥BC,∠B=90°.

∵EF⊥AB，EG⊥BC，

∴EF∥GB,EG∥BF.

∵∠B=90°，

∴四边形BFEG是矩形；

（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，

∴AB=

=10cm.

∵四边形ABCD为正方形，

∴△AEF为等腰直角三角形，

∴AF=EF，

∴四边形EFBG的周长C=2（EF+BF）=2（AF+BF）=20cm.

（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，

∵AF=EF，AB=10cm，

∴当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质.熟练应用正方形的性质进行推理、求值是解题的关键.