函数值域的求法大全.docx

1、函数值域的求法大全函数值域的求法大全题型一求函数值：特别是分段函数求值1 2例 1 已知 f (x) = -(x R,且 x 工一1) , g(x) = x + 2( x R).1十(1) 求 f(2) , g(2)的值；(2) 求 f g(3)的值.” 1 1 1解 (1) f(x) = , f(2)= =-.1 十 x 1 + 2 32又/ g(x) = x 十 2,2 g(2) = 2 + 2= 6.2(2) g(3) = 3 + 2= 11,1 1-fg(3) = f(11) = 111 =悝.反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系 f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，

2、对于fg(x)型的求值，按 由内到外”的顺序进行，要注意 fg(x)与gf(x) 的区别.十1跟踪训练4已知函数f(x)= .十2(1) 求 f(2) ； (2)求 ff(1).十 1 2 + 1 32f 2 3十 1 5=f(3)=厂=8.3十2解(1) f(x) = X+2， f(2) = 2十2 = 4.1十1 2(2) f(1)=乐=3, ff(1)5.已知函数f (x)=十x 1.1(1) 求 f(2) , f()；z.(2) 若f () = 5,求的值.解(1) f (2) = 22 十 2 1 = 5,21 1 1 1 十f ( ) = 2 十1 = 2 .XXX / f (x)

3、 = x2 + x 1 = 5,. x2+ x 6= 0, - = 2，或=3.4.函数f (x)对任意自然数 满足f (x十1) = f (x)十1, f (0) = 1,则f (5) = 答案 6解析 f(1) = f(0) + 1 = 1 + 1 = 2, f(2) = f(1) + 1 = 3,f(3) = f(2) + 1 = 4, f(4) = f (3) + 1 = 5, f (5) = f (4) + 1 = 6.二、值域是函数y=f（x）中y的取值范围。常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法 （4）配方法（5）换元法 （包括三角换元）（

4、6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法 （8）判别式法（9）复合函数法 （10 ）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b（a 0）的定义域为R,值域为R;k y （k 0）反比例函数 x 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0;2二次函数f（x） ax bx c（a 0）的定义域为R，2 2y| y当a0时，值域为(4ac b ) . (4ac b )y |y4a ；当a0, y x = ( xx1y x (记住图像)x解： -1 x 1 , -3 3x 3, -1 3x+2 5，即-1 y 5，值域是-

5、1 , 5略当x0时，则当x时,其最小值丫皿山2(4ac b )；;2a4a当a0)时或最大值(a 0,故3+ . 2 3x 3。函数的值域为3,2 、求函数y x2 2x 5 , x 0,5的值域x 1 时,y min 4解： 对称轴x 1 0,5 x 5时，ymax 20值域为 4,201单调性法例3 求函数y=4x .1 3x (x 3)2换元法例4 求函数y x 2 .1 x的值域解：设.1 x t，则 y t2 2t 1 (t 0)对称轴t 1 0,，且开口向下 当t 1时，ymax 2值域为 ,2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数

6、的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分 广泛。练习：求函数y=x 1 x的值域。(答案：y|y - 3/4 求1 sin xcosx的值域; sin x cosx例5 (三角换元法)求函数 y.1 x2的值域解:x cos0,y cossincossin2sin( 7)1,、2原函数的值域为小结：(1)若题目中含有1，则可设asin , 2(或设a cos ,02(2)若题目中含有2 2a b 1 则可设a cos , bsin，其中0(3)若题目中含有1 x2，则可设xcos ，其中(4)若题目中含有1 x2，则可设xtan ，其中(5)若题目中含有x y r (x Q

7、y Qr 0,则可设 xrcos,y-rsiri 其中3平方法例5 (选)求函数y 、x 3 5 x的值域解：函数定义域为： x 3,52 2 2y (x 3) (5 x) 2、 x 8x 15由 x 3,5 ,得 x 8x 15 0,1y2 2,4 原函数值域为 -2 ,24分离常数法例6 求函数yx 12的值域32，可得值域y y 1小结:已知分式函数ax练习求函数求函数求函数解法一:解法二:练习：y的要求）内,cx(c0），如果在其自然定义域（代数式自身对变量值域为如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为求值域。adb J (ad cx bc），用复合函数法来釈

8、的值域的值域3x 1y= 1 的值域；(y (-1 ,2x 1x 1 的值域（图象法）可化为观察得值域y 4（不等式法）x 1的值域1）(x(x3)1)1,1)(x4 x 1例8 求函数y 9x 3x 2 (x 0,1 )的值域 x解：（换元法）设3 t ，则1 t 3原函数可化为y t2 t值域为2 , 对称轴1,3时，ymin 2 ； t 3 时，ymax 82,8例9求函数yx2 2x解：（换元法）的值域2x (x1)2t13 (t 1)由指数函数的单调性知,原函数的值域为例10 求函数y 2x (x0)的值域解：（图象法）如图,值域为0,1（换元法）设3x3x 1 13x 13x原函数

9、的值域为0,1例13函数y2xx2 1的值域解法一:（逆求法）x2原函数的值域为1,1解法二：（换元法）设x21 t ，则解法三:1) y（判别式法）1时不成立原函数值域即得原函数可化为 （y 1）x20 0 4(y 1)(y 1) 01 y 1综合1）、2)值域y | 1 y1解法四：（三角换元法） xR设xy1tan212tan2) y 1 时,ta n,，则2 2cos 22 ,cos 21,1例14求函数y2x仝 的值域2 4x 3解法一一：（判别式法）化为2yx24yx(3y 5) 01)y0时,不成立2)y0时,0得(4y)8y(3y 5) 00y50y5综合1）、2）值域y |

10、0y5原函数的值域为y | 1 y 1解法二：（复合函数法）令 2x2 4x 3 t，则 yt 2(x 1)2 1 1所以，值域y|0 y 51例15函数y x 1的值域x解法一：（判别式法）原式可化为x2 (1 y)x 1 020 (1 y) 4 0 y 3 或 y 1原函数值域为 ，1 3,解法二：（不等式法）1）0时,1x - ( x)2) x 0 时， x综合1） 2）知，原函数值域为3,例16 （选）求函数y2x 2 /(xx 11）的值域解法一：（判别式法）原式可化为 x(2 y)x2（2 y） 4（2y 2舍去原函数值域为2 ,y) 0解法二：（不等式法）原函数可化为y (x 1

11、)2 1 x 1 1 2( x 1)x 1 x 1当且仅当0时取等号，故值域为 2,例17 （选）求函数2x 2x 2 .(2 x 2)的值域x 1解：（换元法）令x 1，则原函数可化为 y t 1 （ 1 t 3） t小结：已知分式函数y2axdx2 exbx c 2 2（a2 d2 0），如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域; 以化为如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍， 或者可（选）y二次式 丿y 一次式y 二次次式）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函 数ay x （x 0）的单调性去解。x利用判别式

12、求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法， 但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数 求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈 谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据2例1、求函数y 的值域x x 1象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数 可以考虑用判别式法求值域。2解：由y 弓一X得：x x 1(y-1)x2+(1-y)x+y=0 上式中显然1,故式是关于x的一元二次方程(1 y)2 4y(y 1)1令 0,解得 y 1,又y 132y 弓一的值域为 1,x2 x 1 3用判

13、别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法， 但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验例：求函数y2x2x 12x 3的值域。错解：原式变形为(2y 1)x2 (2y 1)x (3y 1) 0 严)2 3 1- x R， (2y 1)2 4(2y 1)(3y 1) 0，解得 1y -。3 1故所求函数的值域是一，一10 21 1 1错因：把y 代入方程(*)显然无解，因此y 不在函数的值域内。事实上，y 2 2 2时，方程(*)的二次项系数为 0,显然不能用“ ”来判定其根的存在情况。正解：原

14、式变形为(2y 1)x2 (2y 1)x (3y 1) 0 (*)(1)当 y1时，方程宀无解;(2)当 y 1 时， x R ,2(2y 1)2 4(2y 1)(3y 1) 0,解得 y10综合（1 ）、（2）知此函数的值域为、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例2:求函数yx2仝的值域。x 6错解：将函数式化为（y 1）x2 （y 4）x （6y 3） 0（1 ）当y 1时，代入上式得 3x 9 0, x 3，故y 1属于值域;(2)当 y 1 时， (5y 2)2 0 ,综合（1）、（ 2）可得函数的值域为 y R。错因：解中函数式化为方程时产生了增根（ x 3与x 2虽不在定义域内

15、，但是方程的根），因此最后应该去掉 x 3与x 2时方程中相应的 y值。所以正确答案为yIy 1,且 y |。三、注意变形后函数值域的变化例3:求函数y x .1 x2的值域。错解：由已知得y x 1 x2 ，两边平方得（y x）2 1 x2 整理得 2x2 2yx y2 1 0，由 （2y）2 8（y2 1） 0,解得 2 y 2。故函数得值域为2八2。错因：从式变形为式是不可逆的，扩大了 y的取值范围。由函数得定义域为 1,1易知y x 1,因此函数得最小值不可能为 2 o / x 1时，y 1, ymin 1 ,故函数的值域应为1, 2。四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性v x

16、2 4例4:求函数y 2 的值域。x 5错解：令t2得值域为y （0,1。错因：解法中忽视了新变元t 满足条件 t 2。设 f (t) yt2 t y , y 0 ,t 2,),0,y 0f(2) 0或f (2) 0 0y -。故函数得值域为5(0,。5122y综上所述，在用判别式法求函数得值域时， 由于变形过程中易出现不可逆得步骤， 从而 改变了函数得定义域或值域。因此， 用判别式求函数值域时， 变形过程必须等价， 必须考虑 原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。练习：9(x 0)；解： x0,(xIfx另外，此题利用基本不等式解更简捷:x21 9 2 9 11

17、（或利用对勾函数x图像法）5y 2x2 4x 30y5.求函数的值域 y x . 2 x ;4x x2解：令u . 2 x 0,则x 2原式可化为y 2 u2 u(u1)24解：令t=4x x2 0得0 x 4在此区间内2(4x X ) m ax =4 ， (4x)min =函数y2 : 4x x2的值域是 y| 0y 24、求函数y=|x+1|+|x-2| 的值域.解法1:将函数化为分段函数形式:2x 1(x3( 1 x2x1(x1）2），画出它的图象（下图），2）由图象可知，函数的值域是 y|y3.解法 2：v 函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1 , 2的距离之

18、和，易见6、（选）求函数yx2 5x2x x的值域6方法一:去分母得2(y 1) x +(y+5)x6y 6=0R =(y+5) 2 +4(y1) x 6(y+1)y的最小值是3,二函数的值域是3 , + . 如图x -1 O12 吐 心 、 -1 Ox 1 2-1 O1 2 x5、求函数y2x41x的值域解：设t1x则t20 x=1 t2代入得yf(t)2 (1t2) 4t 2t2 4t 22(t1)2 44/1 0由此得（5y+1）检验y（有一个根时需验证）时152( 6)52 （代入求根）/ 2定义域 x| x 2且x 3 y再检验y=1代入求得x=2 y 1综上所述，函数y笃一5x_6

19、的值域为 y| yx x 65方法二：把已知函数化为函数(X 2)(X 3)(x 2)(x 3)2)由此可得y 1 , x=2时y1函数y52x2x5-6的值域为 y|x 6 1 y 1 且 y ， 5函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数y解：/ x 0丄X的值域。显然函数的值域是：（，0） （0，）例2.求函数y 3 -x的值域 解：x 0X 0,3 : x 3故函数的值域是：，32.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一2例3.求函数y x 2x 5,x 仁的值域。2解:将函数配方得：y（X 1） 4/ X 1,2由二次函数的性质

20、可知：当x=1时，ymin 4，当X 1时，ymax 8 故函数的值域是：4 , 83. 判别式法1 X X2例4.求函数y 1 X2的值域。解：原函数化为关于X的一元二次方程(y 1)x2 (y 1)x 0(1)当 y 1 时，x R(1)2 4(y 1)(y 1) 011 32，2解得：21(2)当 y=1 时，X o，而1 3故函数的值域为彳2例5.求函数y X g x)的值域。2 2解:两边平方整理得：2X 2(y 1)X y 0 (1)/ x R4(y 1)2 8y 0解得：1 2 y 1 2但此时的函数的定义域由X(2 X) 0，得0x 22 2由0 ,仅保证关于X的方程：2X 2

21、(y 1)X y 0在实数集R有实 根，而不能确保其实根在区间0 , 2上,即不能确保方程(1)有实根， 由 0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为1 32,2可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。/ 0x2y x.x(2 x) 0y min0,y 1 2代入方程(1)2 2 24 佢解得：X1 运 0,22 、2 24 2x 即当1 2 时，原函数的值域为：【，1 2注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集 时，应综合函数的定义域，将扩大的部分易9除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。3x 4例6.

22、求函数5x 6值域。4 6yx 解:由原函数式可得：5y 34 6y 3则其反函数为：y 5x 3 ,其定义域为： 53故所求函数的值域为：，55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主 来确定函数的值域。ex 1y 例7.求函数 ex 1的值域。ex 口解:由原函数式可得： y 1/ex口 y 1解得：1 y 1故所求函数的值域为（）COSX例8.求函数y Sinx 3的值域。解:由原函数式可得:ysinx cosx3y,可化为:,y2 1 sin x(x)3ysin x(x即_3y_y2 1/ x Rsin x(x ) 1,13y1 2 1即 .y 1解得：T y T故函数的值域为 4，46. 函数单调性法例9.求函数y 2x5 log3 x 1(2 x 10)的值域。 解：令 y1 2x 5,y2 log3 x 1则y1，y2在2, 10上都是增函数 所以y y y2在2，10上是增函数当x=2时，y minIog318当x=