最新高等数学上册期末考试试题含答案PU.docx

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最新高等数学上册期末考试试题含答案PU

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．计算的近似值，使误差不超过.

解：

2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：

（1）x+2x2+3x3+…+nxn+…；

（2）；

（3）；（4）；

解：

（1）因为，所以收敛半径收敛区间为（-1,1），而当x=±1时，级数变为，由知级数发散，所以级数的收敛域为（-1,1）．

（2）因为

所以收敛半径，收敛区间为（-e,e）．

当x=e时，级数变为；应用洛必达法则求得，故有由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为（-e,e）．

（3）级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．

所以当x2<1即|x|<1时，级数收敛，x2>1即|x|>1时，级数发散，故收敛半径R=1．

当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由知，发散，从而也发散，故原级数的收敛域为（-1,1）．

（4）令t=x-1，则级数变为，因为

所以收敛半径为R=1．收敛区间为-1

当t=1时，级数收敛，当t=-1时，级数为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．

所以，原级数收敛域为0≤x≤2，即[0,2]

3．若存在，证明：

级数收敛．

证：

∵存在，∴∃M>0，使|n2Un|≤M，

即n2|Un|≤M，|Un|≤

而收敛，故绝对收敛．

4．用比值判别法判别下列级数的敛散性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

解：

（1），，

由比值审敛法知，级数收敛．

（2）

所以原级数发散．

（3）

所以原级数发散．

（4）

故原级数收敛．

5．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？

解：

设每年以均匀流方式存入x万元，则

5=

即5=20x（e0.51）

≈0.385386万元=3853.86元．

习题六

6．已知电压u（t）=3sin2t，求

（1）u（t）在上的平均值；

解：

（2）电压的均方根值.

解：

均方根公式为

故

7．求曲线段y=x3（0≤x≤1）绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．

解：

．

8．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

解：

如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：

E（a，h），D（A，0），于是得到ED所在的直线方程为：

（16）

对于任意的y∈[0，h]，过点（0，y）且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为：

，同理可得该椭圆的另一半轴为：

．

故该椭圆面积为

从而立体的体积为

.

9．证明：

（1）

证明：

当时，

于是

而

由夹逼准则知：

（2）

证明：

由中值定理得

其中

故

10．逻辑斯谛（Logistic）曲线族

建立了动物的生长模型.

（1）画出B=1时的曲线的图像，参数A的意义是什么（设x表示时间，y表示某种动物数量）？

解：

，g（x）在（－∞，+∞）内单调增加，

当x>0时，在（0，+∞）内是凸的.

当x<0时，在（－∞，0）内是凹的.

当x=0时，.

且.故曲线有两条渐近线y=0，y=A.且A为该种动物数量（在特定环境中）最大值，即承载容量.如图：

（2）计算g（－x）+g（x），并说明该和的意义；

解：

.

（3）证明：

曲线是对g（x）的图像所作的平移.

证明：

∵

取，得

即曲线是对g（x）的图像沿水平方向作了个单位的平移.

习题四

11．试证:

方程只有一个实根.

证明:

设，则为严格单调减少的函数，因此至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实根，也就是只有一个实根.

12．对函数及在上验证柯西定理的正确性.

验证：

，在上连续，在内可导，且，满足柯西定理的条件.

由,得,

故满足柯西定理的结论.

13．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？

解：

人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.

习题三

14．将函数展开成x的幂级数．

解：

由于

所以（|x|≤1）

15．某人走过一桥的速度为4km·h-1，同时一船在此人底下以8km·h-1的速度划过，此桥比船高200m，求3min后，人与船相离的速度.

解：

设t小时后，人与船相距s公里，则

且（km·h－1）

16．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L（L=AB+BC+CD）与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.

图1-1

解:

从而.

由得定义域为.

17．利用泰勒公式求下列极限：

⑴⑵（3）

解：

⑴

⑵

（3）令,当时，，

18．设，且与相比是很小的量，证明：

证明：

利用近似公式，有

.

19．利用微分求下列各数的近似值：

⑴；⑵；

⑶.

解：

⑴利用近似公式，有

.

⑵利用近似公式，有

⑶取，令，

而，则

20．在括号内填入适当的函数，使等式成立：

⑴；⑵;

⑶；⑷;

⑸;⑹；

⑺;⑻.

解：

⑴

.

⑵

.

⑶

.

⑷

.

⑸

.

⑹

.

⑺

.

⑻

.

21．求.

解：

22．求下列函数的导数：

⑴;⑵;

⑶;⑷;

⑸；⑹（a为常数）；

⑺；⑻；

⑼;⑽；

⑾;⑿；

⒀；

⒁为常数）.

解：

⑴;

⑵;

⑶;

⑷

;

⑸

；

⑹；

⑺；

⑻；

⑼;

⑽；

⑾

⑿

⒀；

⒁.

23．设表示重1单位的金属从加热到所吸收的热量，当金属从升温到时，所需热量为与之比称为到的平均比热，试解答如下问题：

⑴如何定义在时，金属的比热；

解：

⑵当（其中a,b均为常数）时，求比热.

解：

.

24．已知，求.

解：

当时，,

当时，,

故不存在.

又

故不存在.

综上所述知

.

25．设在上连续，且,证明：

方程在[0，a]内至少有一根.

证：

令,由在上连续知，在上连续，且

若则都是方程的根，

若，则，由零点定理知，至少,使,

即，即是方程的根，

综上所述，方程在内至少有一根.

26．试证：

方程至少有一个不超过的正根，其中.

证：

令，则在上连续，

且,

若，则就是方程的根.

若，则由零点定理得.

使即即，即是方程的根，综上所述，方程至少有一个不超过的正根.

27．当x=0时，下列函数无定义，试定义的值，使其在x=0处连续:

解：

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

∴补充定义可使函数在x=0处连续.

28．用函数极限定义证明：

证：

（1）,要使

只须,取，则当时，必有

故.

（2）,要使

只须,取，则当时，必有

故.

（3）,要使

只要取，则

当时，必有,

故.

（4）,要使

只须，取，则

当时，必有

故.

（5）,要使

只要取，则

当时，必有,

故.

29．对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:

解:

,要使,只须.取,则当时,必有.

当时,或大于1000的整数.

,要使

只要即即可.

取,则当时,有.

当时,或大于108的整数.

30．设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？

解：

因弹性的经济意义为：

当自变量x变动1%，则其函数值将变动.

故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．无

2．无

3．无

4．无

5．无

6．无

7．无

8．无

9．无

10．无

11．无

12．无

13．无

14．无

15．无

16．无

17．无

18．无

19．无

20．无

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无