春人教版数学六下第五单元《数学广角 鸽巢问题》word教案精品教案.docx

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5、数学广角——鸽巢问题

单元分析

一、教材分析：

本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。

和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。

本单元教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。

在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。

在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。

这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。

“抽屉原理”最先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。

但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。

因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。

教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。

能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。

所以，在教学中，应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。

六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。

教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、三维目标：

1、知识与技能：

引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。

2、过程与方法：

1）经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

（2）学会与人合作，并能与人交流思维过程和结果。

3、情感态度与价值观：

（1）积极参与探索活动，体验数学活动充满着探索与创造。

（2）体会数学与生活的紧密联系，感受数学在实际生活中的作用，体验学数学、用数学的乐趣。

（3）通过“鸽巢原理”的灵活应用，感受数学的魅力。

（4）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。

三、教学重点:

应用“鸽巢原理”解决实际问题，引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。

四、教学难点：

理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。

六、课时安排：

3课时 

鸽巢问题-------------------1课时    

“鸽巢问题”的具体应用------1课时     

练习课---------------------1课时 

第一课时鸽巢问题

（1）

（总第56课时）

【教学内容】最简单的鸽巢问题（教材第68页例1和第69页例2）。

【教学目标】

1.理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式，引导学生采用操作的方法进行枚举及假设法探究“鸽巢问题”。

2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识。

【重点难点】了解简单的鸽巢问题，理解“总有”和“至少”的含义。

【教学准备】实物投影，每组3个文具盒和4枝铅笔。

【情景导入】

教师：

同学们，你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗？

“电脑算命”看起来很深奥，只要你报出自己的出生年月日和性别，一按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子。

通过今天的学习，我们掌握了“鸽巢问题”之后，你就不难证明这种“电脑算命”是非常可笑和荒唐的，是不可相信的鬼把戏了。

（板书课题：

鸽巢问题）

教师：

通过学习，你想解决哪些问题？

根据学生回答，教师把学生提出的问题归结为：

“鸽巢问题”是怎样的？

这里的“鸽巢”是指什么？

运用“鸽巢问题”能解决哪些问题？

怎样运用“鸽巢问题”解决问题？

【新课讲授】

1.教师用投影仪展示例1的问题。

同学们手中都有铅笔和文具盒，现在分小组形式动手操作：

把四支铅笔放进三个标有序号的文具盒中，看看能得出什么样的结论。

组织学生分组操作，并在小组中议一议，用铅笔在文具盒里放一放。

教师指名汇报。

学生汇报时会说出：

1号文具盒放4枝铅笔，2号、3号文具盒均放0枝铅笔。

教师：

不妨将这种放法记为（4,0,0）。

〔板书：

（4,0,0）〕

教师提出：

（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4,）为一种放法。

教师：

除了这种放法，还有其他的方法吗？

教师再指名汇报。

学生会有（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）四种不同的方法。

教师板书。

教师：

还有不同的放法吗?

教师：

通过刚才的操作，你能发现什么?

（不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

）

教师:

“总有”是什么意思?

（一定有）

教师:

“至少”有2枝什么意思?

（不少于两只,可能是2枝,也可能是多于2枝）

教师：

就是不能少于2枝。

（通过操作让学生充分体验感受）

教师进一步引导学生探究：

把5枝铅笔放进4个文具盒，总有一个文具盒要放进几枝铅笔？

指名学生说一说，并且说一说为什么？

教师:

把4枝笔放进3个盒子里,和把5枝笔放进4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅

笔。

这是我们通过实际操作发现的这个结论。

那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?

学生思考——组内交流——汇报

教师:

哪一组同学能把你们的想法汇报一下?

学生会说:

我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

教师:

你能结合操作给大家演示一遍吗?

（学生操作演示）

教师:

同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?

教师:

这种分法,实际就是先怎么分的?

学生：

平均分。

教师:

为什么要先平均分?

（组织学生讨论）

学生汇报：

要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。

这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?

教师:

同意吗?

那么把5枝笔放进4个盒子里呢?

（可以结合操作,说一说）教师:

哪位同学能把你的想法汇报一下？

学生:

（一边演示一边说）5枝铅笔放在4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师:

把6枝笔放进5个盒子里呢?

还用摆吗?

生:

6枝铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师:

把7枝笔放进6个盒子里呢?

把8枝笔放进7个盒子里呢?

把9枝笔放进8个盒子里呢?

?

?

教师：

你发现什么?

学生：

铅笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

教师:

你们的发现和他一样吗?

（一样）你们太了不起了!

同桌互相说一遍。

把100枝铅笔放进99个文具盒里会有什么结论？

一起说。

巩固练习：

教材第68页“做一做”。

A组织学生在小组中交流解答。

B指名学生汇报解答思路及过程。

2.教学例2。

①出示题目:

把7本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?

请同学们小组合作探究。

探究时，可以利用每组桌上的7本书。

活动要求：

a.每人限独立思考。

b.把自己的想法和小组同学交流。

c.如果需要动手操作，可以利用每桌上的7本书，要有分工，并要全面考虑问题。

（谁分铅笔，谁当抽屉，谁记录等）d.在全班交流汇报。

（师巡视了解各种情况）

学生汇报。

哪个小组愿意说说你们的方法？

把你们的发现和大家一起分享，学生可能会有以下方法：

a.动手操作列举法。

学生：

通过操作，我们把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3本书。

b.数的分解法。

把7分解成三个数，有（7,0），（6,1），（5,2），（4,3）四种情况。

在任何一种情况下，总有一个数不小于3。

教师：

通过动手摆放及把数分解两种方法，我们知道把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进几本书?

（3本）

②教师质疑引出假设法。

教师：

同学们通过以上两种方法，知道了把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3本书，但随着书的本数越多，数据变大，如：

要把155本书放进3个抽屉呢？

用列举法、数的分解法会怎么样？

（繁琐）我们能不能找到一种适用各种数据的方法呢？

请同学们想想。

板书:

7本3个2本?

?

余1本（总有一个抽屉里至少有3本书）

8本3个2本?

?

余2本（总有一个抽屉里至少有3本书）

10本3个3本?

?

余1本（总有一个抽屉里至少有4本书）

师:

2本、3本、4本是怎么得到的?

生：

完成除法算式。

7÷3=2本?

?

1本（商加1）

8÷3=2本?

?

2本（商加1）

10÷3=3本?

?

1本（商加1）

师:

观察板书你能发现什么?

学生：

“总有一个抽屉里的至少有3本”，只要用“商+1”就可以得到。

师:

如果把5本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?

学生:

“总有一个抽屉里至少有3本”只要用5÷3=1本?

?

2本,用“商+2”就可以了。

学生有可能会说：

不同意!

先把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,还剩2本,这2本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。

师:

到底是“商+1”还是“商+余数”呢?

谁的结论对呢?

在小组里进行研究、讨论、交流、说理活动。

可能有三种说法：

a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。

b.把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。

c.我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。

教师:

现在大家都明白了吧?

那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?

学生回答：

如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。

教师讲解：

同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。

这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。

“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。

下面我们应用这一原理解决问题。

提问：

尽量把书平均分给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么方式表示这一平均的过程呢？

学生在练习本上列式：

7÷3=2?

?

1。

集体订正后提问：

这个有余数的除法算式说明了什么问题？

生：

把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉有两本书，还剩一本，把剩下的一本不管放进哪个抽屉，总有一个抽屉至少放三本书。

③引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。

a.提问：

如果把10本书放进3个抽屉会怎样？

13本呢？

b.学生列式回答。

c.教师板书算式：

10÷3=3?

?

1（总有一个抽屉至少放4本书）

13÷3=4?

?

1（总有一个抽屉至少放5本书）

④观察特点，寻找规律。

提问：

观察3组算式，你能发现什么规律？

引导学生总结归纳出：

把某一数量（奇数）的书放进三个抽屉，只要用这个数除以3，总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。

⑤提问：

如果把8本书放进3个抽屉里会怎样，为什么？

8÷3=2?

?

2

学生汇报。

可能出现两种情况：

一种认为总有一个抽屉至少放3本书；一种认为总有一个抽屉至少放4本书。

学生讨论。

讨论后，学生明白：

不是商加余数2，而是商加1。

因为剩下两本，也可能分别放进两个抽屉里，一个抽屉一本，相当于数的分解（3,3,2）。

所以，总有一个抽屉至少放3本书。

⑥总结归纳鸽巢问题的一般规律。

要把a个物体放进n个抽屉里，如果a÷n=b?

?

c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。

【课堂作业】

教材第69页“做一做”。

（1）组织学生在小组中交流解答。

（2）指名学生汇报解答思路及过程。

【课堂小结】

通过这节课的学习，你有哪些收获？

【课后作业】

完成练习册中本课时的练习。

板书设计

（4，0，0），（0，1，3），（2，2，0），（2，1，1）

只要放进的铅笔数比比笔筒数多，总有一个笔筒至少放进2支铅笔。

7÷3＝2……12+1＝3

教学反思：

本节课让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解了“鸽巢原理”，并能够应用于实际，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维。

兴趣是最好的老师，导入新课时，我采用了“抢板凳”的游戏，这游戏真实的反应了“鸽巢原理”的本质。

通过游戏，即抓住了学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。

本节课，我还注重学生自主探索精神的培养。

第二课时鸽巢问题

（2）

（总第57课时）

【教学内容】“鸽巢问题”的具体应用（教材第70页例3）。

【教学目标】

1.在了解简单的“鸽巢问题”的基础上，使学生会用此原理解决简单的实际问题。

2.培养学生有根据、有条理的进行思考和推理的能力。

3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

【重点难点】

引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”，找出这里的“鸽巢”有几个，再利用“鸽巢问题”进行反向推理。

【教学准备】课件，1个纸盒，红球、蓝球各4个。

【情景导入】

教师讲《月黑风高穿袜子》的故事。

一天晚上，毛毛房间的电灯突然坏了，伸手不见五指，这时他又要出去，于是他就摸床底下的袜子，他有蓝、白、灰色的袜子各一双，由于他平时做事随便，袜子乱丢，在黑暗中不知道哪些袜子颜色是相同的。

毛毛想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成相同颜色的一双。

你们知道最少拿几只袜子出去吗？

在学生猜测的基础上揭示课题。

教师：

这节课我们利用鸽巢问题解决生活中的实际问题。

板书：

“鸽巢问题”的具体应用。

【新课讲授】

1.教学例3。

盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几个球？

（出示一个装了4个红球和4个蓝球的不透明盒子，晃动几下）

师：

同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?

（请一个同学到盒子里摸一摸，并摸出一个给大家看）

师：

如果这位同学再摸一个，可能是什么颜色的？

要想这位同学摸出的球，

一定有2个同色的，最少要摸出几个球？

请学生独立思考后，先在小组内交流自己的想法，验证各自的猜想。

指名按猜测的不同情况逐一验证，说明理由。

摸2个球可能出现的情况：

1红1蓝；2红；2蓝

摸3个球可能出现的情况：

2红1蓝；2蓝1红；3红；3蓝

摸4个球可能出现的情况：

2红2蓝；1红3蓝；1蓝3红；4红；4蓝

摸5个球可能出现的情况：

4红1蓝；3蓝2红；3红2蓝；4蓝1红；5红；5蓝

教师：

通过验证，说说你们得出什么结论。

小结：

盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。

想要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸3个球。

2.引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”。

教师：

生活中像这样的例子很多，我们不能总是猜测或动手试验吧，能不能把这道题与前面所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢？

思考：

a.“摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系？

b.应该把什么看成“鸽巢”?

有几个“鸽巢”?

要分放的东西是什么？

c.得出什么结论？

学生讨论，汇报。

教师讲解：

因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“鸽巢”，“同色”就意味着“同一个鸽巢”。

这样，把“摸球问题”转化“鸽巢问题”，即“只要分的物体个数比鸽巢多，就能保证有一个鸽巢至少有两个球”。

从最特殊的情况想起，假设两种颜色的球各拿了1个，也就是在两个鸽巢里各拿了一个球，不管从哪个鸽巢里再拿一个球，都有两个球是同色，假设最少摸a个球，即（a）÷2=1?

?

（b）当b=1时，a就最小。

所以一次至少应拿出1×2+1=3个球，就能保证有两个球同色。

结论：

要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量至少要比颜色种数多一。

【课堂作业】

先完成第70页“做一做”的第2题，再完成第1题。

（1）学生独立思考。

（提示：

把什么看做鸽巢？

有几个鸽巢？

要分的东西是什么？

）

（2）同桌讨论。

（3）汇报交流。

【课堂小结】

本节课你有什么收获？

【课后作业】

完成练习册中本课时的练习。

板书设计

鸽巢数——颜色数

要保证抽出两个同色的球，摸出的球的数量只是要比颜色总数多1

教学反思：

教学中，我充分利用学具，将抽象的数学知识同具体的实物结合起来，化难为易，化抽象为具体，让学生体验和感悟数学。

通过实际操作，学生进一步经历“鸽巢原理”的探究、运用过程，并对一些实际问题模型化，从而在用“鸽巢原理”加以解决的过程中，促进逻辑推理能力的发展。

第三课时鸽巢问题（练习课）

（总第58课时）

教学内容：

教材71页练习十三的5、6题，及相关的练习题。

三维目标：

1、知识与技能：

进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解决简单的实际问题。

2、过程与方法：

经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

3、情感、态度和价值观：

通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

教学重点：

应用“鸽巢原理”解决实际问题。

引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。

教学难点：

理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。

教具准备：

多媒体课件。

教学过程：

一、谈话导入------出示课题

二、指导练习 

（一）基础练习题1、填一填：

（1）鱼岳三小六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有（   ）名学生的生日是在二月份的同一天。

（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1个同学至少投进了（  ）个球。

（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（    ）只鸡要放进同1个鸡笼里。

（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（  ）本书，才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。

学生独立思考解答，集体交流纠正。

 2、解决问题。

（1）（易错题）六

（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？

（2）书籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出2本科技书。

一次至少要拿出多少本书？

（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于6支？

（二）拓展应用

1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球？

教师引导学生分析：

盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少要比抽屉数的（7-1）倍多1个，而（27-1）÷（7-1）=4...2，因此最多放进4个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球。

教师引导学生规范解答：

2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只，一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有1只？

教师引导学生分析：

假设先取5只，全是红的，不符合题意，要继续去；假设再取5只，5只有全是黄的，这时再取一只一定是蓝色的，这样取5×2+1=11（只）可以保证每种颜色至少有1只。

教师引导学生规范解答：

3、六

（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全班最低分是75。

已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。

六

（2）班至少有多少名同学？

教师引导学生分析：

因为最高分是100分，最低分是75分，所以学生可能得到的不同分数有100-745+1=26（种）。

教师引导学生规范解答：

三、巩固练习：

   完成教材第71页练习十三的5、6题。

（学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。

） 

四、课堂总结 

说说这节课你有什么收获？

还有什么疑问，我们一起解决。

五、作业 个人调整意见

教学反思：

本节课首先通过三个基础练习回顾了“鸽巢原理”，接下来的练习课是鸽巢问题的实际应用问题，虽然原理比较简单，但实际题目中，最主要的是帮助学生在不同的题目中找出该道题的“鸽巢”是什么，然后要放到“鸽巢”里的东西是什么，只有帮助学生在解题时有了古剑鸽巢问题模型的能力，才能使学生真正地理解鸽巢问题，以便更好的解决鸽巢问题。

《鸽巢问题》单元检测

（总第59-60课时）

教学内容：

检测学生对第五单元《鸽巢问题》的掌握情况。

教学目标：

1、通过检测检验学生对本单元知识的理解掌握情况。

2、学生独立完成。

3、培养学生细心谨慎的审题解题习惯。

教学重点：

通过检测检验学生对本单元知识的理解掌握情况。

教学难点：

通过答卷情况分析出学生失分的深层原因，并找到弥补对策。

教法与学法：

独立完成

教学过程：

一、宣布考试纪律和目的。

二、分发试卷，学生独立解答，教师巡视。

三、收取试卷。

四、教师评卷。

五、集体评议。

六、师生订正。

单元试卷讲评

单元试卷分析

（总第61-62课时）