放缩法技巧全总结非常精辟是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华.docx
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放缩法技巧全总结非常精辟是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华
2010高考数学备考之放缩技巧
通过多角度观察所给数
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：
列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
n
例1.
（1）求
k14k21
2的值；
⑵求证:
n1
k1k2
解析：
（1）因为2
1
4n2
（2n
2
1）（2n
1）
1
2n1
-所以
1
1
2n1
2n
2n
1
（2）因为1
奇巧积累：
（1）1
^2
⑷（1
n2
n!
22n
所以
2n
n1
kF
2n1
2n1
1
2n
1
2^
（n1）n（n1）
n（n1）
1
n（n1）
r!
（nr）!
1
r!
r（r1）
1
（r2）r
n（n1）
（5）1
1
1
2n（2n
1）2n1
2n
（7）2（n
1n）
1
Jn
（9）1
1
k（n1
k）n
1k
（10）n
1
1
2（n
（n1）!
n!
（n1）!
1k
（6）1
n2
n1）（8）
齐Tn（n1k）
（11）
2n
2n
（12）
1
n3
（13）
2n122
（14）
（15）
（2n
（3
1）（2n1）
（2n
2n
1）（2n2）
n（n1）（n1）
n（n1）
1）
33（2
1）2
k!
（k1）!
（k2）!
（k1）!
（k2）!
2
2n1
1
2^
2n1
nTT
（21）（2
1
n（n1）
2n
1—
3
1）
1
2n（2niT~2
1
（2n~3）2n
1_
T~k
2n1
1
TH■
21
1
.yn1
1
2n1
（15）
Jn（n1）
nn1（n
i21
i
j21
（i
22
ij
■2丿2j）（i21-j2
1）
j211
例2.
（1）求证：
1丄丄
3252
1
（2n1）2
71
62^（n
2）
⑵求证：
丄丄丄
41636
11丄
4n224n
2
11n-n-
2：
2
2）
2）
⑶求证:
113
224
135
13
5
（2n1）
\7vonAA
246
2
46
2nii
2n
（4）求证：
2（n
11）1
1
1
1
2
3
n
解析:
（1）因为1
1
11
1所以
（2n1）2（2n
1）（2n1）
22n
1
2n1
111
1
1
1
1
（2）_
2
（1
~2
2）
41636
4n
4
2
n
（3）先运用分式放缩法证明出
135
（2n1）
24
6
2n
⑷首先1
2（n
1n）
2（2n11）
n1
11
1111
1
2（3
2n1）12（32n1）
21
i1（2i1）
11
（11）
4n
1,再结合
1
进行裂项，最后就可以得到答案
n2•n
n1'
n2
2，所以容易经过裂项得到
1-n
2（n
1）1
./n
22
r,（2n12n1
值不等式知道这是显然成立的，所以
例3.求证:
6n
（n1）（2n
1）
11）
解析:
一方面：
因为
1
n2
4
4n21
2n
1
2n"
2n1
1
2n
另一方面：
1
6n
，当
6n
（n1）（2n1）
当n2时,_
（n
6n
1）（2n
1）
2
1
n—„-n
2■,
所以
_1n（n
1）
1时，
（n1）（2n1）
丄，所以综上有
6n
（n1）（2n1）
例4.（2008
年全国一卷
设函数
f（x）xxlnx.数列
满足0a,1.a„1f（an）.设b（a,），整数k》日1b.证
a,lnb
ak1ak
b,否则若am
b（m
k），则由0a1amb1知
amInam
a1lnama1lnb
0,
ak1
ak
kk
alnaaalna，因为alnak（alnb）
kk~mmmm1
m1m1
于是ak1
a1k|a1lnb|
a1
（b
aj
b
是递增数列，故存在正整数mk,使amb,则
解析：
由数学归纳法可以证明
例5.已知n,m
N,x
1,S1m2m
3m
nm,求证：
nm1（m1）Sn（n1）m11.
解析:
首先可以证明
:
（1x）n
1nx
m1m1
nn（n
1）（n
1）m1（n2）
m1
n
m1m1m
10[k（k1）
k1
1］所以要证
nm1（m1）Sn
（n1）m1
〔只要证:
[km1（k1）m1]（m
n
1）km
（n1）m11
（n
1）m1nm1nm1（n1）m1
n
2m11m1[（k1）m1km1]
故只
要证n[km1（k1）m1]
k1
n
（m1）km
k1
[（k
1
1）m1km1］，即等价于
m1m
k（k1）
1m
（m1）k
（k
1）m
1km,即等价于
（1丄广1,1m1k
（1
1、m1'k）
而正是成立的
，所以原命题成立.
例6.已知a
—I
4n
2n,
2n
，求证:
t
T3
in
a1a2
解析:
T
n
41
42
43
4n（2122
2n）
4（1
4n）
A~
2（1~2
2n）
4
Z（4n
3
1）
2（1
2n）
所以
Tn
■4
（4n1）2（12n）
3
2n
■4
2
3
2n1
2
~2
3
2n1
（22n
2n
%
1）
32n
2n
从而t
Tn
1
2n1
例7.已知x,
1,
Xn
n（n2k
n
1（n
1,k
2k,k
Z），求证:
Z）
4X2nX2n
2（n
1）（nN*）
证明：
1
4x2nX2n14（2n1）（2n1）
1
44n22n
所以
nn1，所以
1
4■
*X2nX2n1
-2（mn）
1
4X2X34x4X5
1
4X2nX2n1
2（n
1）（nN*）
二、函数放缩
例8.求证：
巴2ln3
2
ln4
4
ln3n
3n
5n
6
6（nN
）.
解析:
先构造函数有
Inx
Inx
X
1,从而
X
ln2
~2~
ln3
"3~
ln4
一3n
9
8
7
6
5
4
3
2
ln3n
"3^
n
2
53
3
9
9
3n1
3n1
5n
66
9
18
27
23n1
3n
6
所以ln2
ln3
ln4
ln3n
3n1
5n3
n5n
6
2
3
4
3n
xJ1
6
6
例9.求证
:
（1）
2,
ln2ln3
lnn
2n2
n1/
（n
2）
23
n
2（n
1）
解析:
构造函数
f（X）
lnx，得
寻至UInnInn
2,再进;
行裂项.
lnn2
21
丄1
1,求和后可以得到答案
X
nn2
n
n
n（n1）
函数构造形式
：
ln:
XX
1,lnnn
1（
2）
例10.求
证:
1
1
1
ln（n
1）1
1
1
2
3
n1
2
n
解析:
提示：
In（n1）In_1n
nn1
lnn1
n
Inn
n1
In2
函数构造形式：
||彳1
Inxx,Inx1
x
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图，取函数
1f（x）
x
首先：
S
SABCF
1,从而,1i
n
ix
|nxini
Inn
ln（n
i）
取i1有，1
n
Inn
ln（n
1）'
1
In2，
3
In3
In2,…
Inn
In（n
1）,
In（n1）
n1
另一方面
［，从而有1
ix
Inx
ix
iniInn
In（n
i）
Inn
In（n1）'
所以有In（n1）1
1，所以综上有
n
In（n
1）
例11.求证:
（11）（1
2!
1
3!
）
（1
1
n!
）
e和（1
1.
9）（181）
（1
1
32
n）e-
解析:
构造函数后即可证明
例12.求证:
（112）
（1
23）
[1
n（n1）]
e2n3
解析:
ln[n（n1）1]
23，叠加之后就可以得到答案
n（n1）1
所以f（x）
f
（2）0,所以ln（x1）
x2,令xn21有,Inn2
所以inn口所以兰
厂3
In3In4
Inn
n1
乜』（nN*,n1）
4
例14.已知a
1,an1
（1
n2
n）an
1证明
尹
解析：
an1
（1
2n
（1
1
n（n1）
2^）a
然后两边取自然对数，可以得到
lnan1
ln（1
1
n（n1）
1
）Ina
2n
函数构造形式：
*1）23（x0）1ln（1x）3%。
）（加强命题）
x1xx1
例13.证明
:
In2
In3In4
Inn
n（n
1）
（nN*,n1）
3
45
n1
4
解析:
构造函数
f（x）
ln（x1）
（x1）
1（x
1）,求导，可以得到：
1
f（x）
12
x,令f'（x）
0有1
x
2,令f'（x）0有x2,
x1x
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