最全函数值域的12种求法附例题习题1.docx
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最全函数值域的12种求法附例题习题1
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
例1求函数y=3+"(告3x)的值域。
点拨:
根据算术平方根的性质,先求出V(2-3x)的值域。
解:
由算术平方根的性质,知V(2-3x)>,0
故3+V(2-3x)
二函数的知域为.
点评:
算术xx具有双重非负性,即:
(1)被开方数的非负性0
(2)值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解0这种方法对于一类函数的值域的求法0简捷明了0不失为一种巧法。
练习:
求函数y=[x](0(
答案:
值域为:
{0,1,2,3,4,5})
二.反函数法
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨:
先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
解:
显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:
x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y工啲实数,故函数y的值域为
{yIyz1*R}。
点评:
利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
练习:
求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(
答案:
函数的值域为{yIy<-1或y>1})
三.配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求
函数值域
例3:
求函数『="—x+x+2)的值域。
点拨:
将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。
解:
由—x2+x+2>可知函数的定义域为x€[—1,2]。
此时—x2
+x+2=—(x—)2+€[0,/.0+x+2密数的值域是
点评:
求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习:
求函数y=2x—5+"1—4x的值域.(
答案:
值域为{yIy<3})
四.判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函
数的值域。
例4求函数y=(2x2
—2x+3)/(x2
—x+1)的值域。
点拨:
将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。
解:
将上式化为(y—2)x2
—(y—2)x+(y-3)=0(*)
当y^22寸,由A=(y—2)2
—4(y—2)x+(y—3)》,解得:
2vx<2当y=2时方程严)无解。
二函数的值域为2vy<
点评:
把函数关系化为二次方程F(x,y)=O,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。
常适应于形如y=(ax2
+bx+c)/(dx2
+ex+f)及y=ax+b±V(cx2
+dx+e)的函数。
2练习:
求函数y=1/(2x—3x+1)的值域。
(
答案:
值域为8或y>0)。
五.最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x)可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x-x-3)/(3x+x+1)畦0满足x+y=1求函数z=xy+3x的值域。
点拨:
根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。
解:
v3x2
+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2
-x-3<0同解,解之得—1•••z=-(x-2)2
+4且乂€函数z在区间上连续,故只需比较边界的大小。
22
A.(—*,+x)
B.[—7,+x]
C.[0,+*)
D.[—5,+*)
(
答案:
D)。
六.图象法
通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=Ix+1I+V(x2)2
的值域。
点拨:
根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象
解:
原函数化为—2x+1(x<1)
y=3(-12x-1(x>2)
它的图象如图所示
显然函数值y》3所以,函数值域[3,+oo]0
点评:
分段函数应注意函数的端点。
利用函数的图象
求函数的值域,体现数形结合的思想。
是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等
方法求函数的值域。
七.单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x—"-3x(x的值域。
点拨:
由已知的函数是复合函数,即g(x)二—V-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为在
此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。
解:
设f(x)=4x,g(x)=-V-3x,(x易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)二
4x—Vi3x在定义域为xW上也为增函数,而且y裁此,所求的函数值域为
{y|y哼。
点评:
利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区
间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。
练习:
求函数y=3+V4的值域。
(
答案:
{y|y可)
八.换元法
以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。
例2求函数y=x-3+"2x+1勺值域。
点拨:
通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。
解:
设t=V2x+1(t>),则。
于是》
所以,原函数的值域为{y|y亠}。
点评:
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习:
求函数y=V-1—的值域。
(
答案:
{y|y—
九.构造法
根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。
例3求函数x2
+4x+5+Vx2
-4x+8的值域。
点拨:
将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。
解:
原函数变形为f(x)=V(x+2)2
+1+V(-2x)2
+22
作一个长为
4、宽为3的矩形ABCD再切割成12个单位
正方形。
设日心乂则ek=2~x,KF=2+x,AK=VX)2
+22,
KC=V(x+2)2
+1。
由三角形三边关系知,AK+KOAC=5当
A、K、C三点共
线时取等号。
•••原函数的知域为{y|y05。
十.比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。
例4已知x,y€R,且3x-4y-5=0求函数Z=x+y的值域。
点拨:
将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。
解:
由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
x=3+4k,y=1+3k,
z=x+y=(3+4k)+(14+3k)=(5k+3)+o1
当k二一时,一时,Zmin=1i
函数的值域为{z|z.
点评:
本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识1
练习:
已知x,y€R,且满足4x-y二0求函数f(x,y)=2x-y的值域。
(
答案:
{f(x,y)|f(x,y)})1
十一.利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域°
点拨:
将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和
解:
y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
t1/(x+1),^故0y工。
2
2222
二函数y的值域为y工的一切实数。
点评:
对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习:
求函数y=(x-1)/(x-1)(x工的值域。
(
答案:
y工2
十二.不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨:
先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。
解:
易求得原函数的反函数为y=log
3[x/(1-x)],
由对数函数的定义知x/(1-x)>0
1-x工0
解得,Ovx<1。
二函数的值域(0,1)。
点评:
考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。
不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。
是数学解题的方法之一。
以下供练习选用:
求下列函数的值域
1.Y="(1§4x)+2x-5;({y|y<}3)
2.Y=2x/(2x—1)。
(y>1或y<0)2