高考数学文科一轮复习 第42讲直线 平面垂直的判定与性质.docx

高考数学文科一轮复习 第42讲直线 平面垂直的判定与性质.docx

《高考数学文科一轮复习 第42讲直线 平面垂直的判定与性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学文科一轮复习 第42讲直线 平面垂直的判定与性质.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学文科一轮复习第42讲直线平面垂直的判定与性质

听课手册第42讲　直线平面垂直的判定与性质

1.直线与平面垂直

（1）定义:

如果直线l与平面α内的　　　　　　都垂直,就称直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的　　　　,平面α叫作直线l的　　　　. 

（2）直线与平面垂直的判定与性质

类别

语言表述

图形表示

符号语言

应用

判定

根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线

b是平面α内任意一条直线,a⊥b⇒a⊥α

证明直线和平面垂直

一条直线与一个平面内的　　　　　　　　都垂直,则该直线与此平面垂直 

⇒l⊥α

如果两条平行直线中的　　　垂直于一个平面,那么　　　也垂直于同一个平面 

⇒b⊥α

性质

如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的　　　　　　都垂直 

⇒a⊥b

证明两条直线垂直

垂直于同一个　　　的两条直线平行 

⇒a∥b

证明两条直线平行

2.两个平面垂直

（1）定义:

两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　　　,就说这两个平面互相垂直. 

（2）两个平面垂直的判定和性质

类别

语言表述

图形表示

符号表示

应用

判定

根据定义,证明两平面所成的二面角是　　　　　 

∠AOB是二面角α-l-β的平面角,且　　　　,则α⊥β 

证明两个平面垂直

如果一个平面经过另一个平面的一条　　　　,那么这两个平面互相垂直 

⇒α⊥β

性质

如果两个平面垂直,那么它们所成　　　　　　　　是直角 

α⊥β,∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则　　　　　 

证明两条直线垂直

如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们　　　的直线垂直于　　　　　　 

⇒l⊥α

证明直线与平面垂直

常用结论

1.与线面垂直相关的两个常用结论:

（1）两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直;

（2）一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直.

2.三种垂直关系的转化:

线线垂直

线面垂直

面面垂直

题组一　常识题

1.[教材改编]已知两条直线a,b和平面α,且a⊥α,b∥α,则a与b的位置关系为　　　　. 

2.[教材改编]一条直线和一个三角形的两边同时垂直,则这条直线和这个三角形的第三边的位置关系是　　　　. 

3.[教材改编]若PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则所形成的平面中一定互相垂直的平面有　　　　对. 

4.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.

（1）若PA=PB=PC,则点O是△ABC的　　　　心; 

（2）若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的　　　　心. 

题组二　常错题

◆索引:

证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件;面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直;注意排除由平面到空间的思维定式的影响.

5.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下列给出的条件中:

①α⊥β且m⊂α;②α⊥β且m∥α;③m∥n且n⊥β;④m⊥n且α∥β.一定能推出m⊥β的是　　　　.（填序号） 

6.如图7-42-1,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC和△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有　　　　;与AP垂直的直线有　　　　. 

图7-42-1

图7-42-2

7.如图7-42-2所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=

a,则它的5个面中,互相垂直的面有　　　　对. 

图7-42-3

8.如图7-42-3所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足　　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 

探究点一　垂直关系的基本问题

例1

（1）[2017·全国卷Ⅲ]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则（　　）

A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD

C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC

（2）[2018·辽宁丹东质检]若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是（　　）

A.若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n

B.若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n

C.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n

D.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m∥n

[总结反思]解决空间中线面、面面垂直的基本问题有以下几种方法:

（1）依据定理得出结论;

（2）可结合符合题意的图形作出判断;（3）否定命题时只需举一个反例.

变式题

（1）[2018·辽宁抚顺模拟]给出下列四个说法:

①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行,那么a∥α;

②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直;

③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直;

④若两个相交平面都垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.

其中正确说法的个数为（　　）

A.1B.2

C.3D.4

（2）[2018·安徽合肥三模]若l,m为两条不同的直线,α为平面,且l⊥α,则“m∥α”是“m⊥l”的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

探究点二　线面垂直的判定与性质

例2[2018·安徽江淮十校三联]如图7-42-4,在四棱锥A-BCDE中,EB∥DC,且EB⊥平面ABC,EB=1,DC=BC=AB=AC=2,F是棱AD的中点.

（1）证明:

EF⊥平面ACD;

（2）求三棱锥D-ACE的体积.

图7-42-4

[总结反思]

（1）解决直线与平面垂直问题的常用方法:

①利用线面垂直的定义;②利用线面垂直的判定定理;③利用线面垂直的性质;④利用面面平行的性质;⑤利用面面垂直的性质定理.

（2）求体积,常用方法:

（a）割补法;（b）转化法;（c）换底法.在立体几何图形中,四面体和平行六面体是可以换底的.

变式题如图7-42-5所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形ABC是等腰直角三角形,且斜边AB=

侧棱AA1=2,D为AB的中点,点E在线段AA1上,AE=λAA1（λ为实数）.

（1）求证:

不论λ取何值,恒有CD⊥B1E;

（2）当λ=

时,求多面体C1BECD的体积.

图7-42-5

探究点三　面面垂直的判定与性质

例3[2018·全国卷Ⅰ]如图7-42-6所示,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.

（1）证明:

平面ACD⊥平面ABC;

（2）Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=

DA,求三棱锥Q-ABP的体积.

图7-42-6

[总结反思]

（1）利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是:

先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线应有理论根据并有利于证明.

（2）证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现.

变式题[2018·贵州凯里一中月考]如图7-42-7所示,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是边长为

的正方形,PB=PD=3

PC=4.

（1）求证:

平面PBC⊥平面ABCD;

（2）若E为PA的中点,求三棱锥P-BDE的体积.

图7-42-7

完成课时作业（四十二）