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旋转教材分析

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旋转教材分析

第二十三章旋转教材分析

一、本章地位

本章学习第三种图形变换——旋转.旋转变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解（证）有关等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时，更是经常用到的思维方法.此前，学生已学习了平移、轴对称两种图形变换，对图形变换已具有一定的认识，通过本章的学习，学生对图形变换的认识会更完整，同时，也能对平移、轴对称有更深的认识.

二、课程学习目标

1、课标要求

⑴通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．

⑵了解平行四边形、圆是中心对称图形．

⑶能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形．

⑷欣赏旋转在现实生活中的应用．

⑸探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合）．

⑹灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．

2、2007年中考说明中对旋转的要求

基本要求：

通过具体实例认识图形的旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形.

略高要求：

能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转后的图形，指出旋转中心和旋转角.

较高要求：

能运用旋转的知识解决简单的计算问题；运用旋转的知识进行图案设计；与其他变换共同解决实际问题.

旋转及其性质

平移及其性质

轴对称及其性质

中心对称

中心对称图形

关于原点对称的点的坐标

图案设计

三、知识结构框图

四、课时安排

图形的旋转2课时

中心对称3课时

课题学习图案设计2课时（建议1课时）

小结1课时（建议2课时）

五、学法教法建议

1、明确学习图形变换的大致思路

⑴通过具体实例认识图形变换；

⑵探索图形变换的性质；

⑶依据图形变换的性质进行作图、计算和证明；

⑷利用图形变换进行图案设计；

⑸用坐标表示图形变换.

本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的.关于⑸，本章只涉及用坐标表示中心对称.

2、注意联系实际

旋转与现实生活联系紧密，为此，在教学中应列举了大量实例来使学生认识和感受它们，增强学生对旋转的理解.利用图形变换进行图案设计、解决实际问题又加强了图形变换与现实生活的联系．

3、注意培养动手操作的意识

教材在探索旋转的性质（P63探究）、中心对称的性质（P69探究）以及如何设计图案最美观（P78数学活动1）等问题时，安排了转动硬纸板、转动三角板、转动模板等应用动手操作来探索结论的内容.动手操作是解决问题的一种方法，应加强学生主动进行动手操作的意识.

4、注意探索结论

教材在发现旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的点的坐标特征、图形之间的变换关系、如何设计图案最美观、从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系等问题中，设置了探究活动，注意结论的探索过程.在教学中，应充分利用这些资源，进行开放式探究，重视培养学生观察、发现、归纳、说理等综合能力.

5、注意概念之间的联系

⑴平移、旋转、轴对称

学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致，主要都是研究变换过程中的不变量，是研究几何问题、发现几何结论的有效工具.平移、轴对称、旋转都是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.由于变换方式的不同，故变换前后具有各自的性质.

平移

轴对称

旋转

相同点

都是全等变换，即变换前后的图形全等.

不

同

点

定义

把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换，叫~.

把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~.

把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~.

图形

要素

平移方向

平移距离

对称轴

旋转中心、旋转方向、

旋转角度

性质

连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等.

任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.

对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.即：

对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.

⑵旋转与中心对称

中心对称是一种特殊的旋转（旋转180°），满足旋转的性质，由旋转的性质可以得到中心对称性质.

旋转

中心对称

图

形

性质

1

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

对称点所连线段都经过对称中心.

2

对应点到旋转中心的距离相等.

对称点所连线段被对称中心所平分.

3

旋转前、后的图形全等.

关于中心对称的两个图形是全等图形

⑶中心对称与轴对称

中心对称

轴对称

1

有一个对称中心——点

有一条对称轴——直线

2

图形绕中心旋转180°

图形沿轴折叠

3

旋转后与另一图形重合

折叠后与另一图形重合

中心对称与轴对可以称类比着学习，对学生掌握新知识有帮助.

教材中P78的数学活动2还从坐标的角度揭示了中心对称

与轴对称的关系.作点A关于x轴的对称点B，作点B关于y

轴的对称点C，则点A与点C关于原点对称.由此可知，将一

点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点关于原点的对称点.

中心对称

中心对称图形

区别

①指两个全等图形之间的相互位置关系.

②对称中心不定.

①指一个图形本身成中心对称.

②对称中心是图形自身或内部的点.

联系

如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形.

如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称.

⑷两个图形成中心对称与中心对称图形

⑸中心对称图形与轴对称图形

中心对称图形

轴对称图形

1

关于某一点对称

关于某一条直线对称

2

图形绕对称中心旋转180°后，与自身重合

图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分互相重合

以上五点在教学中要注意随时总结，帮助学生理清概念之间的关系.

6、注意用计算机辅助教学

利用几何画板的旋转功能，可以方便地作出一个图形绕某一点旋转某个角度后的图形.利用几何画板的度量功能，可以发现旋转变换中的不变量；关于原点对称的点的坐标特征.进行图案设计时，利用计算机，可以让学生直观地看到改变旋转中心、旋转角会出现不同的效果.同时利用计算机，可以直观地看到图形运动变换的过程.

7、从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识.

图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变，应有意识地从图形变换的角度分析图形.平移、轴对称、旋转变换，都可以在不改变图形性质的前提下，把图形移动，从而使问题的条件集中或者使图形更易于研究.从图形变换的角度思考问题，可以使问题更加明确.特别是当图形进行运动变化的时候，因为图形变换本身就是一种运动，从变换的角度更容易发现不变的量，从而更容易解决一般化的问题.图形变换可以提供添加辅助线构造全等的方法，我们平时常见的辅助线：

作平行线、截长补短、倍长中线等等，它们的实质就是在作平移、轴对称、旋转变换，目的是移动图形，集中条件，解决问题.

六、相关例题

1、利用旋转的性质确定一个旋转变换的旋转中心、旋转角，探索图形之间的变换关系.

图2

例1、如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.

①请指出其旋转中心与旋转角度；

C

A

E

D

B

图1

②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？

答案：

①旋转中心：

点A；

旋转角度：

45°（逆时针旋转）

②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）

旋转90°三次得到图2.

例2、（2006四川眉山）数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，

问：

它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？

甲同学说：

45°；

乙同学说：

60°；丙同学说：

90°；丁同学说：

135°.以上四位同

学的回答中，错误的是（B）

A．甲B.乙C.丙D.丁

例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（A）

A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的

B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的

C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的

D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的

例4、以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到的图形是（A）

A

B

C

D

图1

2、利用旋转、中心对称的性质作图.

例5、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个

单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上

（每个小方格的顶点叫格点）.画出△ABC绕点O

顺时针旋转90°后的△A1B1C1，并求AA1的长.

答案：

AA1=

例6、（2007江苏扬州）如图，△ABC中A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2）．

A

B

C

O

x

y

⑴将△ABC向右平移

个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；

⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；

⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；

⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，

△______与△______成轴对称，对称轴是______；

△______与△______成中心对称，对称中心的坐

标是______．

答案：

⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．

△A3B3C3与△A1B1C成中心对称，对称中心的坐标是（-2，0）．

例7、如图，△A’B’C’是△ABC旋转后得到的图形，

请确定旋转中心、旋转角.

答案：

∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA’

∴O点在AA’的垂直平分线上

同理O点也在BB’的垂直平分线上

∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA’的度数就是旋转角．

例8、如图，已知△ABC与△DEF关于某一点对称，作出对称中心.

注：

确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：

⑴利用中心对称的性质：

对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点即为对称中心.

⑵利用中心对称的性质：

对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对称点，则这两条线段的交点即为对称中心.

3、中心对称图形的概念.

例9、（2006江苏南京）下列图形中，是中心对称图形的是（A）

A.菱形B.等腰梯形C.等边三角形D.等腰直角三角形

例10、（2007湖南郴州）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　A　）

A．B．C．D．

例11、（2007上海）如图是

正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．

答案：

例12、已知：

如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.

注：

过中心对称图形的对称中心的任意一条直线，将该图形分成完全相同的两部分.当然其面积也相等.解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.

4、综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计.

例13、请用4块图1中的图形设计一个中心对称图形，把设计的图形画在下面10×10的方格中．（要求：

以点O为对称中心）

O

图1

答案：

O

M

B

A

22°

α

5、利用图形变换的性质进行计算或证明.

例14、（2007江苏扬州）用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角

板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方

向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为22°．

例15、（2007山东日照）如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A

逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积

等于

．

A

B

A’

C（C’）

B’

例16、（2007四川成都）如图，将一块斜边长为12cm，∠B=60°的

直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A’B’C’

的位置，再沿CB向右平移，使点B’刚好落在斜边AB上，

那么此三角板向右平移的距离是

cm．

例17、（2007浙江义乌）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3~图6中统一用F表示）

A

B

C

D

E

F

（图1）（图2）（图3）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.

⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；

⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；

⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：

AH=DH

（图4）（图5）（图6）

答案：

⑴平移的距离为5cm

⑵

cm

⑶证△AHE≌△DHB1（AAS）∴AH=DH

6、运用图形变换的思想解决问题.

例18．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB＝

，则BE＝1．

注：

从图形变换的角度思考问题，可以使问题简化，一目了然.

例19、如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长.

例20、（2007朝阳一模）已知：

如图①，△ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中DF=DB，连接AF、CD．

⑴观察图形，猜想AF与CD之间有怎样的数量关系？

直接写出结论，不必证明；

⑵将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转，使菱形BDEF的一边落在等边△ABC内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：

⑴中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

⑶在上述旋转过程中，AF、CD所夹锐角的度数是否发生变化？

若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．

图①

图②

答案：

⑴AF=CD．

⑵变换后的菱形BDEF如图，结论AF=CD仍然成立．

⑶不变化；60°．

注：

从图形变换的角度解决运动变化的问题，更容易发现不变的量，从而容易解决一般化的问题.

例21、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连结AE，则AE的长为

.

例22、如图，设P是等边三角形ABC内一点，PB=3，PA=4，PC=5，求∠APB的度数.

答案：

∠APB=150°

注：

PA、PB、PC条件分散，想办法集中条件于一个三角形，进而求度数.根据旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等”，旋转后可得到等腰三角形，如果旋转60°，可得到等边三角形．

例23、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD.

求证：

BD2=AB2+BC2.

例24、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F是BC边上点，且∠EAF=45°.

求证：

例25、（2007朝阳二模）已知：

如图1，Rt

ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E,交BC于F，且DE⊥DF.

⑴如果CA=CB，求证：

AE2+BF2=EF2；

⑵如图2，如果CA

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图3

例26、（2006黑龙江）已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：

OD+OE=

OC.当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？

若成立，请给与证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需要证明.

图2

图1

答案：

图2结论：

OD+OE=

OC

图3结论：

OE-OD=

OC

例27、（2007北京）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为

．将一个最短边长大于

的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．

⑴如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；

1

1

⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．

例28、如图，已知△ABC．

⑴请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：

AB+AC>AD+AE．

图1

图2

图3