用牛顿法求解非线性方程教学内容.docx
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用牛顿法求解非线性方程教学内容
用牛顿法求解非线性方程
实验七非线性方程求根
一、实验目标
1.掌握常用的非线性方程求根算法(二分法、不动点迭代法与Newton法)及加速技术(Aitken加速与Steffsen加速).
2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速;掌握迭代算法的精度控制方法.
二、实验问题
求代数方程
的实根.
三、实验要求
1.方程有一个实根:
.将方程以下面六种不同方式等价地改写,构造迭代格式,计算
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
.
2.对每一种迭代格式,编制一个程序进行运算,观察每种格式的敛散情况;用事后误差估计
来控制迭代次数,并且输出迭代的次数;观察不同初值的结果.
3.从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.
4.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速,通过输出结果了解加速效果.
5.将一种不收敛的方法用Steffsen方法加速得到收敛的迭代.
附录一:
《数值分析》实验报告(模板)
【实验课题】用牛顿迭代法求非线性方程根
【实验目标】
明确实验目标
1.掌握常用的非线性方程求根算法(二分法、不动点迭代法与Newton法)及加速技术(Aitken加速与Steffsen加速).
2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速;掌握迭代算法的精度控制方法.
3探索不同方式改写方程的收敛程度
【理论概述与算法描述】
1.牛顿法
设已知方程f(x)=0有近似根xk,将函数f(x)在点xk展开,有
f(x)=f(xk)+f’(xk)(x-xk),
于是方程可表示为
f(xk)+f’(xk)(x-xk)=0,
这是个线性方程,记其根为x(k+1),
则x(k+1)=xk-f(xk)/f’(xk),这就是牛顿迭代法求根.
2.埃特金加速收敛方法
设
是根
的某个近似值,用迭代一次得
,
而由微分中值定理,有
其中
介于
和
之间。
假设
改变不大,近似地取某个近似值L,则有
若将校正值
再迭代一次,又得
由于
将它与前面的式子联立,消去未知的L,有
由此推知
,
记
称为埃特金加速方法。
3.斯特芬森迭代法
将埃特金加速技巧与不动点迭代结合,则可得到如下的迭代法
即为斯特芬森迭代法
【实验问题】
1.求代数方程
的实根.
2.方程有一个实根:
.将方程以下面六种不同方式等价地改写,构造迭代格式,计算
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
.
3.对每一种迭代格式,编制一个程序进行运算,观察每种格式的敛散情况;用事后误差估计
来控制迭代次数,并且输出迭代的次数;观察不同初值的结果.
4.从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.
5.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速,通过输出结果了解加速效果.
6.将一种不收敛的方法用Steffsen方法加速得到收敛的迭代.
【实验过程与结果】
1.用matlab编程计算代数方程的根
2.分别编写6个迭代法编程,对结果进行分析
【结果分析、讨论与结论】
迭代公式1:
x1=
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
2.0000
1.5000
迭代公式2:
x2=
1.0e+142*
0.0000
0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-0.0000
-1.4947
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
-Inf
迭代公式3:
x3=
2.0000
3.3166
3.8665
4.0743
4.1500
4.1773
4.1871
4.1906
4.1919
4.1923
4.1925
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
4.1926
迭代公式4:
x4=
2.0000
5.0000
0.2273
-1.6959
-40.3095
0.0031
-1.6667
-22.5018
0.0099
-1.6667
-22.5185
0.0099
-1.6667
-22.5185
0.0099
-1.6667
-22.5185
0.0099
-1.6667
-22.5185
迭代公式5:
x5=
2.0000
2.3452
2.2654
2.2819
2.2784
2.2791
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
迭代公式6:
x6=
2.0000
2.3333
2.2806
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
从上述的运算结果可以看出,迭代公式1、2、4不收敛,3虽然收敛,但与其他迭代法的结果差异太大,对5和6分别用埃特金加速和斯特芬森迭代得到结果如下:
对于5埃特金加速结果:
B=
2.0000
2.2804
2.2791
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
0
斯特芬森迭代结果:
x=
2.0000
2.1547
2.2792
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
对于6埃特金加速结果:
B=
2.0000
2.2878
2.2790
2.2790
2.2790
2.2790
斯特芬森迭代结果:
x=
2.0000
2.1544
2.2838
2.2790
2.2790
从以上结果可以看出,埃特金加速方法和斯特芬森迭代法确实可以加快收敛速度,且在此题的情况下,两种方法的加速效果差不多,但埃特金加速方法较斯特芬森迭代法来说更为简单易理解,运算步骤也少一些,因此对于此题,我们可以选用埃特金加速方法。
【附程序】
function[k,x,da,g]=newton(x0,tol)
k=1;
g1=fun1(x0);
g2=fun2(x0);
x1=x0-g1/g2;
whileabs(x1-x0)>tol
x0=x1;
g1=fun1(x0);
g2=fun2(x0);
k=k+1;
x1=x0-g1/g2;
end
k;
x=x1;
da=abs(x1-x0)/2;
g=fun1(x);
end
functiong1=fun1(x)
g1=x^3-3*x-5;
end
functiong2=fun2(x)
g2=3*x^2-3;
end
functiong1=fun1(x)
g1=x^3-3*x-5;
end
functionx=Aitken(A);
n=length(A);
x=zeros(n,1);
t=0;
x
(1)=A
(1);
fori=1:
n-2
x(i+1)=A(i)-((A(i+1)-A(i))^2)/(A(i)-2*A(i+1)+A(i+2));
end
functionx=Steffsen(A,B)
n=length(B);
x=zeros(n,1);
x
(1)=B
(1);
fori=2:
n
x(i)=A(i)-((B(i-1)-A(i))^2)/(B(i)-2*B(i-1)+A(i));
end
④
%构造迭代算法x=(3*x+5)/(x^2)
functionx=diedai1(x0,tol,N)
%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数
x=zeros(N,1);
x
(1)=x0;
k=1;
t=0;
whilek<=N
fori=2:
N
x(i)=(3*x(i-1))/(x(i-1)^2);
end
k=k+1;
t=x(i)-x(i-1);
ifabs(t)<=tolbreak;
end
end
⑤
%构造迭代算法x=(x^3-5)/3
functionx=diedai2(x0,tol,N)
%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数
x=zeros(N,1);
x
(1)=x0;
k=1;
t=0;
whilek<=N
fori=2:
N
x(i)=(x(i-1)^3-5)/3;
end
k=k+1;
t=x(i)-x(i-1);
ifabs(t)<=tolbreak;
end
end
⑥
%构造迭代算法x=(3*x+5)^(1/3)
functionx=diedai3(x0,tol,N)
%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数
x=zeros(N,1);
x
(1)=x0;
k=1;
t=0;
whilek<=N
fori=2:
N
x(i)=(3*x(i-1)+5)^(1/2);
end
k=k+1;
t=x(i)-x(i-1);
ifabs(t)<=tolbreak;
end
end
⑦
%构造迭代算法x=5/(x^2-3)
functionx=diedai4(x0,tol,N)
%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数
x=zeros(N,1);
x
(1)=x0;
k=1;
t=0;
whilek<=N
fori=2:
N
x(i)=5/(x(i-1)^2-3);
end
k=k+1;
t=x(i)-x(i-1);
ifabs(t)<=tolbreak;
end
end
⑧
%构造迭代算法x=sqrt(3+5/x)
functionx=diedai5(x0,tol,N)
%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数
x=zeros(N,1);
x
(1)=x0;
k=1;
t=0;
whilek<=N
fori=2:
N
x(i)=sqrt(3+5/x(i-1));
end
k=k+1;
t=x(i)-x(i-1);
ifabs(t)<=tolbreak;
end
end
⑨
%构造迭代算法x=x-(x^3-3*x-5)/(3*(x^2-1))
functionx=diedai6(x0,tol,N)
%x0是初值,tol为迭代精度,N是迭代最大次数
x=zeros(N,1);
x
(1)=x0;
k=1;
t=0;
whilek<=N
fori=2:
N
x(i)=x(i-1)-(x(i-1)^3-3*x(i-1)-5)/(3*(x(i-1)^2-1));
end
k=k+1;
t=x(i)-x(i-1);
ifabs(t)<=tolbreak;
end
end