湖北省武汉市中考数学模拟试题含答案.docx

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湖北省武汉市中考数学模拟试题含答案

2020年湖北省武汉市中考数学模拟试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）

1．方程x2＝4的解是（　　）

A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝±2D．没有实数根

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．袋中有形状、大小、质地完全一样的3个红球和2个白球，下列说法正确的是（　　）

A．从中随机抽出一个球，一定是红球

B．从袋中抽出一个球后，再从袋中抽出一个球，出现红球或白球的概率一样大

C．从袋中随机抽出2个球，出现都是红球的概率为

D．从袋中抽出2个球，出现颜色不同的球的概率是

4．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）

A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）

5．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝20°，则∠B的度数是（　　）

A．20°B．25°C．30°D．35°

7．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线

l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相离B．相切C．相交D．无法判断

8．已知圆锥的侧面积为10

πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（　　）

A．100cmB．

cmC．10cmD．

cm

9．抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1与x轴交于A，B两点，C（x1，m）和D（x2，n）也是抛物线上的点，且x1＜2＜x2，x1+x2＜4，则下列判断正确的是（　　）

A．m＜nB．m≤nC．m＞nD．m≥n

10．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（满分18分，每小题3分）

11．已知平面直角坐标系上的三个点D（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0）．将△ABD绕点D旋转180°，则点A、B的对应点A、B的坐标分别是A1　　，B1　　

12．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G都是格点，从A，B，C，D，E，F五个点中任意取一点，以所取点及G、E为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是　　．

13．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为　　．

14

．将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位后的解析式为　　．

15．如图，⊙P的半径为10，

A、B是圆上任意两点，且AB＝12，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为　　．

16．已知抛物线y＝x2+2kx﹣6与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x＝2的两侧，则k的取值范围是　　．

三．解答题（共8小题，满分72分）

17．（8分）已知：

关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．

（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2019的值．

18．（8分）有6张看上去无

差别的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5、6

（1）一次性随机抽取2张卡片，用列表或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数”的概率

（2）随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，直接写出“第二次取出的数字小于第一次取出的数字”的概率．

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知线段OA，点A（3，4）．

（1）将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OA'，画出线段OA'．

（2）直接写出点A'的坐标．

20．（8分）一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．

21．（8分）AE为⊙O的直径，D为

的中点，过E点的切线交AD的延长线于F．

（1）求证：

∠AEB＝2∠F；

（2）若AD＝2，DF＝4，求BE的长．

22．（10分）某水果商店以5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用

（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？

（2）在销售过科中，商店发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系m＝﹣10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？

（3）该商店决定每销售一千克水果就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销侮价格大于每千克11元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．

23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是　　，∠MPN的度数是　　；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝8，请直接写出△PMN面积的取值范围．

24．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求出C、D两点的坐标

（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．

参考答案

一．选择题

1．解：

∵x2＝4，

∴x＝±2，

故选：

C．

2．解：

第一个图是轴对称图形，是中心对称图形；

第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；

第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；

第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；

既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，

故选：

B．

3．解：

A．从中随机抽出一个球，不一定是红球，故此选项不合题意；

B

．从袋中抽出一个球后，再从袋中抽出一个球，出现红球或白球的概率不相同，故此选项不合题意；

C．从袋中随机抽出2个球，出现都是红球的概率为

，故此选项不合题意；

D．从袋中抽出2个球，出现颜色不同的球的概率是

，故此选项符合题意；

故选：

D．

4．解：

y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．

故选：

A．

5．解：

∵有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，

∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是

；

故选：

B．

6．解：

连接AC，

根据切线的性质定理得AB⊥AP，

∴∠AOP＝70°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝55°；

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝35°．

故选：

D．

7．解：

∵x2﹣3x﹣4＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝4，

∵⊙O的半径为一元二次方程3x﹣4＝0的根，

∴r＝，4，

∵d＞r

∴直线l与⊙O的位置关系是相离，

故选：

A．

8．解：

设母线长为R，圆锥的侧面积＝

＝10π，

∴R＝10cm

故选：

C．

9．解：

∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣1＝a（x﹣2）2﹣1，

∴此抛物线对称轴为x＝2，

∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1与x轴交于A，B两点，

∴当ax2﹣4ax+4a﹣1＝0时，△＝（﹣4a）2﹣4a×（4a﹣1）＞0，得a＞0，

∵x1＜2＜x2，x1+x2＜4，

∴2﹣x1＞x2﹣2，

∴m＞n，

故选：

C．

10．【解

答】解：

作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．

根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．

故选：

D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．解：

旋转180°后，各对应点将关于原点对称，

∴A1（1，﹣1），B1（1，0）．

12．解：

∵从A，B，C，D，E，F五个点中任意取一点共有5种情况，其中G、E、F；G、E、A两种取法，可使这三定组成等腰三角形，

∴所画三角形时等腰三角形的概率是

，

故答案为：

．

13．解：

设镜框的宽度为xcm，

依题意，得：

21×10＝4[（21+2x）（10+2x）﹣21×10]，

整理，得：

8x2+124x﹣105＝0．

故答案为：

8x2+124x﹣10

5＝0．

14．解：

∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，

∴抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），

将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位后的顶点坐标为（0，﹣1），

∴所得新抛物线的函数解析式是y＝x2﹣1．

故答案为y＝x2﹣1．

15．解：

连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，如图所示．

∵AB是⊙P上一弦，且PE⊥AB，

∴AE＝BE＝

AB＝6，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAE＝∠ADF＝∠DFE＝9

0°，

∴四边形AEFD是矩形，

∴DF＝AE＝6，

∵若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环．

∴S＝π•PD2﹣πPF2＝π（PD2﹣PF2）＝πDF2＝36π，

故答案为：

36π．

16．解：

∵y＝x2+2kx﹣6与x轴有两个交点，两个交点分别在直线x＝2的两侧，

∴当x＝2时，y＜0．

∴4+4k﹣6＜0

解得：

k＜

；

∴k的取值范围是k

，

故答案为：

k

．

三．解答题（共8小题，满分72分）

17．解：

（1）∵△＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）

＝4k2﹣4k2+4

＝4＞0，

∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）把x＝3代入x2+2kx+k2﹣1＝0得9+6k+k2﹣1＝0，

∴k2+6k＝﹣8，

∴2k2+12k+2019＝2（k2+6k）+2019＝﹣16+2019＝2003．

18．解：

（1）依题意列表如下：

1

2

3

4

5

6

1

2，1

3，1

4，1

5，1

6，1

2

1，2

3，2

4，2

5，2

6，2

3

1，3

2，3

4，3

5，3

6，3

4

1，4

2，4

3，4

5，4

6，4

5

1，5

2，5

3，5

4，5

6，5

6

1，6

2，6

3，6

4，6

5，6

由上表可知，随机抽取2张卡片可能出现的结果有15个，它们出现的可能性相等，其中“两张卡片上的数都是偶数”的结果有3个，

所以P（两张卡片上的数都是偶数）＝

；

（2）画树形图得：

随机抽取2张卡片可能出现的结果有36个，第二次取出的数字小于第一次取出的数字有15种，所以其概率＝

＝

．

19．解：

（1）如图，线段OA'为所作；

′

（2）点A'的坐标为（﹣4，3）．

20．解：

设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，根据题意得：

500（1﹣x）（1﹣2x）＝240，

解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.3＝130%．

则第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%．

21．证明：

（1）如图1，连接ED，

∵

D为

的中点，

∴

＝

，

∴∠AED＝∠BED，

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∴∠A+∠AED＝90°，

∵EF为⊙O的切线，

∴AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°，

∴∠A+∠F＝90°，

∴∠AED＝∠F，

∵∠AEB＝∠AED+∠BED＝2∠AED，

∴∠AEB＝2∠F；

（2）如图2，

∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠AEF＝90°，

∴△ADE∽△AEF，

∴

，

∵AD＝2，DF＝4，

∴

，

∴AE＝±

2

，

∴AE＝2

，

∴AO＝

，

连接AB、OD，AB、OD交于点G，

∵D

为

的中点，

∴OD⊥AB，

∴AG＝BG，

∵AO＝OE，

∴OG＝

BE，

设OG＝x，则GD＝

﹣x，

由勾股定理得：

AO2﹣OG2＝AD2﹣GD2，

则

，

解得：

x＝

，

∴OG＝

，

∴BE＝2OG＝

．

22．解：

（1）设购进水果k千克，水果售价定为y元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得

y•k（1﹣5%）≥（5+0.7）k，

由k＞0可解得：

y≥6，

所以，水果商要把水果售价至少定为6元/千克才不会亏本．

（2）由

（1）可知，每千克水果的平均成本为6元，由题意得

w＝（x﹣6））m

＝（x﹣6）（﹣10x+120）

＝﹣10（x﹣9）2+90

因此，当x＝9时，w有最大值．

所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．

（3）设扣除捐赠后的利润为P，

则P＝（x﹣6﹣a）（﹣10x+120）＝﹣10x2+（10a+180）x﹣120（a+6），

抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣

＝

，

∵销售价格大于每千克11元时，扣除捐赠后每天的利润P随x增大而减小，

∴

≤11，解得：

a≤4，

故1≤a≤4．

23．解：

（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PN＝

BD，

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PM＝

CE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE，

∴PM＝PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCA，

∵∠BAC＝120°，

∴∠ADC+∠ACD＝60°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝60°，

故答案为：

PM＝PN，60°；

（2）△PMN是等腰直角三角形．

由旋转知，∠BAD＝

∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

利用三角形的中位线得，PN＝

BD，PM＝

CE，

∴PM＝PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同

（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCE，

同

（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC＝∠DBC，

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC＝120°，

∴∠ACB+∠ABC＝60°，

∴∠MPN＝60°，

∴△PMN是等边三角形；

（3）由

（2）知，△PMN是等边三角形，PM＝PN＝

BD，

∴PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小

∴点D在BA的延长线上，△PMN的面积最大，

∴BD＝AB+AD＝12，

∴PM＝6，

∴S△PMN最大＝

PM2＝

×62＝9

，

当点D在线段AB上时，△PMN的面积最小，

∴BD＝AB﹣AD＝4，

∴PM＝2，

S△PMN最小＝

PM2＝

×22＝

，

∴

≤S△PMN≤9

．

24．解：

（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入

y＝ax2+bx﹣3可得

解得

∴y＝x

2﹣2x﹣3

（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）

设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入

解得

∴y＝﹣x﹣1

∴D（0，﹣1）

（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）

∴P点纵坐标为﹣2，

∴x2﹣2x﹣3＝﹣2

解得：

x＝1±

，∵x＞0∴x＝1+

．

∴P（1+

，﹣2）