matlab求定积分之实例说明10页.docx
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matlab求定积分之实例说明10页
一、符号积分
符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：
int（s）：
没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int（s,v）：
以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int（s,v,a,b）：
求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf）。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。
内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt（x*y），积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt（x），积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：
>>symsxyz%定义符号变量
>>F2=int（int（int（x^2+y^2+z^2,z,sqrt（x*y）,x^2*y）,y,sqrt（x）,x^2）,x,1,2）%注意定积分的书写格式
F2=
1610027357/6563700-6072064/348075*2^（1/2）+14912/4641*2^（1/4）+64/225*2^（3/4）%给出有理数解
>>VF2=vpa（F2）%给出默认精度的数值解
VF2=
224.92153573331143159790710032805
二、数值积分
1.数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生（Simpson）法、牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。
该函数的调用格式为：
[I,n]=quad（'fname',a,b,tol,trace）
基于变步长、牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。
该函数的调用格式为：
[I,n]=quadl（'fname',a,b,tol,trace）
其中fname是被积函数名。
a和b分别是定积分的下限和上限。
tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例：
求函数'exp（-x*x）的定积分，积分下限为0，积分上限为1。
>>fun=inline（'exp（-x.*x）','x'）;%用内联函数定义被积函数fname
>>Isim=quad（fun,0,1）%辛普生法
Isim=
0.746824180726425
IL=quadl（fun,0,1）%牛顿－柯特斯法
IL=
0.746824133988447
三、梯形法求向量积分
trapz（x,y）—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分（向量形式，数值方法）。
>>d=0.001;
>>x=0:
d:
1;
>>S=d*trapz（exp（-x.^2））
S=
0.7468
或：
>>formatlongg
>>x=0:
0.001:
1;%x向量，也可以是不等间距
>>y=exp（-x.^2）;%y向量，也可以不是由已知函数生成的向量
>>S=trapz（x,y）;%求向量积分
S=
0.746824071499185
int的积分可以是定积分，也可以是不定积分（即有没有积分上下限都可以积）可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。
如果int（x^2,x,1,2）得到的结果是7/3
quad是数值积分，它只能是定积分（就是有积分上下限的积分），它是通过simpson数值积分来求得的（并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的）。
如果f=inline（'x.^2'）;quad（f,1,2）得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3
int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。
[FROM:
58.192.116.*]
对于y=exp（-（x.^2+x+1）/（1+x）），被积函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题，这是符号计算有限性，结果如下：
>>symsx
>>y=exp（-（x.^2+x+1）/（1+x））
>>s=int（y,x,0,inf）
y=
exp（（-x^2-x-1）/（1+x））
Warning:
Explicitintegralcouldnotbefound.
>>Insym.intat58
s=
int（exp（（-x^2-x-1）/（1+x））,x=0..Inf）
只有通过数值计算解法
>>dx=0.05;%采样间隔
>>x=0:
dx:
1000;%数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点，只要终值足够大，精度不受影响
>>y=exp（-（x.^2+x+1）./（1+x））;
>>S=dx*cumtrapz（y）;%计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得
>>S（end）
ans=
0.5641%所求定积分值
或进行编程，积分上限人工输入，程序如下：
%表达式保存为函数文件
functiony=fxy（x）
y=exp（-（x.^2+x+1）./（1+x））;%savefxy.m
%main--------主程序
clear,clc
h=.001;p=0;a=0;
R=input（'请输入积分上限，R='）
whileap=p+（fxy（a）+fxy（a+h））*h/2;
a=a+h;
end
p=vpa（p,10）
运行主程序后得到结果：
请输入积分上限，R=1000
R=
1000
p=
.5641346055
其它结果如下：
0-1:
int=.3067601686
0-2:
int=.4599633159
0-5:
int=.5583068217
0-10:
int=.5640928975
0-100:
int=.5641346055
0-1000:
int=.5641346055
[FROM:
211.65.33.*]
在积分函数中,
sqrt（e1*e2*e3）*cos（n1*pi*x/12）.*cos（n2*pi*y/11）.*cos（n3*pi*z/9）;已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3通过函数参数输入,如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。
而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了，可以求三重积分了。
完整函数程序：
functionFn（n1,n2,n3）
ifn1==0
e1=1;
elseifn1>0
e1=2;
end
end
ifn2==0
e2=1;
elseifn2>0
e2=2;
end
end
ifn3==0
e3=1;
elseifn3>0
e3=2;
end
end
F=@（x,y,z）sqrt（e1*e2*e3）*cos（n1*pi*x/12）.*cos（n2*pi*y/11）.*cos（n3*pi*z/9）;
S=triplequad（F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5）%求三重数值积分
将以上代码保存为Fn.m程序文件，即m文件，然后运行：
>>Fn（1,1,1）
S=
866.9655
[FROM:
211.65.33.*]
三重积分请用三重积分函数triplequad，与三个积分上下限对应，即x=triplequad（F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5）
其中被积函数F用"匿名函数"来表达，即
F=@（x,y,z）sqrt（e1*e2*e3）*cos（n1*pi*x/12）.*cos（n2*pi*y/11）.*cos（n3*pi*z/9）;
如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。
而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了。
完整函数程序：
functionFn（n1,n2,n3）
ifn1==0
e1=1;
elseifn1>0
e1=2;
end
end
ifn2==0
e2=1;
elseifn2>0
e2=2;
end
end
ifn3==0
e3=1;
elseifn3>0
e3=2;
end
end
F=@（x,y,z）sqrt（e1*e2*e3）*cos（n1*pi*x/12）.*cos（n2*pi*y/11）.*cos（n3*pi*z/9）;
x=triplequad（F,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5）
>>Fn（1,1,1）
x=
866.9655
[FROM:
58.192.116.*]
希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、理想的路总是为有信心的人预备着。
2、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。
——罗曼·罗兰
3、人生就像爬坡，要一步一步来。
——丁玲
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