1、函数值域的求法大全函数值域的求法大全题型一求函数值:特别是分段函数求值1 2例 1 已知 f (x) = -(x R,且 x 工一1) , g(x) = x + 2( x R).1十(1) 求 f(2) , g(2)的值;(2) 求 f g(3)的值.” 1 1 1解 (1) f(x) = , f(2)= =-.1 十 x 1 + 2 32又/ g(x) = x 十 2,2 g(2) = 2 + 2= 6.2(2) g(3) = 3 + 2= 11,1 1-fg(3) = f(11) = 111 =悝.反思与感悟 求函数值时,首先要确定出函数的对应关系 f的具体含义,然后将变量代入解析式计算,
2、对于fg(x)型的求值,按 由内到外”的顺序进行,要注意 fg(x)与gf(x) 的区别.十1跟踪训练4已知函数f(x)= .十2(1) 求 f(2) ; (2)求 ff(1).十 1 2 + 1 32f 2 3十 1 5=f(3)=厂=8.3十2解(1) f(x) = X+2, f(2) = 2十2 = 4.1十1 2(2) f(1)=乐=3, ff(1)5.已知函数f (x)=十x 1.1(1) 求 f(2) , f();z.(2) 若f () = 5,求的值.解(1) f (2) = 22 十 2 1 = 5,21 1 1 1 十f ( ) = 2 十1 = 2 .XXX / f (x)
3、 = x2 + x 1 = 5,. x2+ x 6= 0, - = 2,或=3.4.函数f (x)对任意自然数 满足f (x十1) = f (x)十1, f (0) = 1,则f (5) = 答案 6解析 f(1) = f(0) + 1 = 1 + 1 = 2, f(2) = f(1) + 1 = 3,f(3) = f(2) + 1 = 4, f(4) = f (3) + 1 = 5, f (5) = f (4) + 1 = 6.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合)(3)函数单调性法 (4)配方法(5)换元法 (包括三角换元)(
4、6)反函数法(逆求法)(7)分离常数法 (8)判别式法(9)复合函数法 (10 )不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R;k y (k 0)反比例函数 x 的定义域为x|x 0,值域为y|y 0;2二次函数f(x) ax bx c(a 0)的定义域为R,2 2y| y当a0时,值域为(4ac b ) . (4ac b )y |y4a ;当a0, y x = ( xx1y x (记住图像)x解: -1 x 1 , -3 3x 3, -1 3x+2 5,即-1 y 5,值域是-
5、1 , 5略当x0时,则当x时,其最小值丫皿山2(4ac b );;2a4a当a0)时或最大值(a 0,故3+ . 2 3x 3。函数的值域为3,2 、求函数y x2 2x 5 , x 0,5的值域x 1 时,y min 4解: 对称轴x 1 0,5 x 5时,ymax 20值域为 4,201单调性法例3 求函数y=4x .1 3x (x 3)2换元法例4 求函数y x 2 .1 x的值域解:设.1 x t,则 y t2 2t 1 (t 0)对称轴t 1 0,,且开口向下 当t 1时,ymax 2值域为 ,2点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数
6、的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分 广泛。练习:求函数y=x 1 x的值域。(答案:y|y - 3/4 求1 sin xcosx的值域; sin x cosx例5 (三角换元法)求函数 y.1 x2的值域解:x cos0,y cossincossin2sin( 7)1,、2原函数的值域为小结:(1)若题目中含有1,则可设asin , 2(或设a cos ,02(2)若题目中含有2 2a b 1 则可设a cos , bsin,其中0(3)若题目中含有1 x2,则可设xcos ,其中(4)若题目中含有1 x2,则可设xtan ,其中(5)若题目中含有x y r (x Q
7、y Qr 0,则可设 xrcos,y-rsiri 其中3平方法例5 (选)求函数y 、x 3 5 x的值域解:函数定义域为: x 3,52 2 2y (x 3) (5 x) 2、 x 8x 15由 x 3,5 ,得 x 8x 15 0,1y2 2,4 原函数值域为 -2 ,24分离常数法例6 求函数yx 12的值域32,可得值域y y 1小结:已知分式函数ax练习求函数求函数求函数解法一:解法二:练习:y的要求)内,cx(c0),如果在其自然定义域(代数式自身对变量值域为如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为求值域。adb J (ad cx bc),用复合函数法来釈
8、的值域的值域3x 1y= 1 的值域;(y (-1 ,2x 1x 1 的值域(图象法)可化为观察得值域y 4(不等式法)x 1的值域1)(x(x3)1)1,1)(x4 x 1例8 求函数y 9x 3x 2 (x 0,1 )的值域 x解:(换元法)设3 t ,则1 t 3原函数可化为y t2 t值域为2 , 对称轴1,3时,ymin 2 ; t 3 时,ymax 82,8例9求函数yx2 2x解:(换元法)的值域2x (x1)2t13 (t 1)由指数函数的单调性知,原函数的值域为例10 求函数y 2x (x0)的值域解:(图象法)如图,值域为0,1(换元法)设3x3x 1 13x 13x原函数
9、的值域为0,1例13函数y2xx2 1的值域解法一:(逆求法)x2原函数的值域为1,1解法二:(换元法)设x21 t ,则解法三:1) y(判别式法)1时不成立原函数值域即得原函数可化为 (y 1)x20 0 4(y 1)(y 1) 01 y 1综合1)、2)值域y | 1 y1解法四:(三角换元法) xR设xy1tan212tan2) y 1 时,ta n,,则2 2cos 22 ,cos 21,1例14求函数y2x仝 的值域2 4x 3解法一一:(判别式法)化为2yx24yx(3y 5) 01)y0时,不成立2)y0时,0得(4y)8y(3y 5) 00y50y5综合1)、2)值域y |
10、0y5原函数的值域为y | 1 y 1解法二:(复合函数法)令 2x2 4x 3 t,则 yt 2(x 1)2 1 1所以,值域y|0 y 51例15函数y x 1的值域x解法一:(判别式法)原式可化为x2 (1 y)x 1 020 (1 y) 4 0 y 3 或 y 1原函数值域为 ,1 3,解法二:(不等式法)1)0时,1x - ( x)2) x 0 时, x综合1) 2)知,原函数值域为3,例16 (选)求函数y2x 2 /(xx 11)的值域解法一:(判别式法)原式可化为 x(2 y)x2(2 y) 4(2y 2舍去原函数值域为2 ,y) 0解法二:(不等式法)原函数可化为y (x 1
11、)2 1 x 1 1 2( x 1)x 1 x 1当且仅当0时取等号,故值域为 2,例17 (选)求函数2x 2x 2 .(2 x 2)的值域x 1解:(换元法)令x 1,则原函数可化为 y t 1 ( 1 t 3) t小结:已知分式函数y2axdx2 exbx c 2 2(a2 d2 0),如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域; 以化为如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍, 或者可(选)y二次式 丿y 一次式y 二次次式)的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函 数ay x (x 0)的单调性去解。x利用判别式
12、求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法, 但在教学过程中,很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做,二是学生对哪些函数 求值域可以用判别式法,哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈 谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据2例1、求函数y 的值域x x 1象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数 可以考虑用判别式法求值域。2解:由y 弓一X得:x x 1(y-1)x2+(1-y)x+y=0 上式中显然1,故式是关于x的一元二次方程(1 y)2 4y(y 1)1令 0,解得 y 1,又y 132y 弓一的值域为 1,x2 x 1 3用判
13、别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法, 但在用判别式法求值域时经常出错,因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题:一、要注意判别式存在的前提条件,同时对区间端点是否符合要求要进行检验例:求函数y2x2x 12x 3的值域。错解:原式变形为(2y 1)x2 (2y 1)x (3y 1) 0 严)2 3 1- x R, (2y 1)2 4(2y 1)(3y 1) 0,解得 1y -。3 1故所求函数的值域是一,一10 21 1 1错因:把y 代入方程(*)显然无解,因此y 不在函数的值域内。事实上,y 2 2 2时,方程(*)的二次项系数为 0,显然不能用“ ”来判定其根的存在情况。正解:原
14、式变形为(2y 1)x2 (2y 1)x (3y 1) 0 (*)(1)当 y1时,方程宀无解;(2)当 y 1 时, x R ,2(2y 1)2 4(2y 1)(3y 1) 0,解得 y10综合(1 )、(2)知此函数的值域为、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例2:求函数yx2仝的值域。x 6错解:将函数式化为(y 1)x2 (y 4)x (6y 3) 0(1 )当y 1时,代入上式得 3x 9 0, x 3,故y 1属于值域;(2)当 y 1 时, (5y 2)2 0 ,综合(1)、( 2)可得函数的值域为 y R。错因:解中函数式化为方程时产生了增根( x 3与x 2虽不在定义域内
15、,但是方程的根),因此最后应该去掉 x 3与x 2时方程中相应的 y值。所以正确答案为yIy 1,且 y |。三、注意变形后函数值域的变化例3:求函数y x .1 x2的值域。错解:由已知得y x 1 x2 ,两边平方得(y x)2 1 x2 整理得 2x2 2yx y2 1 0,由 (2y)2 8(y2 1) 0,解得 2 y 2。故函数得值域为2八2。错因:从式变形为式是不可逆的,扩大了 y的取值范围。由函数得定义域为 1,1易知y x 1,因此函数得最小值不可能为 2 o / x 1时,y 1, ymin 1 ,故函数的值域应为1, 2。四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性v x
16、2 4例4:求函数y 2 的值域。x 5错解:令t2得值域为y (0,1。错因:解法中忽视了新变元t 满足条件 t 2。设 f (t) yt2 t y , y 0 ,t 2,),0,y 0f(2) 0或f (2) 0 0y -。故函数得值域为5(0,。5122y综上所述,在用判别式法求函数得值域时, 由于变形过程中易出现不可逆得步骤, 从而 改变了函数得定义域或值域。因此, 用判别式求函数值域时, 变形过程必须等价, 必须考虑 原函数得定义域,判别式存在的前提,并注意检验区间端点是否符合要求。练习:9(x 0);解: x0,(xIfx另外,此题利用基本不等式解更简捷:x21 9 2 9 11
17、(或利用对勾函数x图像法)5y 2x2 4x 30y5.求函数的值域 y x . 2 x ;4x x2解:令u . 2 x 0,则x 2原式可化为y 2 u2 u(u1)24解:令t=4x x2 0得0 x 4在此区间内2(4x X ) m ax =4 , (4x)min =函数y2 : 4x x2的值域是 y| 0y 24、求函数y=|x+1|+|x-2| 的值域.解法1:将函数化为分段函数形式:2x 1(x3( 1 x2x1(x1)2),画出它的图象(下图),2)由图象可知,函数的值域是 y|y3.解法 2:v 函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1 , 2的距离之
18、和,易见6、(选)求函数yx2 5x2x x的值域6方法一:去分母得2(y 1) x +(y+5)x6y 6=0R =(y+5) 2 +4(y1) x 6(y+1)y的最小值是3,二函数的值域是3 , + . 如图x -1 O12 吐 心 、 -1 Ox 1 2-1 O1 2 x5、求函数y2x41x的值域解:设t1x则t20 x=1 t2代入得yf(t)2 (1t2) 4t 2t2 4t 22(t1)2 44/1 0由此得(5y+1)检验y(有一个根时需验证)时152( 6)52 (代入求根)/ 2定义域 x| x 2且x 3 y再检验y=1代入求得x=2 y 1综上所述,函数y笃一5x_6
19、的值域为 y| yx x 65方法二:把已知函数化为函数(X 2)(X 3)(x 2)(x 3)2)由此可得y 1 , x=2时y1函数y52x2x5-6的值域为 y|x 6 1 y 1 且 y , 5函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例1.求函数y解:/ x 0丄X的值域。显然函数的值域是:(,0) (0,)例2.求函数y 3 -x的值域 解:x 0X 0,3 : x 3故函数的值域是:,32.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一2例3.求函数y x 2x 5,x 仁的值域。2解:将函数配方得:y(X 1) 4/ X 1,2由二次函数的性质
20、可知:当x=1时,ymin 4,当X 1时,ymax 8 故函数的值域是:4 , 83. 判别式法1 X X2例4.求函数y 1 X2的值域。解:原函数化为关于X的一元二次方程(y 1)x2 (y 1)x 0(1)当 y 1 时,x R(1)2 4(y 1)(y 1) 011 32,2解得:21(2)当 y=1 时,X o,而1 3故函数的值域为彳2例5.求函数y X g x)的值域。2 2解:两边平方整理得:2X 2(y 1)X y 0 (1)/ x R4(y 1)2 8y 0解得:1 2 y 1 2但此时的函数的定义域由X(2 X) 0,得0x 22 2由0 ,仅保证关于X的方程:2X 2
21、(y 1)X y 0在实数集R有实 根,而不能确保其实根在区间0 , 2上,即不能确保方程(1)有实根, 由 0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为1 32,2可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。/ 0x2y x.x(2 x) 0y min0,y 1 2代入方程(1)2 2 24 佢解得:X1 运 0,22 、2 24 2x 即当1 2 时,原函数的值域为:【,1 2注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集 时,应综合函数的定义域,将扩大的部分易9除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。3x 4例6.
22、求函数5x 6值域。4 6yx 解:由原函数式可得:5y 34 6y 3则其反函数为:y 5x 3 ,其定义域为: 53故所求函数的值域为:,55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主 来确定函数的值域。ex 1y 例7.求函数 ex 1的值域。ex 口解:由原函数式可得: y 1/ex口 y 1解得:1 y 1故所求函数的值域为()COSX例8.求函数y Sinx 3的值域。解:由原函数式可得:ysinx cosx3y,可化为:,y2 1 sin x(x)3ysin x(x即_3y_y2 1/ x Rsin x(x ) 1,13y1 2 1即 .y 1解得:T y T故函数的值域为 4,46. 函数单调性法例9.求函数y 2x5 log3 x 1(2 x 10)的值域。 解:令 y1 2x 5,y2 log3 x 1则y1,y2在2, 10上都是增函数 所以y y y2在2,10上是增函数当x=2时,y minIog318当x=
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