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结构力学力法
第七章力法
§7-1超静定结构概述
1.超静定结构基本特性
（1）几何构造特性：
几何不变有多余约束体系
（2）静力解答的不唯一性：
满足静力平衡条件的解答有无穷多组
（3）产生内力的原因：
除荷载外，还有温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差等，均可产生内力
2.超静定结构类型
3.求解原理
（1）平衡条件：
解答一定是满足平衡条件的，平衡条件是必要条件但不是充分条件。
（2）几何条件：
或变形协调条件或约束条件等，指解答必须满足结构的约束条件与位移连续性条件等。
（3）物理条件：
求解过程中还需要用到荷载与位移之间的物理关系。
4.基本方法
力法：
以多余约束力作为求解的基本未知量
位移法：
以未知结点位移作为求解的基本未知量
§7-2超静定次数的确定
超静定次数：
多余约束的个数，也就是力法中基本未知量的个数。
确定方法：
超静定结构去掉多余约约束静定结构，即可确定超静定次数即力法基本未知量的个数。
强调，
（1）去掉的一定是多余约束，不能去掉必要约束
（2）结果一定是得到一个静定结构，也称力
图7.3
图7.6
§7-3力法基本概念
F面用力法对一单跨超静定梁进行求解，以说明力法基本概念，对力法有一个初步了解
辿严*X卄密原结构
””*”*”*卄电节力袪皐扌黠构
7
+卄开订
图7.7
（1）一次超静定，去掉支座B，得到力法基本未知量与基本结构;
（2）要使基本结构与原结构等价，则要求，荷载与
Xi共同作用下，1=0
（3）由叠加原理，有,
iiiipXiii
1P0，力法典型方程，即多余约束处的位移约束条件
（4）柔度系数ii与自由项
IP均为力法基本结构上（静定结构）的位移，由图乘法，得
i
i,
「2,l
i
i,
i2
3,
.4
ql、，
ii
l
ll,
iP
-l
—ql
l
Xi
El
2
33EI
El
3
2
4
8EI
ip
ii
8ql
（5）Xi已知，可作出原结构M图，如图示
§7-4力法典型方程
由上节知，力法典型方程就是多余约束处的位移方程。
下面讨论一般情况下力法方程的形式。
3次超静定，去掉一个固定支座，得到力法基本结构。
构等价。
根据叠加原理，得到力法典型方程，
当1=0,
2=0，3=0时，原结构与基本结
如下
X212
X313
1P
0，注意，一般为0,
有不为0的情况
X222
X323
2P
&X1§31
X232
X333
3P
选取不同的力法基本结构，如下图示
依叠加原理，得到力法方程如下,
y=i
§1X1
§1X1
§1X1
Mi
图7.9
12X2
13X3
ip
22X2
23X3
2P
32X2
33X3
3P
形式上完全相同，只是各符号的具体物理含义有所不同
依此类推，n次超静定结构，有
n个多余约束力时，力法典型方程为
11
12
21
22
n1
n2
11X1
21X1
n1X1
为线性代数方程组，由位移互等定理,
12X2
22X2
n2X2
1n
2n
nn
ij
1nXn
2nXn
x
nnn
1P
2P
nP
X1
X2
Xn
ji0
1P
2P
nP
0,[
]{X}
p}0
物理含义:
（1）力法方程：
多余约束处的位移方程，力法方程也叫柔度方程，力法也叫柔度法；
⑵柔度系数j，j方向单位力引起的i方向的位移，主系数ii>0,副系数jji。
（3）自由项iP，荷载单独作用在基本结构上，引起的i方向的位移。
柔度系数与自由项，都是静定结构上的位移，可由上一章的位移计算方法把它们计算出来。
§7-5力法计算步骤与示例
例7-1用力法求解图示刚架，并作M图
图7.10
力法基本未知量为Xi、X2,基本结构如图示，列出力法方程
11X1
21X1
12X2
22X2
1P
2P
1
1,
.2.l3
1
1,,
l3
1
1,
2,
1,,
5l3
11
l
ll,
12
21
ll
l,
22
l
ll
ll
l
2EI
2
36EI
2EI
2
4EI
EI
2
3
2EI
6EI
M2、Mp图，如图示。
下面计算柔度系数与自由项
作出M1
1P
111_
2EI22
F1
2
5l
6
5FI3
96EI
11
2EI
|_
2
FJ
2
Fl3
16EI
力法方程成为（消去公因子l3/EI）
1
6X1
3
1
72
5
F
96
0,
1-X4
5-X
6
1
F
16
解出，X1-F,
11
计算最后杆端弯矩，
33
MbcFl
8888
X2
—F（与假设方向相反）
88
l3
Fl（上侧拉），MABf-88F
—F
11
15
—Fl（左侧拉）
88
作出最后的M图，如图示。
结论：
（1）超静定结构荷载作用的内力分布，只与各杆刚度比值有关，与刚度绝对值无关;
（2）刚度大的杆件，内力一般也大；
（3）可采用不同的力法基本结构，但最后结果一定相同
图7.11
力法计算步骤
（1）去掉多余约束，代之以约束反力作为力法基本未知量，得到一个静定结构作为力法的基本结构
（2）列出力法典型方程
iiXi
12X2
1nXn
1P
21X1
22X2
2nXn2P20
n1X1n2X2
V
nnn
nP
（3）X1=1单独作用在基本结构上，作出帀1图
X2=1单独作用在基本结构上，作出M2图，依此类推
荷载单独作用在基本结构上，作出Mp图
（4）计算柔度系数与自由项
主系数ii>0，Mi自乘；ij=ji，Mi与Mj图乘；自由项,
iP，Mi与Mp图乘。
（5）将柔度系数与自由项代入力法方程中，求解力法方程，解出多余约束力
⑹由叠加原理，MX1M1X2M2
MP，计算最后的杆端弯矩
⑺作出M图。
例7-2用力法求解两端固定超静定梁。
图
7.12
3次超静定，未知量X1、X2、X3，力法方程为
11X112X2
13X3
1P0
21X122X2
23X3
2P0
31X132X2
33X3
3P0
13
310,23
2
320,3P0,33葺1吉0,则力法第3个方程成为，
33X30
得，X3=0.力法的前两个方程成为,
11
2l
l
§1l1
J
22,
EI2
33EI
3EI
Fab（l
1P
6EIl
b）
Fab（la）
2P
6EIl
11X1
12X2
1P
0
21X1
22X2
2P
0
1
1
11
1221
l1
—
EI
2
36EI
Fab2
Fa2b
可解出，
X1
.2
X2厂
0,这是梁受力的特点
结论：
无论是静定梁还是超静定梁，横向荷载作用下，水平反力为
例7-3用力法求解超静定桁架，已知各杆EA=C
图7.13
利用对称性，取对称的基本结构，未知量X1，力法方程，11X11P0,
求11时，不要忘记,
切开的杆件上轴力为
+1,
11
12
（?
）2a]
1122a（322）a
EA
EA
1■.2
EAb
丄F）.2a
2
1F
1）G）2a]
Fa
EA
X1
1P
11
0.172F（拉力）
按叠加法求出最后轴力值，FnX1FN1
FNP0
例7-4用力法求解加劲梁（组合结构），已知，横梁1=1
10-4m4,链杆A=110-3m2,
E=C。
利用对称性。
切开竖向链杆，未知量
X1,
力法方程为,
11X11p00
11
咗dS
EI
FN1
EA
11
2
EI2
2
（32）
1
2EA
（—）22122
22EA
1.189105
E
1P
El
dS
Fn!
电（此项为0）2丄2480（52）
EAEl38
5.333106
E
Xi上44.9kN（压力）。
11
最后，弯杆MX1M1Mp，链杆FNX1FN1FNP
讨论:
（1）无链杆时，简支梁,
为加劲梁；
（2）A0,加劲梁
Mmax=80kN.m。
有链杆时，Mmax=15.4kN.m，最大弯矩降低了81%，称简支梁。
A，Mmax，Mmin，当A=1.710-3m2时，Mmax=
Mmin，
最合理；（3）A，刚性支座,
相当于两跨连续梁。
7
——
*i
旷iDIM血
fltf凶:
丁ni}iffjfU'T）ay拒肖于两蒔这慎畀
咕
§7-6对称性的利用
对称结构，指结构的几何形状与支承条件完全对称，各杆的刚度也要对称。
1.选取对称的基本结构
r3可4
I
对称怖純、正对稲荷義
僦卩正网帮
对称毎驹，反对移荷歎
I
I
图7.15
选取对称的基本结构，在对称轴处切开，有
11X1
21X1
31X1
12X213X3
22X223X3
32X233X3
2P
3P
作出M1、M1、M1、Mp图，正对称与反对称图形图乘结果为0,有
13310，23320
力法方程可分成正对称与反对称两组
11X
21X
正对称荷载下，Mp正对称，有，
反对称荷载下，Mp反对称，有，结论：
12X2
1P
00
，33X33P0
22X2
2P
0
3P=0，
X3=0.
1P=0，
2P=0,
X1=0,X2=0.
（1）对称结构，正对称荷载下，对称轴处切开，反对称的剪力为0，内力与位移分布均正对称；
（2）对称结构，反对称荷载下，对称轴处切开，正对称的弯矩与轴力为0，内力与位移分布均反对称
例7-5对称刚架，反对称荷载，各杆EI=C，试用力法求解。
图7.16
11X1
1P
0
11
2
144
112
[—33
（—3）
3
63]
EI2
3
EI
1
1
1
21800
1P2
[—6603
-3
120
（3）]
EI
2
2
3EI
X1
上12.5（kN）,M
X1M1
M1
p作出M图（反对称）
11
2.对称结构,
任意荷载=正对称荷载+反对称荷载
正对曲荷此丘神苗诜
图7.17
3.取半边结构
（1）正对称荷载
正対称荷韓中躺芮
正对粽闊载.帼魏鍔
图7.18
（2）反对称荷载
叵讨霸背载・需避莒
可去抻
图7.19
例7-6试用力法求解圆环的内力，EI=C
图7.20
取1/4结构，有，llX!
!
P0.
—1
M,1,设下侧拉为正，MP-FRsin,dS=Rd。
2
M1dS1
11dS
EIEI
./212
0
R
Rd
2EI
M1Mp
1/2
1
FR2
1P1PdS
1（
FRsin）Rd
，X1
EI
EI0
2
2EI
MX1M1Mp
FR』
sin
），作出圆环的弯矩图，
见教材
2
例7-7非对称荷载=正对称荷载+反对称荷载
ipFR
11
P148，图7-28
§7-7超静定结构的位移计算
上一章中所述位移计算原理与方法，同样适用于超静定结构。
图7.22
注意，用力法求解超静定结构时，基本结构在荷载与多余约束力共同作用下，与原超静定结构完全等价。
所以，单位力可以加在力法基本结构上。
即求超静定结构的位移时，先把多余约束去掉，把超静定结构变成一个静定结构，然后把单位力加在静定结构上。
注意，应选取恰当的基本结构。
Ku
1
El
—l）
24288
（
1408EI
求超静定结构位移的方法：
（1）解超静定结构，作出M图；
（2）合理地选取一个基本结构来施加单位力；（3）图乘法求出位移。
§7-8最后内力图的校核
结构的内力图是进行结构设计的重要依据，要保证其正确，所以要进行内力图的校核。
1.平衡条件的校核
结构的整体与任何一个部分均应满足平衡条件，否则，内力图有误。
一般校核结点是否满足平衡条件。
2.位移约束条件校核
（/2t
0
图7.23
如校核固定支座处转角位移是否为0,不为0则内力图就不正确
113151Fl11
1[一（FlFl）丨1l1]l
2EI2888824El2
32
88Fl（J）
0,M图正确
§7-9温度变化时超静定结构的计算
对于超静定结构，温度变化会引起结构的附加内力，当然还有位移与变形。
图7.24
基本结构与原结构等价，有,
1=0,2=0,3=0。
同理，有n
Xi、X2、X3与温度变化共同作用下,
个多余约束时，力法典型方程为
iiX1
21X1
i2X2
22X2
inXn
2nXn
it
2t
niX1
n2X2
V
nnn
nt
（1）柔度系数ii、j=ji的计算，与外界因素无关，
（2）自由项的计算，it为温度变化引起的基本结构沿
计算与前面完全相同。
it
tFNi
Xi方向的位移,
t_
TMi
解出多余约束力后，即可作出原结构的内力图
位移计算
温度变化单独作用在基本结构上+XI、X2、X3单独作用在基本结构上原结构
（1）温度变化单独作用在基本结构上，产生的位移为（单位力可加在基本结构上）
t
KttFn-—M
h
⑵XI、X2、X3单独作用在基本结构上，产生的位移为M图与Mk图图乘，即，
El
两部分叠加起来，得到温度变化时，超静定结构的位移计算公式为
Kt
MkM
El
dS
例7-8作图示刚架M图，并求横梁中点K的竖向位移，已知，EI=C，材料结膨胀系数为，横截面
对称于形心轴，h=l/10
图7.25
11X1
1t
0,
11El
11
[2（2l
l3l）
l］碧,七
30oC,tt2t110oC,
1t
FN1
M1
（1）
30
lll]
230l
X1
1t
138
X1M1,
作出M图。
11
t
MkM
Ky
t
fnk
h
Mk
El
dS
1
1
l
El
1
101
l
■（l
）138-
2（
）
30l
（l
El
2
4
l
2
h2
4
求Ky,单位力加在基本结构上,
34.75l（）
§7-10支座移动时超静定结构的计算
超静定结构支座移动时，产生附加内力，当然还产生位移与变形。
多余约束力+支座移动作用在基本结构上原结构
10,2,3a
iiXi
i2X2
i3X3
i
i0
2iXi
22X2
23X3
2
2
3iXi
32X2
33X3
3
3a
图7.26
力法典型方程为
柔度系数与外界因素无关，计算与前面相同
Xi方向的位移，计算公式为
自由项i为支座移动b单独作用在基本结构上，引起的沿
如图示，有，1-,2—,30
解出多余约束力XI、X2、X3,可作出M图。
位移计算
注意，多余约束力Xi、X2、X3,与支座移动b共同作用下，与原结构等价
MkMdS[
EI
FRiCi]
第1项为多余约束力Xi、X2、X3作用在基本结构上，产生的位移；第2项为基本结构上支座移动b产生的位移。
iiXi
12X2
，因与Xi方向一致，故为正
2iXi22X2
2
0
i
i
1
2l
AA
ii22E|
l
2
ii,
33EI
i2
2i
i
iiil
lii
El236EI
怪忑，基本结构，无支座移动，故,
解出，X1辛，X2罕
1=0,2=0。
定义杆件的线刚度i为，iEl/I，贝U,X1
4i
，X22i，这个结果，位移法中要经常用到。
例7-10两跨连续梁，中间支座为弹性支座,
罟，EI=C，试用力法求解，作出M图，并求D
点竖向位移。
IHHill11rTAt*
玄贞2s/i
1$詰珂
选取基本结构
（一），有，11X1
图7.28
ip
计算较麻烦，主要是图乘运算时很麻烦，具体求解过程与结果见教材对于连续梁结构，一般应选基本结构
P157。
（二），有
11X1
ii
EI
丄丨1
2
乙、Z丄_Ak3EIl2k
16l
15
El
X1
Dy
M1
Fr
1
EI
ql2
8
（7
qi
k'12EI
2q
k
60EI
1P
11
Md
64ql
Fr
1
EI[2l
（丄Zql2）
4264
丄理（5丄）2]
2884
丄迥）
232k
181
ql4
3072EI
§7-11用弹性中心法计算无铰拱
§7-12两铰拱与系杆拱
（自学）
§7-13超静定结构的特性
1.产生内力的原因
静定结构：
荷载为唯一原因
超静定结构：
荷载，支座移动，温度变化，材料收缩，制造误差等。
2.静力解答性质
静定结构：
唯一性
超静定结构：
无穷多组解
3.安全性
多余约束破坏后，仍为几何不变体系，安全性好。
4.因有多余约束，超静定结构一般比相应的静定结构刚度大，内力分布较均匀，变形小
图7.29
第七章完
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