12 复数的表示法与运算法概要.docx
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12复数的表示法与运算法概要
§1.2复数的表示法与运算法教学目的:
了解复平面概念,熟练掌握复数的各种表示法及其
相互转化;能灵活运用复数的各种表示进行相关的计算与证明.
重点:
灵活运用复数的各种表示法与运算性质熟练解决相关问题.难点:
模不等式证明,复数的三角表示,复数的开方与复方程求解.
教学过程:
§1.2.1复平面
1.复数与平面上的点
复数zxiy=+与有序实数
对（,xy一一对应,而有序实数对（,xy表示平面上的确定点,因此我们用平面上横坐标为x,纵坐标为y的点来表示复数zxiy=+（如图1.1.x轴上的点对应着实数,故称x轴为实轴;y轴上的非原点的点对应着纯虚数,故称y轴为虚轴.表示复数z的平面（整个平面称为复平面或z平面.将复数与复平面的点不加区分,使得复数集就是一个平面点集,为图形的研究带来很多方便.
如:
{}|Im0zz>表示上半平面,左半平面为Re0z<.实轴的方程为Im0z=;
z平面上虚轴的方程为Re0z=;
{}|0Re1,0Im1zzz≤≤≤≤表示以0,1,1,ii+为顶点的正方形.
2.复数与向量
复数iyxz+=与坐标平面上的点一一对应.
在复平面上,
复数z与从原点指向
点zxiy=+的向量
也构成一一对应的关系
（复数0对应着零向量,
因此我们也能用平面上
从原点出发的向量
表示复数.
例如,设111zxiy=+,222zxiy=+,则由图1.2可以看出,复数121212（（zzxxiyy+=+++表示的向量就是复数1z与2z的和向量.
（如图1.2
又如,1212（zzzz-=+-表示
的就是从2z到1z的向量（如图1.3
例1（1写出圆方程（220++++=axybxcyd
（,,,,0abcdRa∈≠的复数形式的方程.
解设zxiy=+,则
2211（,（,22=+=-⋅=+xzzyzzzzxyi
代入原方程得2（（20azzbzziczzd⋅++--+=,即2（（20⋅+-+++=azzbiczbiczd
若令Bbic=+,则上述方程可化为
220⋅+++=azzBzBzd.
（2写直线方程0++=axbyc（,,,,abcRab∈不同时为零的复数形式的方程.
解设zxiy=+,则1
1
（,（22xzzyzzi=+=-
代入原方程得（（20azzibzzc+--+=,
若令Aaib=+,则
上述方程可化为20++=AzAzc.
§1.2.2复数的模与辐角
1.复数的模
在复平面上,复数iyxz+=对应向量oz的长度称为
复数z的模（或绝对值,其中x,y依次表示oz沿x轴与y轴的分量（如图1.1.记为z或r,
即
0==≥rz
提问:
2z到1z的的距离如何表示?
12dzz=-=例如z平面上以原点为心,R为半径的圆周的方程
为
=zR;
z平面上以0z为心,R为半径的圆周的方程为0-=zzR;思考问题:
下列式子表示的意义
（134zi+=;
（225zzi-=+;
（3Im（35zi+=.（#2y=-
2.复数的辐角
设iyxz+=（0z≠,称
对应向量的方向角（实轴正向到
z所表示的向量oz间的夹角
θ称为复数z的辐角,记为=Argzθ（如图1.1.由于tan=yx
θ,且任一复数z（0z≠有无穷多个辐角,规定满足条件
ππ≤<-zarg
的辐角为=Argzθ的主值（或复数z的主辐角,记为arg
z
.
于是
复数z（0≠z的主辐角zarg与反正切Arctanyx的主值arctany
x有如下关系:
（如下图1.4,1.5
arctaarctan,0,,002
arg,0,0arctan,0,0n,002⎧>∈⎪⎪⎪=>⎪⎪⎪=+<≥⎨⎪⎪-<<⎪⎪⎪-=<⎪⎩yxyRx
xyzxyyxyx
xyyx
π
πππ
（
（,（（
（,
（其中0≠z注意:
1当0=z时,0=z;此时辐角没有意义.
2对于共轭复数有,argarg==-zzzz
（0≠z且不为负实数;对负实数有argargzzπ==.
3对于0≠z复数zxiy=+
有
6
§1.2.3复数的模的三角不等式与恒等式
Re=≤zxz,Im=≤zyz,ReIm≤+=+zxyzz
2
2⋅==zzzz22+=xy.
21==zzzzzz
.设111222,zxiyzxiy=+=+,则有三角不等式
121212-≤±≤+zzzzzz,
例2（11212zzzz⋅=⋅;
（2设12,zz为任意复数,证明下式并说明它的几何意义.
（2222
1212122zzzzzz++-=+;
（31212zzzz-≤-.
证明（1
12zz⋅=
=12zz=⋅.
7
（2∵2
121212（（zzzzzz+=++
11122122
zzzzzzzz=+++
2
2
121221zzzzzz=+++
22
12122Re（zzzz=++,
又∵2121212111221
22（（zzzzzzzzzzzzzz-=--=--+22
121221zzzzzz=+--22
12122Re（zzzz=+-,
∴两式相加得
2
2
22
1212
122（zzzzzz++-=+.
它的几何意义是:
平行四边形的对角线的平方和等于它的相邻两边的平方和的两倍.（32
12
1212（（zzzzzz-=--
2
2
12122Re（zzzz=+-,
又因为12121212Re（zzzzzzzz≤==,所以
222
2121212122（zzzzzzzz-≥+-=-,
从而12zz-≤12zz-,同理可证1212zzzz-≤+故有121212zzzzzz-≤±≤+
8
思考:
说明上述不等式在什么条件下取等号?
§1.2.4.复数的三种表示
1.代数表示:
而izxy=+称为复数z的代数形式.2.三角表示:
设=+zxiy（0z≠,
由直角坐标与极坐标的关系知
iθθ（cossin=+zr称为
z（0z≠的三角形式.
其中r是模,θ是辐角.（如图1.6解释两个量
注意:
1复数的三角表示不唯一.
2设i1111（cossinzrθθ=+,i2222（cossinzrθθ=+,则121212,2zzrrkθθπ=⇔==+（k为整数特别,当1==rz时iθθcossin=+z称为单位复数.3.指数表示式:
由欧拉公式（Euler:
icossinie
θ
θθ=+,
知复数z（0z≠表示成=izreθ
称为指数形式.
例3求下列复数的模、辐角、三角形式与指数形式.（122-i解
22-=
i2（22arctan
2224
--=+=-+Argikkπ
ππ,（Z
k∈
;
9
4
22sin（]44
--=-+-=i
iiπ
ππ
.
（2
2i.解
24=
=i
;
5（2（226
=++=
+Argikkπ
πππ（∈kZ;
56
5524[cossin]466
=+=iiieπππ.
（32--.解
24--=
=
;
（2arctan
22
Argkππ--=-++-223
kπ
π=-
+,（∈kZ;
23
2224[cos（sin（]433
---=-+-=iieπππ.
（4sin
cos
5
5
+iπ
π
.
10
解sin
cos
15
5
iπ
π
+=
3222
5
10
（
Argzkkπ
π
π
ππ=-
+=
+（∈kZ,sincos55iππ
+=31033cossin1010
iieπππ
+=.
课外练习:
1.写出下列函数的三角形式（1
1sin44
iiππ
+=
+.
（2设（cosisinzrθθ=+,求1
z
的三角表示.
（3设z=（23i-（2i-+,提示:
argz为arctan8π-.2.将复数ϕϕsincos1i+-（πϕ≤<0化为指数形式.
提示:
原式2
2（2
sin
2ϕ
πϕ
-=ie
.
§1.2.5复数的乘、除法以及乘方、开方运算重要结论:
设1
11=izre
θ,2
22=izre
θ,则
（112=zz⇔12=rr,122=+kθθπ,（k为任意整数（212（
1212+⋅=izzrre
θθ
复数乘法的几何意义:
12zz⋅表示将1z所表示的向量逆时针旋转2Argz并伸长2z倍后所获得的向量.（提问:
iz⋅及iz-⋅表
示的意义是什么?
（3除法
（
121122
-=izre
zrθθ（同上叙述除法的几何意义从而1212=zzzz,
11
22
=zzzz.1212（=+ArgzzArgzArgz;1
122
（
=-zArgArgzArgzz思考题:
如何理解
1212arg（argargzzzz≠+;1
122
arg（
argargzzzz≠-例子:
arg（,arg（12
iπ
π=
-=,
3arg[（（1]arg（arg（arg（12
2
iiiπ
π
-=-=-
≠
=+-（1arg
arg（arg（1arg（2
iiiπ
-===--
.arg（2
iπ
=-=-
≠
3arg（3arg（32
iπ
---=
.例4用复数的三角形式计算
（1
（1+i.
解:
因为
12（cossin33+=+i
ππ,
55
2[cos（sin（]
66
=-+-
ii
ππ
所以
（1
+i
=4[cos（sin（]
22
-+-
i
ππ
=4
-i.
（2
2
12
+
-
i
i
.
解:
11
2sinarctan22
+=+
ii,
122sinarctan（2]-=-+-ii
⇒
2
12
+
-
i
i
=
1
cos[arctanarctan（2]
2
--
1
sin[arctanarctan（2]
2
+--
i
cos
sin
2
2
ii=+=π
π
.
注意运用反三角恒等式:
arcsinarccos,[1,1]2
xxxπ
+=∈-
arctanarccot,2
xxxRπ
+=
∈.
当0x>时,1
arctanarccot
xx
=.提问:
设（cossinzriθθ=+,则
1
z
=.#:
111
（cossin[cos（sin（]iizrr
θθθθ=-=-+-.§1.2.5复数的乘方与开方运算
1.幂:
通常把n个复数z的乘积n
zzzz⋅⋅⋅=称为z的n次幂记为n
z.
若0≠z,记izreθ
=,则
θθθ（cossin==+nninnzrernin,特别当1=r时,有
θθθcossin=+inenin-----棣莫弗公式（DeMoivre
2.方根:
设0≠z,通常把满足方程zw
n
=（2≥n为整数
的复数w称为复数z的
n次方根,
记为=w.
记=izreθ
eiwϕρ=
将它们代入方程=n
wz得niniereϕθρ=,
从而nrρ=,2=+nkϕθπ,于是
ρ=算术根,2+=
kn
θπ
ϕ,0,1,2,,1kn=-.
且复数z的n次方根为
2ki
n
kkwθπ
+==,0,1,2,,1kn=-.
结论:
复数（0zz≠的n次方根共有n个,它们均匀地分布在以原点为心,r为半径的圆周上.（如图1.7注意:
复数的乘、除运算以及下面的幂（乘方、开方运算用复数的三角形式或指数形式较简单.例5
的复指数表示式.解因为88-=ieπ
所以
223
3
2++=
=kki
i
e
ππππ（0k=,1,2.
例6用复数三角表示计算
3（1+.解
3
3（1[2（cos
sin]33
+=+iπ
π
8（cossin8=+=-iππ.
例7解方程
（1320z-=;（2
3
0z（3
30z=.（43
10-+=zi.
解（13
20z-=可化为3
2z=,方程的三个根为
22sin（0,1,233
kkzikππ
=+=.（2
3
0z=可化为
3
z=
1
3
sin]ππ=+zi
22sin
3
3
ππ
ππ
++=+kki
（0,1,2k=为方程的三个根.
（3
3
0+=z可化为
3
=z,
1
3
sin（]}22
=-+-ziππ
22sin
（0,1,23
3
-
+-
+=+=kkikπ
π
ππ
为方程的三个根.
（43
10-+=zi可化为
z3=1−i⇒z3=2（cosπ+isin44π⇒z=62（cosπ+8kπ12+isinπ+8kπ12（k=0,1,2.例8求cos3θ及sin3θ（用cosθ与sinθ来表示.解：
由棣莫弗公式知（cosθ+isinθ3=ei3θ=cos3θ+isin3θ又（cosθ+isinθ3=cos3θ−3cosθsin2θ+i（3cos2θsinθ−sin3θ比较两式的实部与虚部得cos3θ=cos3θ−3cosθsin2θ=4cos3θ−3cosθ,sin3θ=3cos2θsinθ−sin3θ=3sinθ−4sin3θ.小结：
.小结：
1.在行复数运算时注意公式与法则以及复数三角形式与指数形式的应用，需注意复数的三角形式计算形式必须符合三角形式的要求.同时注意复数开方，开几次方则有几个根；开方时，以指数形式表示简单.2.两个三角形式的复数相等时,辐角可以相差2π的整数倍.3.利用复数的三角形式很容易解释复数乘法、除法、乘方3.的几何意义.4.解复方程时先将方程化为最简型，再开方.易犯错误：
易犯错误：
1.且复数开方运算时根表示易出错误.主要是特殊角的三角函数值不熟悉.2.解复方程错误多.16
作业：
1416.（1.作业：
P311.（2,（38.（1,（2,（3,（5；；17
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