第8章 第3节.docx

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第8章第3节

第八章　第三节

一、选择题

1．下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

[答案]　A

[解析]　由空间几何中的公理可知，仅有A不是公理，其余皆为公理．

2．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）

A．点AB．点B

C．点C但不过点MD．点C和点M

[答案]　D

[解析]　∵ABγ，M∈AB，∴M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上．

3．设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

[答案]　B

[解析]　A选项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C选项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或lβ，D选项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．

4．（文）已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b（　　）

A．一定是异面直线B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线

[答案]　C

[解析]　a、b是异面直线，直线c∥直线A．因而c不与b平行，否则，若c∥b，则a∥b，与已知矛盾，因而c不与b平行．

（理）给出下列命题：

①和一条直线都相交的两条直线在同一个平面内；

②三条两两相交的直线在同一个平面内；

③有三个不同公共点的两个平面重合；

④两两平行的三条直线确定三个平面．

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

[答案]　A

[解析]　对于①两条直线可以异面；

对于②三条直线若交于一点，则可以异面；

对于③这三点若共线，则两平面可以相交；

对于④两两平行的三条直线也可以在三个平面．

5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β

B．若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线

C．若α∩β＝m，n∥m，且n⃘α，n⃘β，则n∥α且n∥β

D．若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α

[答案]　C

[解析]　∵n∥m，mα，n⃘α，

∴n∥α，同理有n∥β，故C正确．

6．（文）已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；

②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；

④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是（　　）

A．①②③B．①③

C．②③D．①②③④

[分析]　本题是研究直线与平面的平行与垂直关系的问题，解答时注意选择合适的图形来说明，还要能举出反例．

[答案]　C

[解析]　①错误，三个平面可以两两相交且交线互相平行；④错误，a，b相交时结论才成立．

（理）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于（　　）

A．

　B．

C．

　D．

[答案]　B

[解析]　取C1D1的中点G，连OG，GE，易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或所成角的补角．

在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE＝

＝

＝

.

二、填空题

7．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

[答案]　1或4

[解析]　若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．

8．（文）已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：

①两条平行直线；

②两条互相垂直的直线；

③同一条直线；

④一条直线及其外一点．

在上面结论中，正确结论的编号是________（写出所有正确结论的编号）．

[答案]　①②④

[解析]　只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．

（理）对于空间三条直线，有下列四个条件：

①三条直线两两相交且不共点；

②三条直线两两平行；

③三条直线共点；

④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．

其中，使三条直线共面的充分条件有________．

[答案]　①④

[解析]　①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内；

②中可有线和平面平行；

③中直线最多可确定3个平面；

④同①.

9．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．

[答案]　（0，

）

[解析]　如图①所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点共面时，AC＝

，如图②，故AC的取值范围是0

.

三、解答题

10．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：

（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？

（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？

（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？

[分析]　四边形是平行四边形、矩形、正方形，首先转化为线线平行问题，而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.

[解析]　本题是一个开放性问题．

（1）E、F、G、H为所在边的中点时，四边形EFGH为平行四边形．证明如下：

∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，且EH＝

BD．

同理，FG∥BD，且FG＝

BD，从而EH∥FG，且EH＝FG，

所以四边形EFGH为平行四边形．

一般地

＝

＝

＝

时四边形EFGH为平行四边形．

（2）

＝

＝

＝

且BD⊥AC时，四边形EFGH为矩形．

（3）当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．

[点评]　上述答案并不唯一，如当AEAB＝AHAD＝CFCB＝CGCD时，四边形EFGH也为平行四边形.

一、选择题

1．（文）对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（　　）

A．aα，bαB．aα，b∥α

C．a⊥α，b⊥αD．aα，b⊥α

[答案]　B

[解析]　a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B．

（理）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确的是（　　）

A．①②B．③④

C．②③D．①③

[答案]　D

[解析]　如图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，故选D．

2．（文）如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2（　　）

A．互相平行

B．异面且互相垂直

C．异面且夹角为

D．相交且夹角为

[答案]　D

[解析]　将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连接AD，△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为

.故选D．

（理）（2014·安徽高考）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（　　）

A．24对B．30对

C．48对D．60对

[答案]　C

[解析]　解法1：

先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C，BC1，C1D，CD1，A1D，AD1，A1B，AB1共8条，同理与BD成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次（例如计算与AC成60°角时，有AD1，计算与AD1成60°角时有AC，故AD1与AC这一对被计算了2次），因此共有

×96＝48对．

解法2：

间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C

种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C

－6－12＝48对．

二、填空题

3．已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则MN________

（AC＋BD）（填“>”，“<”或“＝”）．

[答案]　<

[解析]　如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD，取AD的中点为G，再连接MG、NG，在△ABD中，M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且MG＝

BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝

AC，又根据三角形的三边关系知，MN

BD＋

AC＝

（AC＋BD）．

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：

①直线AM与直线C1C相交；

②直线AM与直线BN平行；

③直线AM与直线DD1异面；

④直线BN与直线MB1异面．

其中正确结论的序号为________．（注意：

把你认为正确的结论序号都填上）

[答案]　③④

[解析]　AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．

三、解答题

5．已知四棱锥P－ABCD以及其三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．

（1）求此四棱锥的体积；

（2）若E是PD的中点，求证：

AE⊥平面PCD；

（3）在

（2）的条件下，若F是PC的中点，证明：

直线AE和直线BF既不平行也不异面．

[解析]　

（1）由题意可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，高h＝2，所以此四棱锥的体积V＝

S·h＝

×4×2＝

.

（2）由三视图可知，PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．

又PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

∵AE平面PAD，∴AE⊥CD．

∵△PAD是等腰直角三角形，E是PD的中点，

∴AE⊥PD．

又PD∩CD＝D，PD平面PCD，CD平面PCD，

∴AE⊥平面PCD．

（3）∵E，F分别是PD，PC的中点，

∴EF∥CD且EF＝

CD，

又∵CD∥AB且CD＝AB，∴EF∥AB且EF＝

AB．

∴四边形ABEF为梯形，AE，BF是梯形的两腰，

∴AE与BF所在的直线必相交．

即直线AE和直线BF既不平行也不异面．

6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2

，∠PAB＝60°.M是PD的中点．

（1）证明：

PB∥平面MAC；

（2）证明：

平面PAB⊥平面ABCD；

（3）求四棱锥P－ABCD的体积．

[解析]　

（1）证明：

连接OM.

∵M是PD中点，矩形ABCD中O为BD中点，

∴OM∥PB．

又OM平面MAC，PB⃘平面MAC，

∴PB∥平面MAC．

（2