最新人教版八年级数学上册 第十四章《公式法》教案1.docx

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最新人教版八年级数学上册第十四章《公式法》教案1

15.4.2　公式法

教学目标

1．认识平方差公式与完全平方公式的特点．

2．会运用平方差公式和完全平方公式分解因式．

3．知道因式分解应把多项式的每一个因式都分解到不能再分解为止．

4．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．

教学重难点

应用公式法分解因式是重点，灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准是难点．

教学过程

导入新课

〈方式1〉

问题：

在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一边长为7.25cm的小正方形，那么剩下部分的面积是多少？

结果：

12.752－7.252　　　　→联想到a2－b2＝

＝（12.75＋7.25）（12.75－7.25）　（a＋b）（a－b）

＝20×5.5＝110（cm2）．

〈方式2〉

问题导入：

问题1：

你能叙述多项式因式分解的定义吗？

多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．

问题2：

运用提公因式法分解因式的第一步是什么？

提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．

问题3：

你能将a2－b2分解因式吗？

要将a2－b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式a2－b2＝（a＋b）（a－b）．

多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用公式法分解因式．

推进新课

【活动一】利用平方差公式分解因式

问题：

（1）你能将12.752－7.252分解成乘积的形式吗？

（2）你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？

这两个多项式有什么共同特点？

你会想到什么公式？

总结：

它们有两项，且都是两个数的平方差，会联想到平方差公式，逆向应用平方差公式即可将它们因式分解．

由（x＋2）（x－2）＝x2－4，得x2－4＝（x＋2）（x－2）；

由（y＋5）（y－5）＝y2－25，得y2－25＝（y＋5）（y－5）．

归纳：

把整式乘法的平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2反过来，就得到因式分解的平方差公式

a2－b2＝（a＋b）（a－b）.

即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．

注意和整式乘法里的平方差公式的区别．

【活动二】应用公式，巩固夯实

如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．

【例1】下列多项式能否用平方差公式来分解因式？

（1）a2＋y2（不能）；

（2）m2－n2（能）；

（3）－a2＋b2（能）；（4）－a2－b2（不能）．

【例2】把下列各式分解因式：

（1）4x2－9；

（2）（x＋p）2－（x＋q）2.

分析、解答略．

明确：

①平方差公式中a，b可以表示任何一个单项式或多项式．

②若给出多项式的两部分不具备明显的平方差关系，需尝试转化为a2－b2的形式．

【活动三】综合运用因式分解的方法分解因式

【例3】把下列各式分解因式：

（1）x4－y4；

（2）a3b－aB．

分析：

（1）x4－y4可以写成（x2）2－（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解；

（2）a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．

解：

略．

点拨：

因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．

【例4】利用平方差公式计算：

25×1012－992×25.

解：

略．

【活动四】利用完全平方公式分解因式

问题：

你能将多项式a2＋2ab＋b2与多项式a2－2ab＋b2分解因式吗？

这两个多项式有什么共同特点？

你会想到什么公式？

总结：

它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍，则恰好是两个数的和或差的平方，我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式．

利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．

归纳：

把整式乘法的完全平方公式

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，

（a－b）2＝a2－2ab＋b2

反过来，就得到因式分解的完全平方公式

a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，

a2－2ab＋b2＝（a－b）2.

即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

公式中的字母a，b可以表示一个数或一个单项式或一个多项式．

【例5】下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a＋4；

（2）x2＋4x＋4y2；

（3）4a2＋2ab＋

b2；（4）a2－ab＋b2；

（5）x2－6x－9；（6）a2＋a＋0.25.

解：

略．

【活动五】应用公式，巩固夯实

如果多项式是完全平方式，那么这个多项式就可以运用完全平方公式分解因式．

【例6】分解因式：

（1）16x2＋24x＋9；

（2）－x2＋4xy－4y2.

解：

略．

点拨：

两个平方式都含负号，要提负号，再转化为完全平方式．

【活动六】分解因式的综合运用及换元法思想

【例7】把下列各式分解因式：

（1）3ax2＋6axy＋3ay2；

（2）（a＋b）2－12（a＋b）＋36.

解：

略．

本课小结

1．利用公式法分解因式．

2．分解因式一般先观察有无公因式，如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式；如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．

3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止．

因式分解学以致用

因式分解是整式的一种重要的恒等变形，在解题中有着广泛的应用，借助因式分解可解决计算、求值、说理等多方面的问题．

一、用于求值

【例1】已知a＝

m＋1，b＝

m＋2，c＝m＋4.求a2＋2ab＋b2－2c（a＋b）＋c2的值．

分析：

根据已知条件，可得a＋b－c＝－1，再观察待求式可以变换为（a＋b－c）2，将a＋b－c＝－1整体代入即可．

解：

a2＋2ab＋b2－2c（a＋b）＋c2＝（a＋b）2－2（a＋b）c＋c2＝（a＋b－c）2.

因为a＋b－c＝

m＋1＋

m＋2－m－4＝－1，

所以a2＋2ab＋b2－2c（a＋b）＋c2＝（－1）2＝1.

二、用于说理

【例2】已知a，b，c为不相等的有理数，且（a－c）2－4（a－b）（b－c）＝0，试说明2b＝a＋C．

分析：

要说明2b＝a＋c，由已知条件，可将（a－c）2－4（a－b）（b－c）进行变形，得到（2b－a－c）2＝0.

解：

由已知，得（a－b＋b－c）2－4（a－b）（b－c）＝0，

则（a－b）2＋2（a－b）（b－c）＋（b－c）2－4（a－b）（b－c）＝0.

所以（a－b）2－2（a－b）（b－c）＋（b－c）2＝0.

则[（a－b）－（b－c）]2＝0.

所以（a－b）－（b－c）＝0.

故a＋c－2b＝0，即2b＝a＋C．

三、用于求面积

【例3】长方形的周长为16cm，它的两边x，y满足（x－y）2－2x＋2y＋1＝0.求其面积．

分析：

根据周长可得x＋y＝8，要求长方形的面积，则需要根据（x－y）2－2x＋2y＋1＝0，再求出关于x，y的另一个关系式，然后解方程组求x，y的值即可．

解：

（x－y）2－2x＋2y＋1＝0变形为（x－y）2－2（x－y）＋1＝0，

则（x－y－1）2＝0.所以x－y－1＝0.

又因为x＋y＝8，

所以

解得

所以长方形的面积为4.5×3.5＝15.75（cm2）．

四、用于求整数

【例4】已知m，n均为正整数，且m2－n2＝68，求m，n.

分析：

要求m，n，则应将m2－n2＝68进行变形，转化为二元一次方程组求解．

解：

因为m，n为正整数，m2－n2＝（m＋n）（m－n）＝68，

所以（m＋n）（m－n）等于68×1或34×2或17×4，

所以

或

或

但

和

的解都不是整数，因此应舍去．

所以解方程组

得

五、用于比较大小

【例5】设a＜b＜c＜d，如果x＝ca－ab，y＝cd－bd，试比较x，y的大小．

分析：

要比较x，y的大小，可以通过作差的方法，比较x－y与0的大小，当x－y＞0时，x＞y；当x－y＜0时，x＜y；当x－y＝0时，x＝y.

解：

因为a＜b＜c＜d，所以x－y＝（ca－ab）－（cd－bd）＝a（c－b）－d（c－b）＝（a－d）（c－b）＜0.

所以x＜y.

15．4.2　公式法

教学目标

1．认识平方差公式与完全平方公式的特点．

2．会运用平方差公式和完全平方公式分解因式．

3．知道因式分解应把多项式的每一个因式都分解到不能再分解为止．

4．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．

教学重难点

应用公式法分解因式是重点，灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准是难点．

教学过程

导入新课

〈方式1〉

问题：

在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一边长为7.25cm的小正方形，那么剩下部分的面积是多少？

结果：

12.752－7.252　　　　→联想到a2－b2＝

＝（12.75＋7.25）（12.75－7.25）　（a＋b）（a－b）

＝20×5.5＝110（cm2）．

〈方式2〉

问题导入：

问题1：

你能叙述多项式因式分解的定义吗？

多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．

问题2：

运用提公因式法分解因式的第一步是什么？

提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．

问题3：

你能将a2－b2分解因式吗？

要将a2－b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式a2－b2＝（a＋b）（a－b）．

多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用公式法分解因式．

推进新课

【活动一】利用平方差公式分解因式

问题：

（1）你能将12.752－7.252分解成乘积的形式吗？

（2）你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？

这两个多项式有什么共同特点？

你会想到什么公式？

总结：

它们有两项，且都是两个数的平方差，会联想到平方差公式，逆向应用平方差公式即可将它们因式分解．

由（x＋2）（x－2）＝x2－4，得x2－4＝（x＋2）（x－2）；

由（y＋5）（y－5）＝y2－25，得y2－25＝（y＋5）（y－5）．

归纳：

把整式乘法的平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2反过来，就得到因式分解的平方差公式

a2－b2＝（a＋b）（a－b）.

即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．

注意和整式乘法里的平方差公式的区别．

【活动二】应用公式，巩固夯实

如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．

【例1】下列多项式能否用平方差公式来分解因式？

（1）a2＋y2（不能）；

（2）m2－n2（能）；

（3）－a2＋b2（能）；（4）－a2－b2（不能）．

【例2】把下列各式分解因式：

（1）4x2－9；

（2）（x＋p）2－（x＋q）2.

分析、解答略．

明确：

①平方差公式中a，b可以表示任何一个单项式或多项式．