普通高考数学一轮复习第22讲任意角的三角函数及诱导公式精品学案.docx
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普通高考数学一轮复习第22讲任意角的三角函数及诱导公式精品学案
2020年普通高考数学科一轮复习精品学案
第22讲任意角的三角函数及诱导公式
一•课标要求：
1.任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；
2.三角函数
（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（n/2±a,n±a的正弦、余弦、正切）。
2.命题走向
从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。
预测2020年高考对本讲的考察是：
1.题型是1道选择题和解答题中小过程；
2.热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。
3.要点精讲
1.任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射
线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。
旋
转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。
为了区别起见，我们规定：
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形
成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角。
2.终边相同的角、区间角与象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在
第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意：
如果角的终边在坐标轴上，就认为这
个角不属于任何一个象限，称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角，它们彼此相差2kn（k€Z），即
{3|3=2kn+a,k€Z},根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，女口
a€{a|—WaW
—}=[
—]。
6
6
6
6
3.弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
1弧度角，记作
1rad,
或
1弧度，或1（单位
可以省略不写）。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-n,-2n等等，一般地，正角
的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋
转方向来决定。
角的弧度数的绝对值是：
丄，其中，|是圆心角所对的弧长，r是半径。
r
角度制与弧度制的换算主要抓住180rad。
〜0.01745（rad）。
弧度与角度互换公式：
1rad=180°~57.30°=57°18'、1
扇形面积公式：
S
扣
2'
|r2。
4•三角函数定义
OMa丄MPb
cos；tan
OPrOMa
利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个
任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么：
（1）y叫做的正弦，记做sin,即siny;
（2）x叫做的余弦，记做cos,即cosx；
（3）y叫做的正切，记做tan,即
x
tany（x0）。
x
5•三角函数线
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个
圆，这个圆就叫做单位圆（注意：
这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。
当角为第一象限角时，则
其终边与单位圆必有一个交点P（x,y），过点P作
PMx轴交x轴于点M，根据三角函数的定义：
|MP||y||sin|；|OM||x||cos|。
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关•当角的终边不在坐标轴时，以
O为始点、M为终点，规定：
当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标•这样,无论那种情况都有
OMxcos
同理，当角的终边不在x轴上时，以M为始点、P为终点，
规定：
当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴
反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标。
这样，无论那种情况都有MPysin。
像MP、OM这种被看作带有方向的线段，叫
做有向线段。
请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT,我们有
tanATy
x
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角的正弦线、余弦
线、正切线，统称为三角函数线。
6•同角三角函数关系式
使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。
几个常用关系式：
sina+COSa,sina-cosa,sina・cosa；（三式之间可以互相表示）设血a十8泊=疋［「広两边平方，得
ta-1
1+25inO-•tosO.nsrnQ•匕gQ=_-—,
X1
-2乱11°*tosCl
=2-t
■:
i.„
=>anCL-=
±72-t\
同理可以由
sina—Cosa
或
sina・
cosa推出其余两式。
②1sin
2
1sin
2
•
③当x0,—
2
时，
有sinxxtanx
7•诱导公式
可用十个字概括为“奇变偶不变,
祇d壬付号看
象限”。
诱导公式一：
sin（2k
）
sin,
cos（2k）
cos，其中kZ
诱导公式二：
sin（180o
）
sin
；cos（180o
）
cos
诱导公式三：
sin（）
sin；
cos（）cos
诱导公式四：
sin（180o
）
sin；
cos（180o）
cos
诱导公式五：
sin（360o
）
sin
；cos（360o
）
cos
O
一
2
2k
kZ
2
sin
—sin
sin
—sin
—sin
sin
cos
cos
cos
—cos
—cos
cos
cos
sin
（1）要化的角的形式为k180o（k为常整数）；
（2）记忆方法：
“函数名不变，符号看象限”；
（3）sin（kn+a）=（—1）ksina；cos（kn+a）=（—1）kcosa（k€Z）;
（4）sinx—cos—xcosx—;cosx—sin—x。
44444
4.典例解析
题型1:
象限角
例1.已知角45;
（1）在区间［720,0］内找出所有与角有相同终边的角
k
-18045,kZ那么两集合的关系是
4
有相同终边的角可表示为
k3600，
45
45
360
1
315
（2）因为Mx|x
（2k
1）
45,k
Z表示的是终边落在四个象限的平分线上的角
的集合；而集合Nx|x
（k
1）
45,k
Z
表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的
角的集合，从而：
M?
N
o
点评：
（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，
然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解；
（2）可对整数k的奇、偶数情况展开讨论。
例2.若sin0cos0>0,贝UB在（）
A.第一、二象限B.第一、三象限
C.第一、四象限D.第二、四象限
解析：
答案：
B;：
sin0cos0>0,二sin0、cos0同号。
当sin0>0,cos0>0时，0在第一象限，当sin0v0,cos0v0时，0在第三象限，因此，选Bo
例3.若AB是锐角△ABC勺两个内角，则点P（cosB-sinA,sinB-cosA）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象
限
答案：
B
解析：
•••AB是锐角三角形的两个内角，•••A+B>90°,二B>90°-A」.cosBvsinA,
sinB>cosA故选Bo
例4•已知“是第三象限角，则—是第几象限角？
3
w,并依次循环一周，则
原来是第川象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。
3
由图可知，一是第一、三、四象限角。
3
点评：
已知角的范围或所在的象限，求一所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和
n
几何法，其中几何法具体操作如下：
把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次
将各区域标上I、n、川、w，并循环一周，则
（n€N*）的终边所在的区域。
题型2:
三角函数定义
原来是第几象限的符号所表示的区域即为-
n
已知角
的终边过点（a,2a）（a0），求的四个三角函数值。
解析:
因为过点
（a,2a）（a0），所以r
a,y
2a。
0时，sin
y2a
r，5|a|
2a
;5a
2「5
.
cos
xa
r；5a
居,tan
5
0时,sin
y_2a_
r-5|a|
2a
5a
cos
a_
、5a
tan2。
解析：
由题设知x,3,ym，所以r2|OP|2（、3）2m2,
得r,3m2,
从而sin晋
解得m0或166
c2
2mm
5。
0时，r
--/3,x3,
cos
-1,tan—0；
.5时,
r22,x.3,
cos
5时,
r2.2,x.3,
cos
A5
o
3
题型3:
诱导公式
tan300
+co咤的值是（
sin405
A.1+
B.
c.
—1—3
D.—1+々：
3
解析:
答案:
Btan300
cos405°sin4050
=tan（360
60°
cos（3600450）
sin（3600450）
tan60°+
cos45°sin45°
例8.
化简:
（1）
sin（180°）sin（
）tan（360o
tan（180o）cos（）cos（180o
（2）
现型口（nZ）o
sin（n）cos（n）
解析:
（1）原式sinsintantancos
cos
tan
tan
（2）①当n2k,kZ时，原式
sin（
②当n2k1kZ时，原式迥
2k）sin（2k）sin（2k）cos（2k）
2
o
cos
（2k1）]sin[（2k1）]sin[（2k1）]cos[（2k1）]
2
o
cos
点评：
关键抓住题中的整数n是表示的整数倍与公式一中的整数n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。
k有区别，所以必须把
题型4:
同角三角函数的基本关系式
例9.已知
1sin
1sin
1sin
1sin
2tan，试确定使等式成立的角
的集合。
解析：
＜sin
1sin
1sin
（1sin）2
（1sin）2
2cos
2，
cos
=|1sin||cosI
|1sin_1sin1sin
厂
|cos|
|cos
2sin
|cos|
又•••
N1
1sin
sin
1sin
1sin
2tan
2sin
|cos
2sin
cos
即得sin
0或|cos
cos
所以，角
的集合为:
或2k
例10.
（1）
sin
（2）求证:
证明：
込
1sincos
cosx1sinx
。
1sinxcosx
2
cos
1sin
2k
sin
1cos
32,kZ}。
解析：
（1）
分析：
证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证
只要证A-D=B・
C,从而将分式化为整式
2.2coscossinsin
证法一：
右边=—
1sin1cos
1sincos
sin
cos
2cossin1
cos
sin
21sincos
sin
cos
2cos
sin
1cos
sin
22
1sincos
2sin2cos
2sincos
=2cossin1
sin
cos
左边
1sin
cos
证法二：
要证等式，即为
2cossin
cos
sin1
sincos
cossin1cossin
1sin
cos
1sin1cos
只要证2（1sin）（1cos）
=1sin
cos
即证：
22sin2cos
2sin
cos
1
・22sincos
2sin
2cos
2sincos
即l=sin2cos2，显然成立，
故原式得证。
点评：
在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。
（2）同角三角函数的基
本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系。
（2）证法一：
由题义知cosx0，所以1sinx0,1sinx0。
•••原式成立。
cosx1sinx
。
1sinxcosx
22
cosx1sinxcosxcosx（1sinx）（1sinx）cosx1sinx°
1sinxcosx（1sinx）cosx（1sinx）cosx
cosx1sinx
…。
1sinxcosx
点评：
证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：
（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；
（2）证明左右两
边同等于同一个式子（如例6）;（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
五•思维总结
1.几种终边在特殊位置时对应角的集合为:
角的终边所在位置
角的集合
X轴正半轴
|k360,kZ
Y轴正半轴
|k36090,kZ
X轴负半轴
|k360180,kZ
Y轴负半轴
|k360270,kZ
X轴
|k180,kZ
Y轴
|k18090,kZ
坐标轴
|k90,kZ
3•任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导
公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：
（1）
熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；
（2）
要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：
发现差异，寻找联系，合理转化。
只有这样才能在高考中夺得高分。
三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的
大小有关•我们只需计算点到原点的距离r,x2y2,那么
上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数。
4•运用同角三角函数关系式化简、证明
常用的变形措施有：
大角化小，切割化弦等，应用“弦化切”的技巧，即分子、分母
同除以一个不为零的cos，得到一个只含tan的教简单的三角函数式。
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