第六节 等腰梯形的轴对称性.docx

第六节 等腰梯形的轴对称性.docx

《第六节 等腰梯形的轴对称性.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六节 等腰梯形的轴对称性.docx（36页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第六节等腰梯形的轴对称性

第一章轴对称图形

1.6等腰梯形的轴对称性

漫画

新知概览（总结学习规律）

知识要点

课标要求

中考考点

节内对应例题

节内对应习题

等腰梯形的定义和性质

等腰梯形的概念和性质（理解）

等腰梯形的概念和性质（理解）

试练例1;题型典例1、4、5、6、8、9、10；中考典例2.

中考变式练2；

新题精练1、、3、4、6、7、8、9、10、11；

等腰梯形的判定

等腰梯形的判定（理解）

等腰梯形的判定（理解）

试练例2、3;易错典例1；题型典例2、3、7、11；中考典例1、3.

中考变式练1、3；

新题精练2、5、12；

本节重难点

1.重点：

等腰梯形的性质和判定

2.难点：

等腰梯形的性质和判定的应用及有关辅助线的作法.

知识全解（享受探究乐趣）

知识点1:

等腰梯形的定义和性质（重点）

（1）等腰梯形的定义:

梯形中,平行的一组对边称为底,不平行的一组对边称为腰,两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

（2）等腰梯形是轴对称图形，沿着经过两底中点的直线（对称轴）折叠，直线两旁的部分完全重合，说明等腰梯形在同一底上的两个角相等,等腰梯形的对角线相等．这是等腰梯形的两个重要的性质，它是在等腰梯形中说明角和角相等以及线段与线段相等的重要依据，等腰梯形的性质定理主要有：

性质1:

等腰梯形同一底上的两底角相等.

性质2:

等腰梯形两条对角线相等.

用几何符号语言表述如下：

（如图1-5-1）：

性质1:

因为在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD，所以∠ABC=∠BCD；

性质2:

因为在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD，AC、BD是该梯形的对角线，所以AC=BD．

【知识衔接】对上述的定理我们同样可以给以说明：

解：

（1）过D点作DE∥AB，交BC于E.故有∠ABC=∠DEC．

因为AD∥BC，DE∥AB，所以四边形ABED是平行四边形．所以AB=DE，又因为AB=CD，所以DE=DC，所以∠DEC=∠DCE．又∠ABC=∠DEC，所以∠ABC=∠BCD；

（2）在△ABC与△DCB中，因为AB=DC，∠ABC=∠BCD，BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以AC=BD．

【知识警示】⑴等腰梯形同一底上的两底角相等，不能说成“等腰梯形两底上的角相等”；⑵这些性质可以试说明角、线段相等以及判定四边形为平行四边形；（3）等腰梯形具有梯形的所有特征；（4）等腰梯形在同一腰上的两个角不可能相等．

【知识拓展】如果等腰梯形的对角线互相垂直，那么等腰梯形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.

试练例题1:

梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是（）

A．3B．4C．2D．1

【思路导引】解决梯形问题一般利用转化思想把梯形中的问题转化到平行四边形和三角形中解决.因此本题中能用到的梯形中常作的辅助线有：

⑴平移一腰.如图1-5-2，本题中过点D作DE∥AB交BC于点E，将梯形转化为一个菱形ABED和一个点等边三角形DEC,我们发现BC=2+2=4.

⑵作高.如图1-5-3,本题中分别过点A、D作AE⊥BC,DF⊥BC,交CB于点E、F.于是就将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，我们发现BE=

AB=1，BC=1×2+2=4.

⑶延长两腰.如图1-5-4，本题中分别延长BA、CD交于点O.于是又将梯形问题转化为两个等边三角形，我们发现△OAD和△OBC都是等边三角形，AO=AD=AB,BC=BO=4.

【答案】B

【方法】解决梯形的问题时，常通过添加辅助线，将梯形分为平行四边形和一个三角形，

知识点2:

等腰梯形的判定（重点）

⑴判定定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

（2）判定定理的说明.

已知，如图1-5-5所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C.试说明：

梯形ABCD是等腰梯形.

图1-5-5

【思路导引】因为∠B和∠C不在同一个三角形中，所以可考虑延长BA、CD交于点E，构造一个以∠B、∠C为底角的等腰三角形，由于AD∥BC,则△EAD也是等腰三角形，从而EB=EC,EA=ED,AB=DC.

【试说明】延长BA、CD交于点E，在△EBC中，因为∠B=∠C，所以EB=EC，因为AD∥BC，所以∠EAD=∠B，∠EDA=∠C，所以∠EAD=∠EDA，所以EA=ED,所以EB-EA=EC-ED,所以AB=DC，即梯形ABCD是等腰梯形.

【知识规律】①判定一个梯形四等腰梯形通常有两种方法：

其一，定义：

两腰相等的梯形是等腰梯形；其二，判定定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

②等腰梯形的判定步骤：

一般是先判定一个四边形是梯形，然后再利用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形.

【知识拓展】说明一个梯形是否是等腰梯形方法有：

根据定义判断：

两腰相等的梯形是等腰梯形；

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

对角线相等的梯形是等腰梯形.

试练例题2:

如图1-5-6，四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，试说明:

四边形ABED是等腰梯形.

图1-5-6

（人教版8下第19章19.4节P110第10题）

【思路导引】根据ABCD是矩形，可以得到AD=BC，CD=AB，根据折叠，可得AE=AB，BC=EC，这样可得到△ACD≌△CEA，作DF⊥AC，EG⊥AC，根据全等三角形的对应高相等可得DF=EG，根据平行线间的距离处处相等，可得DE//AC，只要四边形ACED为梯形，再根据AE=CD，进一步可说明梯形ACED为等腰梯形.

【解】因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB，AD=BC，

根据折叠可知AE=AB，CE=CB，

所以AD=CE，AE=CD，

又AC=CA，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以△ADC≌△CEA，

作DF⊥AC，EG⊥AC，则DF=EG，所以DE//AC，

所以四边形ACED是梯形，

又AE=CD，所以梯形ACED为等腰梯形.

【总结】此题考查了矩形的折叠和等腰梯形的判定，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决这类问题．

知识点3:

解等腰梯形问题时常用辅助线的作法（重点）

梯形是在三角形和平行四边形的基础上进行研究的，因此梯形中的试说明、计算问题的关键是化归——通过添作辅助线，将梯形中的问题化归为三角形或平行四边形的问题来解决，具体作辅助线的方法如图1-5-7所示:

1.作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，如图⑴所示；

2.平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形，如图⑵所示；

3.平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图⑶所示；

4.如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图⑷所示；

5.延长梯形两腰交于一点，若是等腰梯形，则得到两个等腰三角形，如图⑸所示.

6.过一腰的中点作另一腰的平行线，把梯形转化为平行四边形，如图（6）所示；

7.作梯形的中位线（这一作法将在本章的1.5节学习），如图7所示．

图1-5-7

【知识警示】解决梯形问题一般利用转化思想把梯形中的问题转化到平行四边形和三角形中解决.常用的辅助线方法很多，需要根据实际问题进行取舍.

试练例题3:

如图1-5-8所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，OB=OC．

试说明：

四边形ABCD为等腰梯形．

图1-5-8

【思路导引】过D作DE∥AC交BC的延长线于E，则ACED为平行四边形，通过OB=OC得到一些相等的角，再利用对角线相等的梯形是等腰梯形证得．

【解】过D作DE∥AC交BC的延长线于E，

因为AD∥BC，

所以四边形ACED为平行四边形，

所以DE=AC，

又因为OB=OC，DE∥AC，

所以∠DBC=∠ACB=∠DEB，

所以BD=DE=AC，

即梯形ABCD的两条对角线相等，

又因为四边形ABCD是梯形．

所以四边形ABCD是等腰梯形．

【规律】通过添加适当的辅助线把梯形的问题转化为平行四边形和三角形来解决。

易错易混辨析

易错点忽略等腰梯形判定定理中隐含条件-----梯形

易错典例如图1-5-9所示，已知△ABC中，AB=AC，,BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，试说明：

四边形BCDE是等腰梯形．

图1-5-9

【思路导引】已知△ABC中，AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，然后证得△BEC≌△CDB，得出EB=DC，根据等腰梯形的判定，可证明四边形BCDE是等腰梯形．

【解】在△ABC中，因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB．

因为BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，

所以∠BCE=∠CBD，

又BC=CB，

所以△BEC≌△CDB．

所以BE=CD．

所以AE=AD．

所以∠AED=∠ADE．

所以∠AED=∠ABC．

所以ED∥BC．

又BE，CD不平行，

所以四边形BCDE是梯形．

所以四边形BCDE是等腰梯形．

【误区总结】说明四边形是等腰梯形必须是在梯形的前提下，再说明腰相等。

基础经典全析（乘坐智慧快车）

题型1等腰梯形的性质和判定

出题方向①：

等腰梯形的计算

【题型典例1】如图1-5-10，已知在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝45°．

（1）求∠ABD的度数；

（2）若AD＝2，求AB的长．

图1-5-10

【思路导引】

（1）由题意知道，梯形ABCD是等腰梯形，则∠A=∠ABC=60°,而BD平分∠ABC，则∠ABD=30°.

（2）由

（1）得到三角形ABD是直角三角形.可以求出BD的长.

【解】

（1）因为ABCD是梯形，且AD＝BC，则ABCD是等腰梯形.所以∠A=∠ABC=60°,又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=30°.

（2）∠A＝60°，∠ABD=30°，所以△ABD是直角三角形.根据“30°直角边所对的边等于斜边的一半”，得到AB=4.

【规律】等腰梯形中如果底角有60°的角,则等腰梯形中含有等腰三角形和直角三角形，方便简化运算.

出题方向②：

等腰梯形对称性的应用

【题型典例2】如图1-5-11，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC，则梯形ABCD_____（填“是”或“不是”）等腰梯形．

图1-5-11

【思路导引】因为AD∥BC，EF⊥BC，所以EF⊥AD．因为E、F分别是AD、BC的中点，所以EF是AD、BC的垂直平分线，所以A、D关于直线EF对称，B、C关于直线EF对称，所以线段AB、CD关于直线EF对称，所以AB=CD．所以梯形ABCD是等腰梯形．

【答案】是

【方法】利用轴对称性的性质解题,是一种常用的方法.在解题过程中注意需要讲解清楚.

出题方向③：

等腰梯形的判定

【题型典例3】如图1-5-12，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MA＝MD．试说明：

四边形ABCD是等腰梯形．

【思路导引】要试说明四边形ABCD是等腰梯形，就要试说明AB＝DC.我们可通过试说明△AMB≌△DMC来实现预期目标.

【解】因为　MA＝MD，

所以　△MAD是等腰三角形，

所以　∠DAM＝∠ADM．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

因为　AD∥BC，

所以　∠AMB＝∠DAM，∠DMC＝∠ADM．

所以　∠AMB＝∠DMC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又因为　点M是BC的中点，所以　BM＝CM．　　　　　　

所以　△AMB≌△DMC．　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以　AB＝DC，

所以四边形ABCD是等腰梯形．　　　　

题型2梯形辅助线添加技巧

出题方向①：

构造辅助线简单计算

【题型典例4】如图1-5-13，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，AD＝2，BC＝4，则梯形的面积为（）

A．3B．4C．6D．8

图1-5-13

【答案】A

【方法】梯形的问题往往通过作辅助线，将其转化三角形、平行四边形、长方形等问题来解决，本题中就是将其转化为两个等腰直角三角形和一个矩形，从而求出该梯形的高，使得问题得以顺利解决．

出题方向②：

构造辅助线简单试说明

【题型典例5】如图1-5-14，E是梯形ABCD中腰DC上的中点，试说明：

图1-4-14

【思路导引】过一腰中点E作另一腰AB平行线MN，构造△EMD和△ENC全等.

【解】过E作MN∥AB交BC于N，交AD的延长线于M．

因为△ABE与四边形ABNM同底同高，

所以

因为∠1=∠C，∠M=∠2，DE=CE，

所以△EMD≌△ENC．

所以

【方法】我们通过作辅助线得到上面题目的解决方法，其本质就是运用了转化的数学思想，通过割补的方法将梯形分别转化为与之面积相等的三角形和四边形进行计算.

题型3网格中的等腰梯形

【题型典例6】如图1-5-15,图①是等腰梯形ABCD，其中AD∥BC，AB=DC．图②是与图①完全相同的图形．

（1）请你在图①、图②的梯形ABCD中各画一个与△ABD全等但位置不同的三角形，使三角形的各顶点在梯形的边（含顶点）上；

（2）选择

（1）中所画的一个三角形说明它与△ABD全等的理由．

图1-5-15

【思路导引】

（1）首先可以知道，另一条对角线所分得的△ACD就是它的一个全等三角形，然后再从D点作AB的平行线交BC于点E，△BED就又是一个全等三角形；

（2）利用全等三角形的判定试说明即可．如图①中，可利用边角边定理来试说明．

【解】

（1）如图1-5-16

图1-5-16

（2）证法1：

如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，

所以∠BAD=∠CDA．

在△ABD和△DCA中，

所以△ABD≌△DCA．

证法2：

如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，

所以AC=DB．

在△ABD和△DCA中，

所以△ABD≌△DCA．

证法3：

如图②，在BC上取一点E，使BE=AD，连接DE．

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，

所以∠ADB=∠EBD．

在△ABD和△EDB中，

所以△ABD≌△EDB．

综合创新探究

题型4生活中的等腰梯形（创新题）

【题型典例7】如图1-5-17,用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形（提供的火柴棒全部用完），下列根数的火柴棒不能围成梯形的是（　　）

图1-5-17

A、5B、6C、7D、8

【题眼直击】梯形

【思路导引】设梯形的一条对角线为x，如图1-5-18，

图1-5-18

A、5根时，可以上底1根，下底2根，腰各1根，如图，梯形ABCD中，AD=BC=CD，∠A=∠B=60°，于是有1＜x＜3，0＜x＜2，那么1＜x＜2，所以能围成；

B、6根时，若上底1根，下底3根，腰各1根，于是有2＜x＜4，0＜x＜2，那么就有2＜x＜2，无解，不能围成；

C、7根时，可以上底2根，下底3根，腰各1根，于是有2＜x＜4，1＜x＜3，那么2＜x＜3，所以能围成；

D、8根时，可以上底2根，下底4根，腰各1根，于是有3＜x＜5，1＜x＜3，那么3＜x＜3，所以不能围成，但是也可以是上底1根，下底2根，腰各2根，于是有1＜x＜5，1＜x＜3，那么1＜x＜3，所以能围成．

故选B．

【答案】B

题型5一题多解法-----谈梯形常用辅助线

【题型典例8】如图1-5-19所示，已知ABCD是梯形（图1），AD∥BC，∠B=∠C，试说明：

AB=CD．

图1-5-19

【思路导引】在梯形中添加辅助线的方法很多，具体试说明时，必须根据题目中的条件和图形，灵活运用三角形和平行四边形的有关知识．

【解】方法一：

平移梯形的一腰，使梯形问题转化为平行四边形和三角形来解决．

　　理由:

如图2所示，过点D作DM∥AB交BC于点M．

　　因为AD∥BC，

　　所以四边形ABMD是平行四边形．

　　所以AB=DM，∠B=∠DMC．

　　又∠B=∠C，所以∠DMC=∠C．

　　所以CD=DM，即AB=CD．

　　方法二：

过梯形的顶点作底边上的高线，把梯形问题转化成矩形和直角三角形来解决．

　　理由:

如图3所示，过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，所以AE∥DF．

　　又AD∥BC，

　　所以四边形AEFD是矩形．

　　所以AE=DF．

　　又∠B=∠C，

　　所以△ABE≌△DCF（AAS）．

　　所以AB=CD．

　　方法三：

延长梯形的两腰相交于一点，使梯形问题转化为三角形来解决．

　　理由:

如图4所示，延长BA、CD相交于点N．

　　因为AD∥BC，

　　所以∠NAD=∠B，∠NDA=∠C．

　　又∠B=∠C，

　　所以∠NAD=∠NDA．

　　所以NB=NC，NA=ND．

　　即NB－NA=NC－ND．

　　所以AB=CD．

　　方法四：

过梯形下底的一个顶点作一腰的平行线与上底的延长线相交，使梯形问题转化为平行四边形来解决．

　　理由:

如图5，可过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E．

　　因为AD∥BC，

　　所以四边形EBCD是平行四边形．

　　所以BE=CD，∠E=∠C，∠EAB=∠ABC．

　　又∠ABC=∠C，

　　所以∠E=∠EAB．

　　所以AB=BE=CD．

题型6开放探究题

【题型典例9】如图1-5-20所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，BF⊥AE于点F，请你添加一个条件，使△ABF≌△CDE．

（1）你添加的一个条件是　　；

（2）请写出试说明过程．

图1-5-20

【题眼直击】等腰梯形,全等三角形;

【思路导引】

（1）如AE=BE，答案不唯一；

（2）根据等腰梯形的性质利用AAS判定△ABF≌△CDE．

【解】

（1）AE=BE；

（2）试说明：

因为AE=BE，

所以∠EAB=∠EBA；

又AD∥BC，AB=DC，

所以∠EBA=∠C；

所以∠BAF=∠C；

又DE⊥BC，BF⊥AE，

所以∠AFB=∠CED=90°；

所以△ABF≌△CDE．

【总结】直角三角形全等有5种方法:

SSS,SAS,AAS,ASA,HL;在确定什么方法试说明确定时,需要读懂题意,选择合理准确简便的方法.

题型7阅读理解----等腰梯形的面积

【题型典例10】阅读下面题目及解答过程：

解答下列问题：

（1）上述解法得到的性质可叙述为_____________________________________________；

（2）如图1-5-22，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6cm，利用上述性质求等腰梯形ABCD的面积.

【题眼直击】等腰梯形,对角线互相垂直,面积;

【答案】

（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半

题型8动态问题

图1-5-23

【题眼直击】梯形,等腰梯形,动点；

【思路导引】如图，因为

，等腰梯形是轴对称图形，要说明四边形

是等腰梯形，则可以从

中得到解决．特别需要注意的是P，Q的运动方向是相反的．

【解】设P，Q运动到如图位置时，梯形PQCD是等腰梯形，平移AB到PN，DM位置，由平移的性质，得

．

又

，

所以

．

　　即

．

所以

时，梯形

是等腰梯形．

【方法】说明一个梯形是等腰梯形，一般是分两步先证是梯形，再证是等腰梯形；在试说明时需要注意：

有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，如直角梯形.

备战中考

中考解读

本节内容是中考中常考点之一，主要考查利用等腰梯形的性质定理和判定定理进行有关计算和试说明，考查的形式以填空题、选择题、解答题为主.学习本节的基本思路是把梯形转化为三角形和平行四边形问题解决，转化的关键是合理地添加辅助线，所以应熟记解决梯形问题常用的他积分周线的方法.

考法一等腰梯形的判定

【中考典例1】如图1-5-24,在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC，对角线BD平分∠ABC．试说明：

梯形ABCD是一个等腰梯形．

图1-5-24

【思路导引】要证梯形ABCD是一个等腰梯形，只要试说明AB=DC即可．

【解】因为AD∥BC，

所以∠CBD=∠ADB

因为BD是∠ABC平分线

所以∠CBD=∠ABD

所以∠ABD=∠ADB

所以AB=AD

因为AD=DC

所以AB=DC

所以梯形ABCD是一个等腰梯形．

【中考变式练】1.如图1-5-25，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）

图1-5-25

A、S△AFD=2S△EFBB、BF=

DFC、四边形AECD是等腰梯形D、∠AEB=∠ADC

【答案】A

【思路导引】在□ABCD中，E是BC的中点，△BEF∽△DAF,BE=

AD,BF=

DF,且∠AEC=∠DCE，四边形AECD是等腰梯形,易得∠ABE=∠ADC=∠AEB=∠ADC.故选A.

考法二等腰梯形的性质

【中考典例2】如图1-5-26，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，梯形ABCD的周长为26，BE=4，则△DEC的周长为______．

图1-5-26

【思路导引】由AB∥DC，BE∥AD，即可证得四边形ADEB是平行四边形，则可得AD=BE，AB=DE，又由梯形ABCD的周长为26，DE=4，即可求得△BEC的周长．即：

因为AB∥DC，BE∥AD，

所以四边形ADEB是平行四边形，

所以AD=BE，AB=DE，

因为四边形ABCD是等腰梯形，

所以BC=AD，

因为梯形ABCD的周长为26，

所以AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，

因为DE=4，

所以BE+EC+BC=18．

故答案为：

18．

【答案】18

【总结】此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是整体思想与数形结合思想的应用．

【中考变式练】2.如图1-5-27，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，则梯形残缺的底角的度数是°.

【答案】80°

【思路导引】梯形两底平行，梯形残缺的底角与∠A是同旁内角所以两角互补。

又因为∠A=100°，所以残缺的底角=180°-∠A=80°.

考法三等腰梯形的性质和判定综合

【中考典例3】如图1-5-28，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．

（1）试说明：

OD=OE；

（2）试说明：

四边形ABED是等腰梯形；

图1-5-28

【思路导引】

（1）如图，由△ABC是等腰三角形，得到∠BAD=∠ABE，，然后利用已知条件证明△ABD≌△BAE，由全等三角形的性质得到BD=AE，又由∠1=∠2得到OA=OB，由此即可证明OD=OE；

（2）由

（1）的OD=OE根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，根据三角形的内角和得到∠OED=

（180°﹣∠DOE），∠1=

（180°﹣∠AOB），而∠DOE=∠AOB，所以得到∠1=∠OED，然后利用平行线的判定得到DE∥AB，