数学常用巧算速算法.docx
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数学常用巧算速算法
校本课程数学计算方法
第一讲生活中几十乘以几十巧算方法2
第二讲常用巧算速算中的思维与方法
（1）4
第三讲常用巧算速算中的思维与方法
（2）6
第四讲常用巧算速算中的思维与方法（3）8
第五讲常用巧算速算中的思维与方法（4）10
第六讲常用巧算速算中的思维与方法（5）14
第七讲常用巧算速算中的思维与方法（6）16
第八讲小数的速算与巧算1――凑整18
第九讲乘法速算119
第十讲乘法速算221
第^一讲乘法速算322
第十二讲乘法速算423
第十三讲乘法速算524
第十四讲乘法速算625
第十五讲乘法速算727
第十六讲乘法速算829
注：
《速算技巧》33
校本课程数学计算方法
第一讲生活中几十乘以几十巧算方法
1•十几乘十几：
口诀：
头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：
12X14=?
解：
11=1
2+4=6
2X4=8
12X14=168
注：
个位相乘，不够两位数要用0占位。
2.头相同，尾互补（尾相加等于10）：
口诀：
一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：
23X27=?
解：
2+1=3
2X3=6
3X7=21
23>27=621
注：
个位相乘，不够两位数要用0占位。
3.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：
口诀：
一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：
37用4=?
解：
3+1=4
4^=16
7^=2837X44=1628
注：
个位相乘，不够两位数要用0占位
4.几十一乘几十一：
口诀：
头乘头，头加头，尾乘尾
例：
21X41=?
解：
2>4=8
2+4=6
1X1=1
21>41=861
5.11乘任意数：
口诀：
首尾不动下落，中间之和下拉
例：
11>23125=?
解：
2+3=5
3+1=4
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
11>3125=254375
注：
和满十要进一。
6.十几乘任意数：
口诀：
第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字,加下一位数，再向下落。
例：
13X326=?
解：
13个位是3
3X3+2=11
3X2+6=12
3X6=1813X326=4238
注：
和满十要进
第二讲常用巧算速算中的思维与方法
（1）
【顺逆相加】用顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的百数求和”题，可以计算为
1+2++99+100
1+2+3++994-100
+）10Q+99+死++2+1
101+101+101++101+101
所以，1+2+3+4+……+99+100
=101X100吃
=5050
“3+5+7++97+99=?
3+5+7++97+99
+）99+97+95++5+3
102+102+102++102+102
49个
3+5+7+……+97+99=（99+3）>49吃=2499。
这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。
张丘建利用
这一思路巧妙地解答了有女不善织”这一名题：
今有女子不善织，日减功，迟。
初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。
问
织几何？
”
题目的意思是：
有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。
她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。
问她一共织了多少布？
张丘建在《算经》上给出的解法是：
“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。
”“答曰：
二匹一丈”。
这一解法，用现代的算式表达，就是
1匹=4丈，1丈=10尺，
90尺=9丈=2匹1丈。
张丘建这一解法的思路，据推测为：
如果把这妇女从第一天直到第30天所织的
布都加起来，算式就是：
5++1
在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。
若把这个式子反过来，则算式便是：
1++5
此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。
同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用对应的数相加和会相等”
这一特点，那么，就会出现下面的式子：
5++1
+）1++5
6+6+6++6+6
所以，加得的结果是6X30=180（尺）
但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。
所以，这妇女30天织的布是
180吃=90（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
第三讲常用巧算速算中的思维与方法
（2）
方法一：
分组计算
一些看似很难计算的题目，采用分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。
例如：
求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。
这道题是求“10乙个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”什么是数字之和”例如，求1到12这12个自然数的数字之和，算式是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+1+2=51。
显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。
怎么办呢？
我们不妨在这10亿个自然数的
前面添上一个“0”改变数字的个数，但不会改变计算的结果。
然后，将它们分组：
0和999，999,999;1和999，999，998;
2和999，999,997;3和999，999，996;
4和999，999,995;5和999，999，994;
依次类推，可知除最后一个数，1，000,000,000以外，其他的自然数与添上的0共10亿个数，共可以分为5亿组，各组数字之和都是81,如
0+9+9+9+9+9+9+9+9+9=81
1+9+9+9+9+9+9+9+9+8=81
最后的一个数1,000,000,000不成对，它的数字之和是1。
所以，此题的计
算结口果是
（81X500,000,000）+1
=40,500,000,000+1
=40,500,000,001
方法二：
由小推大
计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。
例如：
（1）计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100X10的大方阵，数目很多，关系较为复杂。
不妨先化大为小，再由小推大。
先观察“5X的方阵，如下图（图4.1）所示。
容易看到，对角线上五个“5之和为25。
这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。
所以，“5X方阵的所有数之和为25X5=125，即53=125。
于是，很容易推出大的数阵“100X10的方阵所有数之和为1003=1,000,000。
（2）把自然数中的偶数，像图4.3那样排成五列。
最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。
那么2002出现在哪一列：
因为从2到2002,共有偶数2002吃=1001（个）。
从前到后，是每8个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。
所以，由1001-8=1251,
可知这1001个偶数可以分为125组，还余1个。
故2002应排在第二列。
方法三：
凑整巧算
用凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。
例如
（1）99.9+11.1=（90+10）+（9+1）+（0.9+0.1）=111
（2）9+97+998+6=（9+1）+（97+3）+（998+2）=10+100+1000
=1110
（3）125+125+125+125+120+125+125+125
=155+125+125+125+（120+5）+125+125+125-5=125X8-5
=1000-5
=995
第四讲常用巧算速算中的思维与方法（3）
方法一：
巧妙试商
除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。
（1）用商五法”试商。
当除数（两位数）的10倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商
“5”女口70^14=5，125吃5=5。
当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用无除半商五”。
无除”指被除数前两位不够除，半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“5。
例如1248吃4=52,2385詔5=53
（2）同头无除商八、九。
同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。
无除”仍指被除数前两位不够除。
这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8或商9
5742^8=99,4176岂8=87。
（3）用商九法”试商。
当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除
数之和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为“9”
一般地说，假如被除数为m,除数为n,只有当9nWm<10n时，n除m的商才是9。
同样地，10nWm+nv11n。
这就是我们上述做法的根据。
例如4508詔9=92,6480£2=90。
（4）用差数试商。
当除数是11、12、1318和19,被除数前两位又不够除的时候，可以用
差数试商法”即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。
若差数是1或2,则初商为9;差数是3或4,则初商为8;差数是5或6,则初商为7;差数是7或8,则初商是6;差数是9时，则初商为5。
若不准确，只要调小1就行了。
例如
1476勻8=82（18与14差4,初商为8,经试除，商8正确）；
1278勻7=75（17与12的差为5,初商为7,经试除，商7正确）。
为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：
差一差二商个九，差三差四八当头；
差五差六初商七，差七差八先商六；|
差数是九五上阵，试商快速无忧愁。
方法二：
恒等变形
恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。
它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。
例如
（1）1832+68=（1832-32）+（68+32）
=1800+100=1900
（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）=359.8-10
=349.8
第五讲常用巧算速算中的思维与方法（4）
方法一：
拆数加减
在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。
（1）拆成两个分数相减。
例如
111一卡—+—+
）1111
一卡一+——+_十__
+丄
2612
2030425672
50
11
111
1
1
1
1
—十
十十十
丄
+
-jk
1X2'2X3
3X4^4X5'5X6
6X77X3
8X
9
9X10
11
11111
1
11
1
1
111
-
（一）+（-
T勺4;F空
七-
T*（一一
6J‘6
T'
7
2Sy
J1、
+C9
111
111111
1
111
1
1
1
=1一一十一一一
■—
223
445566
7
788
9
g
10
iy
盂I■■---=
1010
又如
11111
一+—+—4-——+——
315356399
11f1t1（1
°1X3+3X5+5X7+7X9+9X11
lv/111111111
233557799
冷X（冷
1105
211H
（2）拆成两个分数相加。
例如
15791113
2612203042
35791113
IX22X33X44X55Xg6x7
=（i4）_4+l）+l+r44）+44^44）11111111111
—k—H—+—H22334455667
=丄」
=1_7=7
又如
18121620
315356399
.111111111
・（1打）・（亍打"（£+〒-（尹卫十（沪抒
11111111I
3355779911
方法二：
同分子分数加减
同分子分数的加减法，有以下的计算规律：
分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分
母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。
分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数例如
22（5+7）X2_24
5+75X735
66（11-7）X624
77XH~-77
55（8-6）X5105
686X24824
（注意：
分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。
）
»n2266、
又如5+7_（7^^
（5+7）X2（11*7）X6
5X7（7衣11'
2424
=35^77
（77-35）X24
35X77~
_42X24
"35X77
_6X24
~35X11
144
=385
由上面的规律还可以推出，当分子都是1分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积，
nn+1nn+1
根据这一关系，我们也可以简化运算过程。
例如
1]2117
-）xly-yx-x弓（交叉约分略）
=丄
"40
方法二：
先借后还
先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。
例如
做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。
现在从凑整”着眼,采用先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。
方法一：
个数折半
下面的几种情况下，可以运用个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。
（1）分母相同的所有真分数相加。
求分母相同的所有真分数的和，可采用个数折半法”即用这些分数的个数除以2,就能得出结果。
比方|+|+|+|=2=2
这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2,就能得出结果。
（2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用个数折半法求得数。
比方
1357、、
—+—+—+——42™2
8888
13579…J
——4-—d+-—+—=2=2—
10W1010102
（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用个数折半法”求得数。
比万
方法二：
带分数减法
带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。
（1）减数凑整。
例如
=2—
（2）交换位置。
例如
在这两种方法中，第
（1）种凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去例如
O111nll1J1
1241212412
11
-9+3
412
31
=12
1212
-124
第七讲常用巧算速算中的思维与方法（6）
方法一：
带分数乘法
有些特殊的带分数相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。
（1）相乘的两个带分数整数部分相同，分数部分的和是1，则乘积也是个带分数，它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1的数，分数部分是两个因数的分数部分的乘积。
例如
6^X6|-6X（6+[）+护|）
gjxs--8X（3+l）+jx
883
（2）相乘的两个带分数整数部分相差1，分数部分和为1，则积也是个带分数,它用较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方，所得的差就是这两个带分数的乘积。
例如
（3）
34a
3_x4-=4^77
4?
16
33
=16-—=
49
15«
153
12
1
35
g_X7-=82
66
6336
（注：
这是根据“（a+b）（a-b）
=a2-b2”推出来的。
）
相乘的两个带分数，整数部分都是1,分子也都是1,分母相差1,则乘积也是个带分数。
这个带分数的整数部分是1,分子是2,分母与较大因数的分母相同。
例如
11?
〔注：
这艰因为当观为自然数时,-的錄故。
它的推导请aa+1a
读者自己去试一试，此处略）
方法二：
两分数相除
有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：
（1）分子、分母分别相除。
在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：
用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。
不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。
例如
15515^53
1
24'8~24^8~3~
3135535^57
]32=32"^4=32^7=8
（2）分母相除，一次得商。
在两个带分数相除的算式中，当被除数和除数的整
数与分母调换了位置，而它们的分子又相同时，根据分数除法法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母，所得的数就是它们的商。
例如
556
打厂％七亠一丐
（注：
用除法法则可以推出这种方法，此处略。
）
第八讲小数的速算与巧算
【知识精要】
凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。
用的时候主要看末位。
但是小
数计算中小数点”一定要对齐。
【例题精讲】
<一>凑整法
例1、计算5.6+2.38+4.4+0.62=
【分析】5.6与4.4刚好凑成10,2.38与0.62刚好凑成3,这样先凑整运算起来会更加简便。
【解答】原式=（5.6+4.4）+（2.38+0.62）
=10+3
=13
【评注】凑整，特别是凑十”、凑百”等，是加减法速算的重要方法。
例2、计算:
1.999+19.99+199.9+1999
【分析】因为小数计算起来容易出错。
刚好1999接近整千数2000,其余各加数
看做与它接近的容易计算的整数。
再把多加的那部分减去
【解答】1.999+19.99+199.9+1999
=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.111
=2220.889
【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以引申为读整法，譬如此题。
“1.999刚好与“2相差0.001，因此我们就可以先把它读成“2来进行计算。
但是，一定要记住刚才多加的”要减掉”。
多减的”要加上”！
第九讲|乘法速算1
一•前数相同的：
1.1.十位是1,个位互补，即A=C=1,B+D=10,S=（10+B+D）X10+AXB
方法：
百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：
13X17
13+7=2--（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
3X7=21
221
即13X17=221
1.2.十位是1,个位不互补，即A=C=1,B+D工10,S=（10+B+D）X10+AXB方法：
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：
15X17
15+7=22-（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
5X7=35
即15X17=255
1.3.十位相同，个位互补，即A=C,B+D=10,S=AX（A+1）X10+AXB方法:
十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数
为后积
例：
56X54
（5+1）X5=30--
6X4=24
3024
1.4.十位相同，个位不互补，即A=C,B+D工10,S=AX（A+1）X10+AXB
方法:
先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然
例：
67X64
（6+1）X6=42
7X4=28
7+4=11
11-10=1
4228+60=4288
4288
方法2：
两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
例：
67X64
6X6=36--
（4+7）X6=66-
4X7=28
4288
第十讲乘法速算2
、后数相同的：
2.1.个位是1,十位互补即B=D=1,A+C=10S=10AX10C+101
方法：
十位与十位相乘，得数为前积，加上101.0
--8X2=16--
101
1701
2.2.＜不是很简便＞个位是1，十位不互补即B=D=1,A+C工10S=10AX10C+10C+10A+1
方法：
十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.0
例：
71X91
70X90=63--
70+90=16-
1
6461
2.3个位是5,十位互补即B=D=5,A+C=10S=10AX10C+25
方法：
十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上25o
例：
35X75
3X7+5=26--
25
2625
2.4＜不是很简便＞个位是5,十位不互补即B=D=5,A+C工10S=10AX
10C+525
方法：
两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积
例:
75X95
7X9=63--
（7+9）X5=80-
25
7125
2.5.个位相同，十位互补即B=D,A+C=10S=10AX10C+B100+B2方法：
十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方。
例：
86X26
8X2+6=22--
36
2236
2.6.个位相同，十位非互补
方法：
十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比10大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然
例：
73X43
7X4+3=31
9
7+4=11
3109+30=3139
3139
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