第22讲 正方形.docx

1、第22讲 正方形 第22讲 正方形考点方法破译1有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱 形叫正方形2熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考3掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题经典考题赏析【例1】（上海）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形求证：四边形ABCD是菱形；若AED2EAD，求证：四边形ABCD是正方形 【解法指导】根据条件合理选择判断方法是解决问题的关键本题可选“对角线垂直的平行四边形是菱形；有一个角为直角的菱形是正方形”

2、证明：四边形ABCD是平行四边形，AOCOACE是等边三角形，EOAC，即DBAC平行四边形ABCD是菱形ACE是等边三角形，ACE60，EOAC，AEOACE 30，AED2EAD，EAD15，ADOEAD ADEO45四边形ABCD是菱形，ADC2ADO90四边形ABCD是正方形【变式题组】01如图，已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O，点M、N分别在OA、OD上,且MNAD探究：线段DM和CN之间的数童关系，写出结论并给出证明02如图，点P是正方形ABCD对角线AC上的点，PEAB，PFBC，E、F是垂足，问PD与EF有怎样的关系？ 请说明理由03（荆州）如图，将正方形ABCD中

3、的 绕对称中心O旋转至GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论04(荆州)把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图【例2】（扬州）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为cm2，求旋转的角度.【解法指

4、导】解AODE证明：在RtADO与RtAEO中，ADAE，AOAO，ADOAEO(HL) ，DAOOAE(即AO平分DAE) ，AODE(等腰三角形三线合一)注：其他的结论也成立如GDBE30四边形AEOD的面积为cm2，ADO的面积，在RtAOD中， AO2OD2AD2，AO，AO2OD，AD2，OD，DAO30，DAE60，EAB30，【变式题组】01(青岛)如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点A顺时针旋转45，则这两个正方形重叠部分的面积是02我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG它们共顶点A(如图1)，可以绕顶点A旋转， CD、EF相交于点P连接BE、

5、DG（如图2），求证：BEDG，BEDG连接BG、CF(如图)，求证：BGCF【例3】（临沂）数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点AEF90，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AEEF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AMEC，易证AMEECF，所以AEEF 在此基础上，同学们进一步的研究：小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AEEF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2

6、）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AEEF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由【解法指导】若证明两个三角形中的线段相等，而这两三角形又不全等时，可通过构造全等三角形证明线段相等解：正确证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接MEBMBE，BME45，AME135ECFECDDCF135AMEECF，1AEB90，2AEB901 2，AMEECF，AEEF正确如图，在BA延长线上取一点N，使ANCE，连接NE，BNBE，NFCE 45NAE901，CEF45NAECEF，ANEECF AEEF【变式题

7、组】01(福建省宁德)如图，已知正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上；E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG连接GD，求证：ADGABE；连接FG，观察并猜测FCN的度数，并说明理由02(南宁)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE丄EF延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由【例4】（荆州市竞赛题）已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC(或它们的延长线)点M

8、、N当MAN绕点A旋转到BNDN时（如图1），易证BMDNMN当MAN绕点A旋转到BNDN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并 明图1图2图3【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补短，构造全等三角形解决解：MN BMDN证明：延长CB到E，使BEDN，连接AEABAD，BEDN，ABEADN，ABEADN1 2，AEAN，MAN45，1 3451 245，EAMNAM，AMAMAEMANM，MNME，MNBMDN MN DNBM 证明：在DN上截取

9、DFBM，连接AFABAD，DABM，BMDF，ABMADF4 5，AFAM，4 645，5 645，FAN45FANMAN，AFAM，AN AN，AFNAMNMNFN，MNDNBM【变式題组】01（衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中： EAF的大小是否有变化？请说明理由； ECF的周长是否有变化？请说明理由02如图，有四个动点P、Q、E、F分别从边长为1的正方形ABCD的四个顶点出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动试判断四边形PQEF的形状，并证明；PE是否总过某一定点，

10、并说明理由；四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小和最大？各是多少？03（济宁）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，当A点第一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N(如图)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；设MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H只分别在AB、BC、CD、D

11、A上，若EG丄FH，则GEFH”经过思考，大家给出了以下两个方案：(甲）过点A做AMHF交BC于点M，过点B作BNEG交CD于点N；(乙）过点A做AMHF交BC于点M，作ANEG交CD的延长线于点N；小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；如果把条件中的“EG丄HF”改为“EG与HF的夹角为45”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为 (如图2)，试求EG的长度【解】证明：如图3过点A作AMHF交BC于点M，作ANEG交CD的延长线于点NAMHF，ANEG，正方形ABCD，ABAD，BA

12、DAND90EGFH，NAM90，BAMDAN在ABM和ADN中ABMADN，AMAN，即EGFH解：如图4过点A作AMHF交BC于点M，过点A作ANEG交于点N，AB1，AMFH，在RtABM中，BM将ADN绕点A旋转到APB，EG与FH的夹角为45MAN45，DANMAB45即PAMMAN45从而，APMANM，PMNM设DNx，则NC1x，MNPMx在RtABM中，(x)2(1x)2解得x，EGAN【变式题组】01（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BFAE，则BM的长为 02（天孝）如图，已知正方形ABCD

13、的边长为3，E为BC边上一点，BE1以点A为中心，把ADE顺时针旋转 90，得ADE，连接EE，则EE的长等于 03（上海）已知正方形ABCD中,点E在边DC上，DE2，EC1(如图所示)把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 04(盐城)小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图，ADCD)沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处,折痕为(如图)；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG(如图)如果第二次折叠后，M点正好在NDG的平分线上，矩形ABCD长与宽的比值为 05（黑龙江鸡西）平面内有一等腰直角三角板（

14、ACB90）和一直线MN过点C作以CE丄MN于点E，过点B作BF丄MN于点F当点E与A重合时（如图1），易证：AFBF2CE当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，清直接写出你的猜想，并证明演练巩固反馈提高01（江苏常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）A等腰梯形 B正方形 C平行四边形 D矩形02（烟台）如图，将n个边长为1cm瓜的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）A cm2 B cm2 C cm

15、2 D cm203（山西省）如图，把一个长为m、宽为n的长方形（mn）沿虚线剪开，并拼成图，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）A Bmn C D 04（白银）如图，四边形ABCD中，ABBC，ABCCDA90，BE丄AD于点E，且四边形ABCD的面积为8， 则BE（ ）A2 BC3 D 05（抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（ ）A BC3 D 06（贺州）如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图

16、中阴影部分的面积是 cm207如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别经过A、B、C三点，且l1l2l3，若l1与l2的距离为a，l2与l3的距离为b，则正方形ABCD的面积是 08（重庆）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线八AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点 A恰好与BD上的点F重合展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G连接GF下列结论：ADG1125；AD2AE；SACG SOCD；四边形AEFG是菱形；BE2OG，其中正确的结论序号是 09（北京）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直

17、线折叠，使A落在MN上，落点记为A，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则AN ，若M、N分别是AD、BC边上的距DC最近的n等分点（n2，且n为整数），则AN （用含有n的式子表示）10（威海）如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HAEBFCGD，连接EG、FH，交点为O如图2，连接EF、FG、HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形，若正方形ABCD的边长为3 cm，HAEBFCGD1cm，则图3中阴影部分的面积为 cm211(黄石)如

18、图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E， 交BCA的外角平分线于F探究线段OE与OF的数量关系并证明；当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；当点O运动到何处时，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？12（常德）如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AGCE，AGCE当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AGCE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说 明理由；当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H交，于AD于M求证：AG丄CH；当AD4，

19、DG时，求CH的长13如图，在AEC中，以AEC为锐角，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AH的中点是M 求证：FMH是等腰直角三角形培优升级奥赛检测01（南昌市八年级竞赛试题）P为正方形ABCD内一点，若PAPBPC123，则APB的度数为（ ）A120 B135 C150 D以上都不对02（四川省初二联赛试题）如图，边长为1的正方形ABCD绕A逆时针旋转30到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）A B C D 03在正方形所在的平面内有一点P，便PAB、PBC、PCD、PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的P点共有（ ）A9个 B7个 C5

20、个 D1个04如图，G是边长为4的正方形ABCD的边长BC上一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD5，则EG的长为 05（第十九届江苏省初二竞赛试題）如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABECE与DB相交于点F ，则AFD 度06（荆州市八年级联赛试题）如图，已知：AEC是以正方形ABCD的对角线为边的等边三角形，EF丄AB，交AB延长线于F，则BEF的度数为 07按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间的小正方形（阴影部分）的周长为 08如图，正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，点B坐标为(4，4)，当三角板直角顶点P坐标为(3，3)时，设

21、一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交点于F在三角板绕点P旋转的过程中，使得POE成为等腰三角形有满足条件的点F的坐标为 09（湖州市竞赛试题）在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0) 、A(100，0) 、B(100，100) 、C(0，100)若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足；SPOASPAC SPABSPOC就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好点”的个数为 个10如图，已知正方形ABEF和正方形ACGH在ABC的外部若M是BC的中点，求证FH2AM11如图，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CGBC)，取线段AE的中点M探究：线段MD、MF的关系，并加以证明12（宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将服BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM求证：AMBENB；当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长