勾股定理 和勾股定理的逆定理及其运用.docx
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勾股定理和勾股定理的逆定理及其运用
勾股定理
知识点:
※勾股定理:
直角三角形两条直角边(a,b)的平和等于斜边(c)的平方。
即:
_______________。
※勾股定理逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c(最长边)满足_______________,那么这个三角形是_______________。
※满足条件_______________的三个正整数,称为勾股数。
练习:
1、常见的勾股数组有:
(3,4,___);(6,8,___);(5,12,___);(7,24,___);(8,15,___);(9,40,___);(20,21,___);……(这些勾股数组的_____数仍是勾股数)
2、写出三组勾股数:
...
3、请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长:
,,.
4、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的()
A、1倍B、2倍C、3倍D、4倍
5、小明的爸爸买了一部29英寸(74厘米)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( )
A.小明认为指的是荧屏的长度B.妈妈认为指的是荧屏的宽度
C.爸爸认为指的是荧屏的周长D.售货员认为指的是荧屏对角线的长度
6、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A.1.5,2,3B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15
7、如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AB=17,BD=15,DC=6,求AC的长。
8、△ABC中,∠C=90º,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a,b,c,若a=8,c=17,则b=
9、两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞,一只朝北面挖,每分钟挖8cm,另一只朝东面挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距()
A、100cmB、50cmC、140cmD、80cm
10、由于风向改变,一帆船先向正西方航行80km,然后向正南方航行150km,此时它距离出发点km。
11、已知甲、乙两人在同一地点出发,甲往东走4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距km.
12、小明放学后先到书店买书再回家,已知书店在学校正西方300米,而小明家在学校正南方,小明家与学校的距离为400米,则小明从书店直路回到家共走了米
13、已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )
A、40海里B、35海里C、30海里D、25海里
14、在
中,
,AC=40,CB=9,M、N在AB上且AM=AC,BN=BC,则MN的长为()
A、6B、7C、8D、9
15、在△ABC中∠C=90°若a=24c=30则b=。
若a=12b=5则c=。
16、在等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上高线AD之长为cm.
17、直角三角形的三边长为连续偶数,则其周长为
18、如图,直角三角形中未知边长是
19、如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米,请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗?
20、小明想测量学校旗杆的高度,他采用如下的方法:
先将旗杆上的绳子接长一些,让它垂到地面还多1米,然后将绳子下端拉直,使它刚好接触地面,测得绳下端离旗杆底部5米,你能帮它计算一下旗杆的高度。
(10分)
21、如图,在边长为c的正方形中,有四个斜边为c的全等直角三角形,已知其直角边长为a,b.利用这个图试说明勾股定理.
22、根据右图证明勾股定理。
23、请你用如图所示的四个这样的全等的直角三角形,
它的两直角边分别为a、b,斜边为c,设计一个拼图验证勾股定理。
(画出图形,并写出验证过程)
24、斜边长为17cm,一条直角边为15cm的直角三角形的面积为( )
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
25、做一个直角三角形的模板,一直角边长5cm,斜边长13cm做成这样的模板要平方厘米的纸板。
26、如图所示,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90°,求四边形ABCD的面积.
27、如图,一块草坪的形状为四边形ABCD,
其中∠B=90º,AB=3㎝,BC=4㎝,CD=12㎝,AD=13㎝,
求这块草坪的面积。
28、一块木板如图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,
,则木板的面积为()
A、60B、24C、30D、12
29、一个三角形的三边的比为5:
12:
13,它的周长为60cm,则它的面积是120cm2。
30、直角三角形一直角边为
,斜边长为
,则它的面积为30cm2.
31、等腰三角形的腰长为10,底边长为12,求这个等腰三角形的面积。
48cm2
32、如图,在
中,
,AC=5cm,BC=12cm,其中斜边上的高为(C)
A、6cmB、8.5cmC、
cmD、
cm
33、如图,直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm,则带阴影的正方形面积是100cm2.
34、一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( A )
A.斜边长为5B.三角形的周长为25
C.斜边长为25D.三角形的面积为20
35、三个正方形的面积如图,当B=144、C=169时,则A的值为(D)
A、313B、144C、169D、25
36、如图,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母所代表的正方形面积是336
37、如图正方形ABGF和正方形CDEB的面积分别是100和36,
则以AC为直径的半圆的面积是8
。
38、如图所示,图中所的四边形都是正方形,
所有的三角形都是直角三角形(不包括组合图形),
若最大的正方形的边长为8cm,则正方形A、
B、C、D的面积之和为64cm2
39、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为______49_____cm2。
40、如图1-2,以直角三角形的两直角边为边长所作的正方形A、B的面积分别为9和16,求以斜边为边长的正方形DEFG的面积。
25
41、如图正方形CDEF的面积为169AF=12,AB=4,∠FAC=90°,
∠ABC=90°则BC=3。
42、如图所示,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,
要爬行的最短路程(π取3)是( B )
A.12cmB.10cmC.14cmD.无法确定
43、如图,一圆柱高8cm,底面半径为
cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是________________cm。
44、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm
45、如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是().
(A)3(B)
(C)2(D)1
如图,边长为2的正方体中,一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是( )
46、已知:
如图,观察图形回答下面问题:
(1)此图形的名称为圆锥
.
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体,并把它沿AS处剪开,铺在桌面上,研究一下它的侧面展开是一个扇
形.
(3)如果点C是SA的中点,在C处有蜗牛想吃到的食品,恰好在A处有一只蜗牛,但它又不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,你能画出蜗牛爬行的最短路程的图形吗?
若圆锥的母线长为10cm,侧面展开图的夹角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方.
47、如图,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,请你求出CE的长。
3cm
48、如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于(B)
A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm
49、如图,矩形ABCD中,AD=10,AB=6,将矩形沿AE折叠,使D点落在BC边的点F处,求EC的长。
8/3
50、如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( A )
A.3cmB.
cmttC、
cmD.9cm
51、如果梯子底端离建筑物9m,那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是__12m。
52、如图,一架长2.5米的梯子,斜靠在竖直的墙上,这时梯子底端离墙0.7米,为了安装壁灯,梯子顶端离地面2米,请你计算一下,此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远?
(只列出方程即可)
53
(1)、如图,AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC=
53
(2)、生活经验表明:
靠墙摆放梯子时,若梯子的底端离墙的距离约为梯子长度的
时,则梯子比较稳定。
现有一长度为9米的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到8.5米高的墙头吗?
54、如图,一梯子AB长25m顶端A斜靠在墙AC上,梯子底端离墙7m,则梯子的顶端离地面多远?
如果梯子的底端在水平面上向墙外滑动8m,则梯子的顶端下滑多远?
(12分)
(第13题)
55、如图,一座桥横跨一江,桥长12m,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶m。
56、印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”:
“平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;
出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边,
渔人观看忙向前,花离原位二尺远;
能算诸君请解题,湖水如何知深浅”
请用学过的数学知识回答这个问题.
57、新中源陶瓷厂某车间的人字形屋架为等腰
,AC=BC=13米,AB=24米。
求AB边上的高CD的长度?
58、有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜入就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺。
请求竹竿高与门高。
59、如图3,在一棵树CD的10m高处B有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘的A处,另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,请问这棵树有多高?
60、在某一平地上,有一棵高6米的大树,一棵高3米的小树,两树之间相距4米。
今一只小鸟在其中一棵树的树梢上要飞到另一棵树的树梢上,问它飞行的最短距离是多少?
61、在某一平地上,有一棵树高8米的大树,一棵树高3米的小树,两树之间相距12米.今一只小鸟在其中一棵树的树梢上,要飞到另一棵树的树梢上,问它飞行的最短距离是多少?
(画出草图然后解答)
62、如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是()
A、2,3,4B、
,
,
C、6,8,10D、
,
,
63、下列说法中正确的是()
A、已知
是三角形的三边,则
B、在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C、在
中,
,所以
D、在
中,
,所以
64、下列四组数:
①5,12,13;②7,24,25;③3a,4a,5a(a>0);
④32,42,52。
其中可以构成直角三角形的边长有()
A、1组B、2组C、3组D、4组
65、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形
66、适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为( )
①a=
,b=
c=
②a=6,∠A=45°③∠A=32°,∠B=58°
④a=7,b=24,c=25⑤a=2,b=2,c=4
A.2个;B.3个;C.4个;D.5个;
67、三角形的三边长分别是15,36,39,这个三角形是三角形.
68、有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形,则第三边长为()(A)3(B)
(C)3或
(D)3或
69、在下列各组数中能组成直角三角形的有()
19、80、81②10、24、25③15、20、25④8、15、17
A1组B2组C3组D4组
70、△ABC的三边分别是a、b、c且满足(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是()
A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形
71、以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是()
A、6,7,8B、1,
,
C、2,
,7D、1.2,1,1.3
72、如果△ABC的三边分别为
,
,
(
>1);
求证:
△ABC是直角三角形。
73、已知△ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,请你判断△ABC的形状,并说明理由.
74、在△ABC中,若BC2+AB2=AC2,则∠A+∠C=
75、下列结论错误的是( )
A.三个角度之比为1:
2:
3的三角形是直角三角形
B.三个边长之比为3:
4:
5的三角形是直角三角形
C.三个边长之比为8:
16:
17的三角形是直角三角形
D.三个角度之比为1:
1:
2的三角形是直角三角形
76、如图,在正方形网格中,小格的顶点叫格点,小明按下列要求作图:
①在正方形网格的三条不同实践上各取一个格点,使其中任意两点不在同一直线上;②联结三个结点,使之均构成直角三角形,并使三个网格中的直角三角形面积不等.