高考数学一轮复习第八章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系夯基提能作业本文I.docx

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高考数学一轮复习第八章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系夯基提能作业本文I

2019-2020年高考数学一轮复习第八章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系夯基提能作业本文（I）

1.下列说法正确的是（　　）

A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线

B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面

C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面

D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面

2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是（　　）

A.AB∥CD

B.AB与CD异面

C.AB与CD相交

D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

3.设A、B、C、D是空间中四个不同的点,下列命题中,不正确的是（　　）

A.若AC与BD共面,则AD与BC共面

B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线

C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC

D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC

4.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c（　　）

A.一定平行

B.一定相交

C.一定是异面直线

D.平行、相交或异面

5.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是（　　）

A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1⊥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面

D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面

6.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有　　　　条. 

7.对于空间三条直线,有下列四个条件:

①三条直线两两相交且不共点;

②三条直线两两平行;

③三条直线共点;

④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.

其中使三条直线共面的充分条件是　　　　. 

8.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°,连接各边中点所得四边形的面积是　　　　. 

9.如图所示,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点N,RP、DC的延长线交于点K.求证:

M、N、K三点共线.

10.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.

（1）求证:

直线EF与BD是异面直线;

（2）若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.

B组　提升题组

11.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是（　　）

A.l与l1,l2都不相交

B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

12.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是（　　）

A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面

C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面

13.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是　　　　. 

14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.

（1）求证:

D、B、F、E四点共面;

（2）若A1C交平面DBFE于R点,求证:

P、Q、R三点共线.

答案精解精析

A组　基础题组

1.D　由异面直线的定义可知选D.

2.D　若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线.

3.C　若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC,C不正确.

4.D　当a,b,c共面时,a∥c;当a,b,c不共面时,a与c可能异面也可能相交.

5.B　A选项,l1⊥l2,l2⊥l3,则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面;B选项正确;C选项,l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3可能共面,也可能不共面;D选项不正确,如长方体中共顶点的三条棱所在直线,这三条直线不共面.

6.答案　5

解析　与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.

7.答案　①④

解析　易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②不符合;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③不符合;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线都相交,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.

8.答案　6

解析　如图,已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角,故S四边形EFGH=3×4sin45°=6.

9.证明　∵M∈直线PQ,直线PQ⊂平面PQR,

M∈直线BC,直线BC⊂平面BCD,

∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,

即M在平面PQR与平面BCD的交线上.

同理可证:

N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上.

又如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故M、N、K三点共线.

10.解析　

（1）证明:

假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.

（2）取CD的中点G,连接EG,FG,

则AC∥FG,EG∥BD,

所以相交直线EF与EG所成的角（或其补角）即为异面直线EF与BD所成的角.

又因为AC⊥BD,AC=BD,则FG⊥EG,FG=EG.

所以∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.

B组　提升题组

11.D　解法一:

如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.

解法二:

因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,从而l1∥l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D.

12.A　连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理,O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.

13.答案　

解析　如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.

∵M为AD的中点,∴MK∥AN,

∴∠KMC（或其补角）为异面直线AN,CM所成的角.

∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点,

∴易求得AN=DN=CM=2,∴MK=.

在Rt△CKN中,CK==.

在△CKM中,由余弦定理,得

cos∠KMC==.

14.证明　

（1）如图所示.

因为EF是△D1B1C1的中位线,

所以EF∥B1D1.

又在正方体AC1中,B1D1∥BD,

所以EF∥BD.

所以EF与BD可确定一个平面,

即D、B、F、E四点共面.

（2）在正方体AC1中,设平面ACC1A1为α,平面DBFE为β.

因为Q∈A1C1,所以Q∈α,

又Q∈EF,所以Q∈β,则Q是α与β的公共点,

同理,P也是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.

又因为A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,

则R∈PQ,故P、Q、R三点共线.

2019-2020年高考数学一轮复习第八章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系夯基提能作业本文

1.（xx贵州贵阳调研）四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面有（　　）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:

A,B,C,D四点不共面,命题乙:

直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是（　　）

A.相交B.异面C.平行D.垂直

4.已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是（　　）

A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1⊥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面

D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面

5.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）

A.B.C.D.

6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:

①直线AM与CC1是相交直线;

②直线AM与BN是平行直线;

③直线BN与MB1是异面直线;

④直线AM与DD1是异面直线.

其中正确的结论为　　　　（把你认为正确的结论的序号都填上）. 

7.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为　　　　. 

8.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°,连接各边中点所得四边形的面积是　　　　. 

9.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.

（1）求证:

直线EF与BD是异面直线;

（2）若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.

10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:

（1）D,B,F,E四点共面;

（2）若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.

B组　提升题组

1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是（　　）

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别为棱AA1、CC1的中点,则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线（　　）

A.不存在B.有且只有两条

C.有且只有三条D.有无数条

3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BM与AN所成角的余弦值.

4.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.

（1）求三棱锥P-ABC的体积;

（2）求异面直线BC与AD所成角的余弦值.

答案精解精析

A组　基础题组

1.A　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.

2.A　若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,则直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.

3.A　由BC􀱀AD,AD􀱀A1D1知,BC􀱀A1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,又EF⊂平面A1C,EF∩D1C=F,则A1B与EF相交.

4.B　A选项,l1⊥l2,l2⊥l3,则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面;B选项正确;C选项,l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3可能共面,也可能不共面;D选项不正确,如长方体中共顶点的三条棱所在直线,这三条直线不共面.

5.B　画出正四面体ABCD的直观图,如图所示.

设其棱长为2,取AD的中点F,连接EF、CF,设EF的中点为O,连接CO,

则EF∥BD,则∠FEC或其补角就是异面直线CE与BD所成的角.

△ABC为等边三角形,则CE⊥AB,易得CE=,

同理可得CF=,故CE=CF.

因为OE=OF,所以CO⊥EF.又EO=EF=BD=,

所以cos∠FEC===.

6.答案　③④

解析　直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.

7.答案　

解析　取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD的夹角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD的夹角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.

8.答案　6

解析　如图,已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角,故S四边形EFGH=3×4sin45°=6.

9.解析　

（1）证明:

假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.

（2）取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角（或其补角）即为异面直线EF与BD所成的角.

又因为AC⊥BD,AC=BD,所以FG⊥EG,FG=EG.

所以∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.

10.证明　

（1）如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,

所以EF∥B1D1.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,

所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.

（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF为β,

因为Q∈A1C1,所以Q∈α.

又因为Q∈EF,所以Q∈β,则Q是α与β的公共点,

同理,P点也是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.

又因为A1C∩β=R,所以R∈A1C,则R∈α且R∈β,

则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.

B组　提升题组

1.D　⇒⇒l1∥l4或l1与l4相交或l1与l4异面.故l1与l4的位置关系不确定.故选D.

2.D　在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时,直线A1B1与M确定的平面不同,从而确定的这个平面与BC的交点N不同,而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N,如图,故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交.

3.解析　取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ或其补角即为BM与AN所成的角,

设BC=CA=CC1=2,

则AQ=,AN=,QN=,

∴cos∠ANQ====.

∴BM与AN所成角的余弦值为.

4.解析　

（1）因为PA⊥底面ABC,所以PA是三棱锥P-ABC的高.又S△ABC=×2×2=2,所以三棱锥P-ABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.

（2）如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角.

易知PB=2,PC=4,BC=4,则在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,

所以cos∠ADE==.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.