学业水平考试数学浙江知识清单与训练25椭圆.docx
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学业水平考试数学浙江知识清单与训练25椭圆
选修2-1
§3椭
n知识条目排查梳理教材点点落实知识点一椭圆的概念
平而内与两个泄点鬥，尸2的距离的和等于常数（大于1尺尺1）的点的轨迹叫做.这两个左点叫
做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的•
集合P={MIIMF]l+IMF2l=2z小旧61=2。
，其中t/>0,c>0,且"，c为常数.
（1）若,则集合P为椭圆；
⑵若,则集合P为线段；
⑶若,则集合P为空集.
知识点二椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2y2
“2+52—]（">b>0）
”2丫2
^+^2=1（">0）
图形
y
AA2X
性质
范用
—“WxW"
—bWxWb
—bWyWb
对称性
对称轴：
坐标轴对称中心：
原点
顶点
Ai（—6/,0）,A?
（仏0）
—B2（0,b）
A]（0,~a）,人2（0,a）
Bi（-hO）,B2（bt0）
轴
长轴A1A2的长为：
短轴的长为
焦距
IF旧1=
离心率
6>=沪0,1）
b,c的关系
知识点三直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆位置关系判断的步骤
（1）联立直线方程与椭圆方程；
（2）消元得出关于x（或刃的一元二次方程：
⑶当£>0时，直线与椭圆相交；当£=0时，直线与椭圆相切；当4<0时，直线与椭圆相离.
2.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
涉及问题
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式（直线与椭圆有两交点）
中点弦或弦的中点
点差法（结果要检验）
注意：
弦长公式
IP1用=J1+£1\/（X】+恐）2—4门兀2=、y1+右7©1+户尸一4yp2.
例1
（1）已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为设A为圆上任一点，且点M2.0）,线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是（）
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
⑵设P是椭圆£+£=1上一点，鬥，5是椭圆的焦点，若ZF,PF2=60°,则屮F2的面积为
2°
例2已知椭圆卡+糸=1（“”>0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交E于儿B两点.若AB的中点坐标为（1，一1）,则椭圆E的方程为（）
y-
B-36+27=1
X2V2
A45+36=1
X2V2X2V2
C-27+18=1D.亟1
例3已知椭圆经过点（誓，羽）和点（军，1）,则椭圆的标准方程为
例4
（1）若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.
（2）从椭圆亲+右=1（"”>0）上一点P向a-轴作垂线，垂足恰为左焦点Fi，A是椭圆与x轴正半轴的交
点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP（0是坐标原点），求该椭圆的离心率.
例5已知点A（-LO）,直线AM.相交于点M,且加\・灯佃=一2・
（1）求点M的轨迹C的方程；
⑵过左点（0.1）作直线PQ与曲线C交于P,Q两点，
且IPQI=牢，求直线PQ的方程.
例6（2016年10月学考）设Fi,尺为椭圆手+£=1的左、右焦点，动点P的坐标为（T，加），过
点鬥的直线与椭圆交于A，B两点.
（1）求Fi,F2的坐标;
（2）若直线PA,PF2.PB的斜率之和为0,求加的所有整数值.例7（2016年4月学考）已知椭圆才+尸=1，P是椭圆的上顶点，过P作斜率为心H0）的直线/交椭圆于另一点设点A关于原点的对称点为B.
（1）求△PAB而积的最大值：
（2）设线段的中垂线与y轴交于点N,若点N在椭圆内部，求斜率£的取值范羽.
例8（2015年10月学考）设尺，尺分别是椭圆C：
，+尸=1的左，右焦点，过尺且斜率不为零的动宜线/与椭圆C交于A,B两点.
（1）求AAFiFz的周长；
（2）若存在直线/,使得直线FzA,AB,F出与直线^=一*分别交于P,Q,/?
三个不同的点，且满足
P、Q,R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线/的方程.
一、选择题
1.到两左点鬥（一2,0）和F2（2.0）的距离之和为4的点M的轨迹是（）
A.椭圆B.线段
C.圆D.以上都不对
2.如果方程牙+鸟=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数"的取值范用是（）
A.（3,+°°）B.（—8,—2）
C.（3,+8）u（-8,-2）D・（3,+8）u（-6,-2）
3・若椭圆*+阳2=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则加的值为（）
1-4
A
4•如图所示，已知椭圆£+£=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点，O为
坐标原点，那么线段ON的长是（
A.2B.4C.8D.|
3
X2V2
D石+〒=1
5・焦点在x轴上，短轴长为&离心率为§的椭圆的标准方程是（
C-25+16=1
6.椭圆亲+荒=1（“”>0）的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是Fi、F2,若lAFil,IF02I,IF1BI
成等比数列，则此椭圆的离心率为（）
7.椭圆“用+"护=1与直线y=lr交于M,N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为乎,则号的值是（）
返2^3班n^3
/>•°d•32*-/•27
&已知椭圆C：
卡+$=l（">b>0）的左、右焦点为鬥、F1,离心率为零过尸2的直线/交椭圆C于
A、B两点，若MF\B的周长为4萌，则椭圆C的方程为（）
A.y=1B.令+护=1
xv2
C.迈+討1
二、填空题
9.与椭圆亍+£=1具有相同的离心率,焦点在x轴上且过点（2,—回的椭圆的标准方程是•
10.已知P（m,椭圆^+f=l上的一个动点，则存+“2的取值范用是.
11.椭圆「：
吕+$=l（“>b>0）的左，右焦点分别为戸，E，焦距为2c.若直线y=*（x+c）与椭圆T
的一个交点M满足ZMF02=2ZMF2Fi,则该椭圆的离心率为.
三'解答题
12.已知椭圆的方程为/+号=1,直线/经过椭圆的焦点与椭圆交于A，B两点，若ZkAOB的而积为|，求直线/的方程.
13.如图，己知/”>1,直线/：
x—niy—^-=0,椭圆C：
和+护=1,F】、分别为椭圆C的左、右焦
答案精析
知识条目排查
知识点一
椭圆焦点焦距
（1）a>c
（2）a=c（3）a知识点二
加2b2c*=“2
题型分类示例
例1
（1）B
（2）乎
解析（DY点P在线段AN的垂直平分线上，
:
.\PA\=\PN\.
又AM是圆的半径，
•••IPMI+\PN\=IPMI+IPAI=L4MI
=6>IMNI,
由椭圆定义知，点P的轨迹是椭圆.
75
（2）由椭圆方程知，以=25,沪=亍，
.?
25.5
*/•c=2»2c=5・
在△PFlF2中，
IFiF2卩=IPFi卩+IPF2I2一2IPFillPFilcos60°,
即25=IPFiI2+IPF2I2-IPFiI-IPFzI.®由椭圆的定义得10=IPF】l+IPF2l，即1OO=IPF1I2+IPF212+2IPF1MPF2I.②由②一①，得3IPF1MPF2I=75,
AIPFihlPF2l=25,
/.SAFiPF2=ylPFillPF2l-sin60°
例2D
例3"+春=1
解析设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m>0,n>0.m^n）・因为点（晋，书）和点（晋，1）都在椭圆上，
"（誓）2+小（萌）2=1,加（斗^）2+”・2=1,
所以所求的椭圆的标准方程为*+曽=1.例4解
（1）由題意得2b=“+c,：
.4b2=（a+c）2,
又•.•“2=夕+
2,.・.4（“2_c2）=a2+2“c+c2,即3a2—2ac•—5c2=Ot
巧-5・（护=0,
即5・（£）2+2・£一3=0,
aa
•c3
••£=一=三・
a5
（2）由题意可设P（—c,）®）（c为半焦距），kop=—严，k：
\B=一夕，由于OP//AB,
■•U
•一7一一7爪一丁
把K_c,牛）代入椭圆方程得
例5解
（1）设M（x,y）9
•」一」一=“
■>
•W+号=i（xH±i）.
（2）当直线的斜率不存在，即P0是椭圆的长轴时，其长为2迈，显然不合题意，即直线P0的斜率存在・
设直线P0的方程是y=kx+\.P（xnyj）,Q（x29力），则yi—yi=k（x\—X2）9
联立
消去y得（疋+2）卫+2恋一1=0,
V』=4后+4伙2+2）=8（Q+1）>0,
••MR
•:
\PQ\=t\l（X\—A*2）2+Gt1—J2）2=7（\+疋）[（*1+也）2—4xiX2]=°&L+1
-272肿+2，
3yf2厂Q+1
A\PQ\=2=2返疋+2‘
疋=2,k=±yf29
•••直线P0的方程是y=±a/2.v+1.
例6解
（1）尺（一1,0）,F2（l,0）.
（2）①当直线AB的斜率不存在时，由对称性可知，皿=0.
②当直线的斜率存在时，设直线的斜率为匕
A（・myi）>B（x29ya）.
由题意得rH—1,X2H-1,直线AB的方程为y=kx-k.
直线PF2的斜率为一给
g—伙+加）
A2+1
化简整理得（4k—〃】）X]X2—3〃?
（jvi+q）—（4k+5皿）=0.（*）将直线AB方程y=k（x-V）代入椭圆方程，化简整理得
（4Q+3）*—8Qx+4Q—12=0.
由根与系数的关系得“+X2=
8Q
4后+3‘
4112
代入（#）式并化简整理得16Q加+20£+加=0・
"十20斤
川W=_T6?
+1-
当k=0时，m=0；
….20比1..201则5当诊°时'|〃戶碍^簪P
故加的所有整数值是一2,一1,0丄2・例7解
（1）由题意得椭圆的上顶点P（O,1）.
设点A为（xo,yo）,
因为B是A关于原点O的对称点,
=2S匕pao=2X*IPOIIx（）l=IaoL
因为一2WxoW2,所以当xo=±2时，S有最大值为2.
（2）由⑴知P（0.1）,B（—xg一对血H0且內工一1）,所以直线PB的斜率为中，线段PB的中点为（一岁号巴于是PB的中垂线方程为
由题意，Xo=
Ek_\-4k12一1+4心＞，0=l+4F
1-（-悬）2_（务郑
-以$N=]_4p
2（E尹1）
_12股
二—1+4T
因为点N在椭圆内部，
12启
所以一lv—yzp莎＜1,
解得—％：
普.
又由已知EHO,所以斜率k的取值范围是（一乎，0）U（0,咨）.
例8解⑴因为椭圆的长轴长2“=2辺，
焦距2c=2.
又由椭圆的定义得L4Fil+IAF2l=2n,
所以AAF,F2的周长为
IAFil+lAF2l+lFiF2l=2迈+2.
（2）由题意得/不垂直于两坐标轴，
故设/的方程为y=k（x+l）（RHO）,
1L
于是直线I与直线x=—㊁交点Q的纵坐标为yQ=j.
设Agyi）,B（X2.yz）＞
显然X2^1♦
所以直线尸2人的方程为＞==（兀一1）,
X]"
故直线恥与直线一技点P的纵坐标为k尹,
因为P,Q、R到x轴的距离依次成等比数列,
所以1〉词・1艸1=切|2,
整理得
9LV|X2+（X1+X2）+ll=LviX2—（XJ-|-X2）+11.（*）联立y=k（x+l）与椭圆方程，消去y得（1+2Q）W+4Rr+2Q—2=0,
代入（*）并化简#18^-11=9.
解得k=^,
经检验，直线/的方程为＞'=±^（1-4-1）.考点专项训练
1.B
2.D
3・A
4.B
5.C
6.B
7.A
8-A[•••△AFiB的周长为4伍•••滋=込戸，
离心率为習，・・・c=l,
・・・bfp二？
=逗，・•・椭圆C的方程为¥+弓=1.]
9舟
解析由题意可设椭圆的方程为兰+丘=1
4加十3/7
将点（2,—护）代入椭圆方程，解得加=2,
・•・椭圆的标准方程为扌+£=】•
10.[1.2]
解析因为P（加，"）是椭圆^+-|=1上的一个动点,所以协2十与=1,即宀2—加2,
所以/rr+?
?
2=2—/rr,
又一所以1W2—“FW2,
所以lW"*+“2£2.
11.y[3—1
解析由直线方程为y=V3（x+c）,
知ZMF]F2=60。
，又ZMF1F2=2ZA/F2Fh所以ZMF2Fi=3O%
所以MF】丄ME,
所以IMFil=c,IMF2I=V3c,所以IMF】I+IMF』=c+J5c=2a
即*=育=也—L
12.解由椭圆的方程W+号=1,得“2=2,b2=l,c2=l.
椭圆的焦点为Fi（O,-1）,F2（OJ）.
据题意，当直线/经过焦点F2（OJ）时,
可设其方程为y=kx+l9
y=kx+1,
建立方程组治*
消去”得伙2+2）W+2总一1=0.
二2迄伙2+1）
=Q+2•
又原点0到直线/的距离为
S^A（）s=^AB\d=
迈衣+]
疋+2
由已知，得
冋Q+1
Q+2
解得k=±\・
所以经过焦点r2（O,l）时，直线/的方程为y=x+1或），=一x+1；
同理，经过焦点Fi（O,一1）时，直线/的方程为y=x-\或〉=—x—l.
13.解
（1）丁直线x—my——=0经过点F2（yjfn2—\90）,
2
=牛.得m2=2.
又Tm>1♦・：
m=逗・
故直线/的方程为x-V2y-l=0.
（2）设A（x\9yi）,B（x29ya）*
由—8（丁一1）=—〃?
2+8>0,
知加2<8,且有yi+y2=_学,PJ2=
由于Fl（—c,0）,F2（c,0）,故0为鬥尸2的中点由G,H分别为△AF}F2.△BF]F?
的重心，
IG吩色护+气型
设M是GH的中点，则M（斗呂公）,由题意可知，2IMOklGHI,
、八Ji+y2、”_（xi—肥）2.（yi-yif6》+（—?
-）-】<—
而“也+y『2=（wyi+牛）（〃M+今）+〉‘『2
又Vm>\且J>0t/.\
•••加的取值范围是（1.2）・
1—yo_aoz|.切、
=_^TT（x+2）-
[%2
令a=0,得N的纵坐标•
又直线/的方程为y=M+l,
将方程代入手+尸=1并化简得
（1+4W+8也=0.
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