物系相关速度.docx
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物系相关速度
物系相关速度
［基础宝典］
1.物系相关速度的共性。
△研究对象：
（1）刚体：
不发生性变的理想物体。
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时，即可将其视作刚体。
（2）冈I」体的基本特征：
具有刚体的力学性质，冈I」体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的。
△刚体运动的速度法则：
（1）刚体上每一点的速度都是与基点（可任意选择）速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和。
（2）转动速度：
v=,y：
r,r是对基点的转动半径，•’是刚体转动角速度。
（3）角速度：
刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关。
2.物系相关速度的特征。
（1）杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：
在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度。
（2）接触物系接触点速度的相关特征是：
沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同。
（3）线状相交物系交叉点的速度是：
相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和。
［典例分析］
1.如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆
周的半径为R,当杆与水平线的交角为二时，求杆的角速度••及杆上与半圆相切
点C的速度。
解：
这是杆约束相关速度问题，考察杆切点C,由于半圆静止，C点速度必沿杆，杆A点速度必沿水平。
以C为基点分解v:
由杆约束相关关系：
Vc=VCOS^；
V2是A点对C点的转动速度,故：
vsin
tan-
vsin2
rcos-
2.如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3:
2:
1，顶点A以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角
时，顶点B2的速度Vb2，求此时顶点B2的速度。
解:
这是杆约束相关速度问题，分析顶点A、A的速度：
出=色
2
顶点B2，既是AB2杆上的点，又是AB2杆上的点，分别以A2、
B2点速度。
由图示知:
22.22
VB2=“（Vai）（Va2）
5
V2v;vB2v
66
4.如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面向右运动，带动从动杆AB
物体A置于水平面上，物A前固定有动滑轮B，D为定滑轮，一根B后固定在C点，BC段水平，当以速度v拉绳头时，物体A沿水，物体A运动的速度是多大？
3.如图所示，轻绳绕过D、平面运动，若绳与水平面夹角为：
■
沿竖直方向上升，0为凸轮圆心，P为其顶点•求当/AOP=：
・时，AB杆的速度。
甘
解：
这是接触物系接触点相关速度问题，根据接触物系触点速度相关特征，两者
沿接触面法向的分速度相同，即:
vAcos：
二v0sin：
;vA二v0tan：
5.如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上，以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成:
角时，求线轴中心0的运动速度V。
。
线轴的外径为R、内径为r，线轴沿水平面做无滑动的滚动。
解:
考察绳、轴接触的切点B速度，轴上B点具有与轴心相同的平动速度v0与对轴心的转动速度r，绳上B点沿绳方向速度v和与轴B点相同的法向速度vn；由于绳、轴点点相切，有：
线轴沿水平面做纯滚动
v=v0sin：
-r
v0-R
若线轴逆时针滚动，则v。
R
r一Rsin二
6.如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端A点速度为v,方向水平.以铰链固定于B点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r和R。
试确定木板
的角速度••与角〉的关系。
解：
考察板、轴接触的切点C速度，板上C点与线轴上C点有相同的法向速度vn,且板上vn正是
C点关于B轴的转动速度：
a
vn-BC-Rcot①
2
线轴上C点的速度：
它应是C点对轴心0的转动速度Ven和与轴心相同的平动速度Vo的矢量和，而Ven是沿C点切向的，贝UC点法向速度Vn应是:
vn=vosin：
②
v
Rr
联立①②③得，••J®：
R+r
7.如图所示，水平直杆AB在圆心为0、半径为r的固定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M的速度，设0M与竖直方向的夹角为o解：
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题，将杆的速度沿杆方向与圆圈切线方向分解，滑环速度即交叉点速度向沿圆圈切向。
根据交叉点速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和，滑环速度即为杆沿圆圈切向分速度：
8.如图所示，直角曲杆OBC绕0轴在图示平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆0A滑动。
已知OB=10cm，曲杆的角速度•=0.5rad/s，求=60
时，小环M的速度。
解：
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题，由于刚性曲杆OBC以O为轴转动，故BC上与OA直杆交叉点
OM大小是：
根据交叉点速度相关特征，该速度沿0A方向的分量即为小环速度，故将Vbcm沿
MA、MB方向分解成两个分速度，小环M的速度即为Vma:
Vma二VbcmCOt30=10_3cm/S
9.如图所示，一个半径为R的轴环0,立在水平面上，另一个同样的轴环02以速
度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点A的速度vA与两环中心之距离d
之间的关系。
轴环很薄且第二个轴环紧傍第一个轴环。
解：
本题求线状交叉物系交叉点A速度，轴环02速度为
v,将此速度沿轴环Q、。
2的交叉点A处的切线方向分
解成v,、V2两个分量，由线状相交物系交叉点相关速度规
律可知，交叉点A的速度即为沿对方速度分量v,。
由图示几何关系可得：
Va
2sinv
v
2
10.顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推动。
凸轮绕O轴以匀角速••转动，在图示时刻，OA=r，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为a，试求顶杆的速度。
解：
杆与凸轮接触点有相同的法向速度根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，即：
rsin：
-v杆cos：
v杆-rtan：
11.一人身高h,在灯下以匀速率Va沿水平直线行走•如图所示，设灯距地面高
度为H，求人影的顶端M点沿地面移动的速度。
解：
借用绳杆约束模型，设人影端点M移动速度为v影,以光源为基点,将Va和v影分解为沿光线方向“伸长速度”和对基点的“转动速度”。
由一
由几何关系：
v影sin:
-
vAsin:
-
①
②
R-
R
r
r
H
H-h
联立①②得：
v影二
H
\/
A
H-h
条光线上各点转动角速度相同:
12.如图所示,缠在线轴A上的线被绕过滑轮
B以恒定速率V。
拉出，这时线轴沿
水平面无滑动地滚动•求线轴中心0点的速度随线与水平方向的夹角:
的变化
关系。
线轴的内、外半径分别为R与ro解：
考察绳、轴接触的切点A速度，轴上A点具有对轴心的转动速度V「•R和与轴心相同的平动速度V;绳上A点具有沿绳方向速度V。
和
与轴A点相同的法向速度vn，由于绳、轴点点相切，有
v0=R，V0cos：
①
由于纯滚动，有
V0_r
联立①②得：
，一乩
rcos。
+R
V。
二
Vo
rcos：
R
13.图中的AC、BD两杆以匀角速度•■分别绕相距为I的A、B两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出。
小环M套在两杆上，t=0时图中：
=—60，试求而后任意时刻t（M未落地）M运动的速度大小。
解：
本题属线状交叉物系交叉点速度问题，因两杆角速度相同，/AMB=60°不变，套在两杆交点的环M所在圆周半径为：
l=」_
2cos30■,3
杆D转过二圆周角，M点转过同弧上2二的圆心角，环M的角速度为2，环M的线速度为：
14.如图,一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做无滑动的滚动。
AB等效于球的瞬时转轴。
试问球上哪些点的速度最大？
这最大速度为多少？
解：
本题属刚体各点速度问题，球心速度为v，
则对瞬时转轴AB：
v=-^R，则球角速度
2
.2v
co=
R
根据刚体运动的速度法则：
球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度，则
血厂
vmax=R（1~21）v
2
15.如图，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为R,，外环半径为R，在
二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为r，外环以线速度^顺时针方向转动，而
内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度■，设小球与圆环之间无滑动发生解：
本题属刚体各点速度及接触点速度问题，已知滚珠球心速度为v,角速度为•’，根据刚体运动的速度法则：
滚珠与内环接触处A速度
vA=v_■r=v2①
滚珠与外环接触处B速度
vB=vr=w②
16.一片胶合板从空中下落，发现在某个时刻板上a点速度和b点速度相同：
va=vb=V，且方向均沿板面；同时还发现板上C点速度大小比速度v大一倍，c
点到a、b两点距离等于a、b两点之间距离。
试问板上哪些点的速度等于3v？
解:
本题属刚体各点速度问题，因为板上a、b两点速度相同，
故a、b连线即为板瞬时转动轴。
板角速度」罕，同理，速度为3v的点满足:
222
（3v）二v（x）
联立①②得：
X=2l
17.如图，A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为
A、B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着
的三角形顶点
B，B朝着C，C朝着A。
试问经多少时间三人相聚？
每个演员跑了多少路程？
解：
由三位舞者运动的对称性可知，他们会合点在厶ABC的中心O
每人的运动均可视做绕0转动的同时向0运动，考虑A处舞者沿A0方向分运动考虑，到达0点历时:
AO2I
t:
vcos303v
2l
由于舞者匀速率运动,则S=vt二
3
18.如图所示，一个圆台，上底半径为r，下底半径为R,其母线AB长为L,放置在水平地面上，推动它以后，它自身以角速度「旋转，整体绕O点做匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径OA及旋转一周所需时间To解：
设旋转半径为x,则由几何关系：
r
xL
R—r
接触处不打滑，则A点（即接触点）移动速度即为：
联立①②③得:
2二丨
（R-r）r
19.如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R,放在与水平面成〉角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为■（此时绳未松驰），试求此刻圆筒与绳分离处A的速度以及圆筒与斜面切点C的速度。
解：
圆筒与绳分离处A速度vA如图：
绳竖直时设圆筒中心速度为v0，以A为基点，由刚体速度法则，0点速度是：
TTT
Vo=VaVn
vA=vncot：
=Rcot:
-
考察圆筒与斜面切点C速度，以0为基点，由刚体速度法则,C点速度是：
TrT
Vc二VoVn，即
二Vo
r『：
：
R
R
sin二
1-sin:
sin二
20.如图所示，长度I=10cm的棒在光滑水平面上转动，同时，以速度v=10cm「s
滑动，离棒的中心距离L=50cm处有竖直的墙.要使棒平着与墙相撞，试问棒的角速度•■应为多少？
解：
棒要平着与竖墙相撞应满足：
（1）棒中心完成L位移时，棒与墙平行。
（2）相撞时无沿棒法向向右的离开墙的速度（即棒上所有点速度方向均向墙）。
棒在向墙移动时每半周与墙平行一次，
满足
（1）应有：
L■:
n—
v-
满足
（2）应有：
■--v一0
2
联立①②得：
当2时‘一5rad/s；当心时,
21.一块坯料夹在两导板之间，导板水平运动•上板向右，速度为v,，下板向左,
速度为V2，若vi=2v2，某时刻切点1和2在同一条竖直线上，如图所示。
请作图指出该时刻坯料上速度大小分别为Vi和V2的点的集合。
解：
以1:
2截分AB得瞬时转动中心0。
刚体上与瞬时转动中心距离相同的点对中心的转动速度相同。
22.如图所示，两只小环0和0,分别套在静止不动的竖直杆AB和CD上，一根不可伸长的绳子一端系在C点上，穿过环0,，另一端系在环0上。
若环Q以恒
定速度v,向下运动，当•A00,=--时，求环0的速度
解：
以0,为参照绳抽出速度大小为Vi,方向如示；设环0
的速度为V2，则环0对环0,的速度大小为
23.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h。
轨道上有两个物体A和B,它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接。
物体A在下面的轨道上以匀速率v运动。
在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳
子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴
P与绳子分离，设绳长BO远大于
滑轮直径，求：
小水滴P恰脱离绳子落地时速度的大小。
解：
小水滴P刚与绳分离时应具有与OB绳中点相同的速度，这个速度是沿绳速度与绕O转动速度的合成；小水滴沿绳方向速度即为v，整个OB段绳有相同绕O转动角速度，故：
24.
如图所示，AB杆以角速度「绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的小环M运动。
运动开始时，AB杆在铅垂位置，设OA=h，求：
动的速度；
（2）小环M相对于AB杆运动的速度。
解：
（1）经时间t，杆转过角t，杆AB上M点速度：
hV杆M=
COS①t
由线状交叉物系交叉点相关速度特征，
于vm沿杆OC分量：
cost
oh
—2
cost
AB杆的速度大小等于速度v杆M沿
AB杆方向分量:
®hsincot
vm对abtan•‘t2—厂
coscot
25.
如图所示，曲柄滑杆机构中，滑杆上有圆弧形滑槽，其半径为R,圆心在导
杆BC上，曲柄OA长R,以角速度••转动，当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角二=30，求此时滑杆的速度。
解：
曲柄与水平线交角，-30时，曲柄滑杆机构上A点速度：
Va--R
此时滑杆速度设为V，A在圆形槽中的转动速度设为Vn；
T**
由刚体运动的速度法则，有v^Vvn，
其中vn二R，速度矢量三角形为正三角形，V=
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