函数值域的求法大全.docx
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函数值域的求法大全
函数值域的求法大全
题型一求函数值：
特别是分段函数求值
12
例1已知f（x）=-（x€R,且x工一1）,g（x）=x+2（x€R）.
1十—
（1）求f
（2）,g
（2）的值；
（2）求f[g（3）]的值.
”111
解
（1）•••f（x）=,•••f
（2）==-.
1十x1+23
2
又•/g（x）=x十2,
2
•g
（2）=2+2=6.
2
（2）•••g（3）=3+2=11,
11
•-f[g（3）]=f（11）=1—11=悝.
反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解
析式计算，对于f[g（x）]型的求值，按由内到外”的顺序进行，要注意f[g（x）]与g[f（x）]的区别.
—十1
跟踪训练4已知函数f（x）=.
—十2
（1）求f
（2）；
（2）求f[f
（1）].
—十12+13
2
f23十15
=f（3）=厂=8.
3十2
解
（1）•••f（x）=X+2，•f
（2）=2十2=4.
1十12
（2）f
（1）=乐=3,f[f
（1）]
5.已知函数f（x）=—十x—1.
1
（1）求f
（2）,f（—）；
z\.
（2）若f（—）=5,求—的值.
解
（1）f
（2）=22十2—1=5,
2
1111十———
f（）=2十—1=2.
XXX—
⑵■/f（x）=x2+x—1=5,「.x2+x—6=0,
•-—=2，或—=—3.
⑶
4.函数f（x）对任意自然数—满足f（x十1）=f（x）十1,f（0）=1,则f（5）=
答案6
解析f
（1）=f（0）+1=1+1=2,f
（2）=f
（1）+1=3,
f（3）=f
（2）+1=4,f（4）=f（3）+1=5,f（5）=f（4）+1=6.
二、值域是函数y=f（x）中y的取值范围。
常用的求值域的方法：
（1）直接法
（2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法（4）配方法
（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法（8）判别式法
（9）复合函数法（10）不等式法
（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b（a0）的定义域为R,值域为R;
ky—（k0）
反比例函数x的定义域为｛x|x0｝，值域为｛y|y0｝;
2
二次函数f（x）axbxc（a0）的定义域为R，
22
y|y
当a>0时，值域为｛
（4acb）.（4acb）
y|y
4a｝；当a<0时，值域为｛4a｝.
例1求下列函数的值域
1y=3x+2（-1x1）
9
2f（x）二（1x3）
3x
1厂
当x>0,•yx=（x
x
1
③yx（记住图像）
x
解：
①•••-1x1,•••-33x3,
•••-13x+25，即-1y5，•值域是[-1,5]
②略
当x<0时，
1——12
y（XX）22.
xVx
•值域是（
2][2,+）.（此法也称为配方法）
函数yx
1
的图像为：
x
二次函数在区间上的值域（最值）：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域:
1t抛物线的开口向上，函数的定义域R,
•••x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y
2•••顶点横坐标2[3,4],
当x=3时，y=-2;x=4时，y=1;
二在[3,4]上，ymin=-2,ymax=1；值域为卜2,1].
3T顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1;x=1时,
•在[0,1]上，ymin=-2,ymax=1；值域为卜2,1].
4t顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1;x=2时,
-3}.
3
1
2
1
-2-1o-1
-2
-3
1
23456x
J
y=-2,
y=-3,x=5时，y=6,
①y
x24x
1;②；
2
yx4x1,x[3,4]
③y
x24x
1,x[0,1]；④y
x24x1,x[0,5]；
解：
t
•2
yx
4x1（x2）23,
•顶点为（2,-3），顶点横坐标为2
注：
对于二次函数
x0是否属于区间[a,b].
•••在[0,1]上，ymin=-3,ymax=6;值域为[-3,6].
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当x
—时,
其最小值丫皿山
2
（4acb）；
;
2a
4a
②当a<0时，则当x
P时,
2a
其最大值ymax
2
（4acb）•4a'
f（x）ax2bxc（a0）,
⑵若定义域为x[a,b],
则应首先判定其顶点横坐标
1若Xo[a,b],则f（Xo）是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
再比较f（a）,f（b）的大小决定函数的最大（小）值•
2若Xo[a,b],则[a,b]是在f（x）的单调区间内，只需比较f（a）,f（b）的大小即可决定
函数的最大（小）值.
注：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
练习：
1、求函数y=3+..23x的值域
解：
由算术平方根的性质，知.23x>0,故3+..23x>3。
・••函数的值域为
3,
2、求函数yx22x5,x0,5的值域
x1时,ymin4
解：
对称轴x10,5x5时，ymax20
值域为4,20
1单调性法
例3求函数y=4x—.13x（x<1⑶的值域。
设f（x）=4x,g（x）=—.13x,（xw1⑶，易知它们在定义域内为增函数，从而
y=f（x）+g（x）=4x-.13x
在定义域为xw1/3上也为增函数，而且ywf（1⑶+g（1⑶=4/3,因此，所求的函数值域为
{y|yw4/3}。
小结：
禾U用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函
数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：
求函数y=3+-、4x的值域。
（答案：
{y|y>3}）
2换元法
例4求函数yx2.1x的值域
解：
设.1xt，则yt22t1（t0）
对称轴t10,，且开口向下当t1时，ymax2
值域为,2
点评：
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确
定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习：
求函数y=x1x的值域。
（答案：
{y|y<-3/4}
求1sinxcosx的值域;sinxcosx
例5（三角换元法）求函数y
.1x2的值域
解:
xcos
0,
ycos
sin
cos
sin
2sin（7）
1,、2
原函数的值域为
小结：
（1）
若题目中含有
1，则可设a
sin,—
2
（或设acos,0
2
（2）
若题目中含有
22
ab1则可设
acos,b
sin
，其中0
（3）
若题目中含有
1x2，则可设x
cos，其中
（4）
若题目中含有
1x2，则可设x
tan，其中
（5）若题目中含有
xyr（xQyQr0,则可设x
rcos
y
-rsiri其中
3平方法
例5（选）求函数y、x35x的值域
解：
函数定义域为：
x3,5
222
y（x3）（5x）2、x8x15由x3,5,得x8x150,1
y22,4原函数值域为-2,2
4分离常数法
例6求函数y
x1
2的值域
3
""2
，可得值域yy1
小结:
已知分式函数
ax
练习
求函数
求函数
求函数
解法一:
解法二:
练习：
y
的要求）内,
cx
（c
0），如果在其自然定义域（代数式自身对变量
值域为
如果是条件定义域（对自变量有附加条件），
采用部分分式法将原函数化为
求值域。
ad
b
J（adcx■
bc），用复合函数法来
釈的值域
的值域
3x1
y=—1的值域；（y€（-1,
2x1
x1的值域
（图象法）可化为
观察得值域y4
（不等式法）
x1的值域
1））
（x
（x
3）
1）
1,
1）
（x
4x1
例8求函数y9x3x2（x0,1）的值域
x
解：
（换元法）设3t，则1t3原函数可化为
yt2t
值域为
2,对称轴
1,3
时，ymin2；t3时，ymax8
2,8
例9求函数y
x22x
解：
（换元法）
的值域
2x（x
1）2
t
1
3（t1）
由指数函数的单调性知,
原函数的值域为
例10求函数
y2x（x
0）
的值域
解：
（图象法）
如图,
值域为
0,1
（换元法）
设3x
3x11
3x1
3x
原函数的值域为0,1
例13函数y
2
x
x21
的值域
解法一:
（逆求法）
x2
原函数的值域为
1,1
解法二：
（换元法）设x2
1t，则
解法三:
1）y
（判别式法）
1时不成立
原函数值域即得
原函数可化为（y1）x2
004（y1）（y1）0
1y1
综合1）、
2）值域{y|1y
1}
解法四：
（三角换元法）x
R
设x
y
1
tan2
1
2
tan
2）y1时,
tan
—,—，则
22
cos2
2,
cos2
1,1
例14
求函数y
2x
仝的值域
24x3
解法一
一：
（判别式法）
化为2yx2
4yx
（3y5）0
1）y
0时,
不成立
2）y
0时,
0得
（4y）
8y（3y5）0
0
y
5
0
y
5
综合1）
、2）
值域{y|0
y
5}
原函数的值域为{y|1y1}
解法二：
（复合函数法）
令2x24x3t，则y
t2（x1）211
所以，值域{y|0y5}
1
例15函数yx1的值域
x
解法一：
（判别式法）原式可化为
x2（1y）x10
2
0（1y）40y3或y1
原函数值域为，13,
解法二：
（不等式法）1）
0时,
1
x-（x）
2）x0时，x
综合1）2）知，原函数值域为
3,
例16（选）求函数y
2x2/
（x
x1
1）的值域
解法一：
（判别式法）
原式可化为x
（2y）x
2
（2y）4（2
y2舍去
原函数值域为2,
y）0
解法二：
（不等式法）
原函数可化为
y（x1）21x112（x1）
x1x1
当且仅当
0时取等号，故值域为2,
例17（选）求函数
2
x2x2.
（2x2）的值域
x1
解：
（换元法）令x1
，则原函数可化为yt1（1t3）t
小结：
已知分式函数y
2
ax
dx2ex
bxc22
（a2d20），如果在其自然定义域内可采用
判别式法求值域;以化为
如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可
（选）y二次式丿y一次式
y二次次式）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求
出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数
a
yx（x0）的单调性去解。
x
利用判别式求值域时应注意的问题
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对
用判别式求值域掌握不好。
一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。
本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。
一、判别式法求值域的理论依据
2
例1、求函数y——的值域
xx1
象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
2
解：
由y弓一X得：
xx1
（y-1）x2+（1-y）x+y=0①
上式中显然1,故①式是关于x的一元二次方程
（1y）24y（y1）
1
令0,解得—y1,又y1
3
2
y弓一—的值域为1,
x2x13
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出
错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验
例：
求函数y
2x2
x1
2x3
的值域。
错解：
原式变形为（2y1）x2（2y1）x（3y1）0严）
231
•-xR，•••（2y1）24（2y1）（3y1）0，解得1y-。
31
故所求函数的值域是［一，一］
102
111
错因：
把y代入方程（*）显然无解，因此y不在函数的值域内。
事实上，y—
222
时，方程（*）的二次项系数为0,显然不能用“”来判定其根的存在情况。
正解：
原式变形为（2y1）x2（2y1）x（3y1）0（*）
（1）当y
1
—时，方程宀无解;
（2）当y1时，•••xR,•••
2
（2y1）24（2y1）（3y1）0,解得—y
10
综合
（1）、
（2）知此函数的值域为
、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
例2:
求函数y
x2
仝的值域。
x6
错解：
将函数式化为（y1）x2（y4）x（6y3）0
（1）当y1时，代入上式得3x90,•x3，故y1属于值域;
（2）当y1时，（5y2）20,
综合
（1）、
（2）可得函数的值域为yR。
错因：
解中函数式化为方程时产生了增根（x3与x2虽不在定义域内，但是方
程的根），因此最后应该去掉x3与x2时方程中相应的y值。
所以正确答案为
{yIy1,且y|}。
三、注意变形后函数值域的变化
例3:
求函数yx.1x2的值域。
错解：
由已知得yx1x2①，两边平方得（yx）21x2②
整理得2x22yxy210，由（2y）28（y21）0,解得2y2。
故函数得值域为［2八2］。
错因：
从①式变形为②式是不可逆的，扩大了y的取值范围。
由函数得定义域为［1,1］
易知yx1,因此函数得最小值不可能为2o•/x1时，y1,•ymin1,
故函数的值域应为
[1,■2]。
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
vx24
例4:
求函数y'2的值域。
x5
错解：
令t
2
得值域为y（0,1］。
错因：
解法中忽视了新变元
t满足条件t2。
•设f（t）yt2ty,y0,
t[2,
）,
0,y0
f
（2）0或f
（2）00
y-。
故函数得值域为
5
（0,,]。
5
1
2
2y
综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。
因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。
练习：
9（x0）；
解：
•••x
0,
（x
If
x
另外，此题利用基本不等式解更简捷:
x2
1
—92911（或利用对勾函数
x
图像法）
5
y2x24x3
05.
求函数的值域
①yx..2x;
4xx2
解：
①令u.2x0,则x2
原式可化为y2u2u
（u
1）2
4
②解：
令t=4xx20得0x4
在此区间内
2
（4xX）max=4，（4x
）min=°
•函数y
2:
4xx2的值域是{y|0
y2}
4、求函数
y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1:
将函数化为分段函数形式:
2x1（x
3（1x
2x
1（x
1）
2），画出它的图象（下图），
2）
由图象可知，函数的值域是{y|y
3}.
解法2：
v函数y=|x+1|+|x-2|
表示数轴上的动点
x到两定点-1,2的距离之和，•••易见
6、（选）
求函数y
x25x
~2
xx
—的值域
6
方法一:
去分母得
2
（y1）x+（y+5）x
6y6=0
R=（y+5）2+4（y
1）x6（y+1）
y的最小值是3,二函数的值域是
[3,+].如图
x-1O
1
2
吐"心、
-1Ox12
-1O
12x
5、求函数
y
2x
41
x的值域
解：
设t
1
x
则t
2
0x=1t2
代入得y
f
（t）
2（1
t2）4t2t24t2
2（t
1）24
4
•/10
由此得（5y+1）
检验y
（有一个根时需验证）时
1
5
2（6）
5
2（代入①求根）
•/2
定义域{x|x2且x3}
•••y
再检验y=1代入①求得x=2•y1
综上所述，函数y
笃一5x_6的值域为{y|y
xx6
5}
方法二：
把已知函数化为函数
（X2）（X3）
（x2）（x3）
2）
由此可得y1,•••x=2时y
1
•函数y
5
2
x
~2
x
5^-6的值域为{y|
x6
□1y1且y}，5
函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.求函数y
解：
•/x0
丄
X的值域。
显然函数的值域是：
（，0）（0，）
例2.求函数y3-x的值域解：
x0
'•X0,3:
x3
故函数的值域是：
[，3]
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一
2
例3.求函数yx2x5,x[仁]的值域。
2
解:
将函数配方得：
y（X1）4
•/X[1,2]
由二次函数的性质可知：
当x=1时，ymin4，当X1时，ymax8故函数的值域是：
［4,8］
3.判别式法
1XX2
例4.求函数y1X2的值域。
解：
原函数化为关于X的一元二次方程
（y1）x2（y1）x0
（1）当y1时，xR
（1）24（y1）（y1）0
1
13
2，2
解得：
2
1
（2）当y=1时，Xo，而
13
故函数的值域为彳2
例5.求函数yXgx）的值域。
22
解:
两边平方整理得：
2X2（y1）Xy0
（1）
•/xR
4（y1）28y0
解得：
12y12
但此时的函数的定义域由X（2X）0，得0x2
22
由0,仅保证关于X的方程：
2X2（y1）Xy0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间［0,2］上,即不能确保方程
（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为
13
2,2
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
•/0x2
yx
..x（2x）0
ymin
0,y12代入方程
（1）
2<224佢
解得：
X1运[0,2]
2•、2242
x
即当12时，
原函数的值域为：
【°，12]
注：
由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分易9除。
4.反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x4
例6.求函数5x6值域。
46y
x
解:
由原函数式可得：
5y3
46y3
则其反函数为：
y5x3,其定义域为：
％5
3
故所求函数的值域为：
，5
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
ex1
y
例7.求函数ex1的值域。
ex口
解:
由原函数式可得：
y1
/ex
口°
y1
解得：
1y1
故所求函数的值域为（⑺）
COSX
例8.求函数ySinx3的值域。
解:
由原函数式可得:
ysinxcosx
3y,可化为:
y21sinx（x
）3y
sinx（x
即
_3y_
y21
•/xR
sinx（x）[1,1]
3y
1—21
即.y1
解得：
TyT
故函数的值域为4，4
6.函数单调性法
例9.求函数y2x5log3x1（2x10）的值域。
解：
令y12x5,y2log3x1
则y1，y2在［2,10］上都是增函数所以yyy2在［2，10］上是增函数
当x=2时，
ymin
Iog31
8
当x=
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