九年级中考几何模型之半角模型详解.docx

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九年级中考几何模型之半角模型详解

中考几何模型之半角模型

【模型由来】

半角模型是指：

共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。

如下图中：

若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。

【模型思想】

通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。

【基本模型】

类型一、90°中夹45°（正方形中的半角模型）

条件：

在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。

结论①：

图1、2中，EF=BE+FD；

证明：

如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，

∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，

且AE=AE，AF=AF’，

∴△FAE≌△F’AE（SAS），

∴EF=EF’，

又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，

∴F’、B、E三点共线，

∴EF’=BE+BF’=BE+DF。

结论②：

图2中MN²=BM²+DN²；

证明：

如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，

∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，

且AM=AM，AN=AN’，

∴△MAN’≌△MAN（SAS），

∴MN=MN’，

又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，

∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，

∴在Rt△MBN’中，MN’²=BM²+BN’²，

即MN²=BM²+BN’²。

结论③：

图1、2中EA平分∠BEF，FA平分∠DFE。

证明过程见证明①中时△FAE≌△F’AE即可。

结论④：

图1、2中

。

证明：

如图5中，过A点作AH⊥EF于H点，由结论③可知：

∠AEH=∠AEB，

且∠AHE=∠ABE=90°，AE=AE，∴△AEB≌△AEH（AAS），

∴AH=AB=AD，进而可以证明△AHF≌△ADF（AAS），

∴

.

结论⑤：

图6中，连接NE，则A、B、E、N四点共圆，△ANE为等腰直角三角形。

证明：

如图6中，∵∠EAF=45°=∠NBE，

∴A、B、E、N四点共圆，

由同弧所对的圆周角相等可知：

∠AEN=∠ABN=45°，

又已知∠EAN=45°，∴△NEA为等腰直角三角形。

此时会有

。

结论⑥：

图7中，连接MF，则A、M、F、D四点共圆，△AMF为等腰直角三角形。

证明：

如图7中，∵∠EAF=45°=∠BDF，

∴A、M、F、D四点共圆，

由同弧所对的圆周角相等可知：

∠AFM=∠ADB=45°，

又已知∠EAN=45°，∴△AMF为等腰直角三角形。

此时会有

。

结论⑦：

图8中，△AMN∽△AFE，

，

.

证明：

由结论⑥和结论⑤可知：

，且∠MAN=∠FEA=45°（公共角），

∴△AMN∽△AFE，且其相似比为

，

∴

，

由面积比等于相似比的平方可知：

∴

。

二、120°中夹60°

条件：

如图，△BDC为等腰三角形且∠BDC=120°，M和N分别是AB和AC上的两个点，且∠MDN=60°，△ABC为等边三角形。

结论①：

MN=BM+CN；

证明：

如下图1，延长AB到H点，并使得BH=CN，连接DH，

∵△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°=∠ACD，

即∠HBD=∠NCD=90°，

在△HBD和△NCD中：

∴△HBD≌△NCD（SAS），

∴DH=DN，∠HDB=∠CDN，

又∠BDC=120°，∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠CDN=60°，

即∠BDM+∠HDB=60°，

∴∠HDM=∠NDM=60°，

在△HDM和△NDM中：

∴△HDM≌△NDM（SAS），

∴MN=MH=MB+BH=MB+CN。

证明完毕！

结论②：

如上图1中：

△AMN的周长=2倍等边△ABC的边长；

或者说成：

3倍△AMN的周长=2倍等边三角形的周长。

证明：

由结论①知：

MN=MB+CN，

证明完毕！

【题型训练】

【例1】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°，若DF＝6，BE＝4．则正方形ABCD的边长为_________.

解：

设正方形ABCD边长为a，由上述半角模型结论①可知：

EF=BE+DF=10，

且EC=BC-BE=a-4，FC=DC-DF=a-6，

在Rt△EFC中，由勾股定理可知：

EF²=CF²+CE²，代入数值：

10²=（a-4）²+（a-6）²，

解得a=10（负值舍去），

故正方形的边长为10.

【例2】如图正方形ABCD中，点E，F分别在BC、DC上，∠EAF＝45°，AE，AF分别交BD于G，H，下列结论

①EF＝BE+DF；

②GH2＝BG2+HD2；

③∠AHE＝90°；

④若BE＝2，CF＝3，则S△AEF＝15；其中正确结论有_________（填序号）

解：

对于选项①，直接套半角模型结论①可知正确；

对于选项②，直接套半角模型结论②可知正确；

对于选项③，直接套半角模型结论⑤可知，△AHE为等腰直角三角形，故正确；

对于选项④，设正方形边长为a，则CE=a-2，CF=3，EF=BE+DF=2+（a-3）=a-1，

在Rt△EFC中，由勾股定理可知：

EF²=CF²+CE²，代入数值：

（a-1）²=3²+（a-2）²，

解得：

a=6，∴正方形的边长等于6，

由半角模型结论④可知：

，故④正确；

故其中正确的有①②③④。

【综合练习】

1、如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：

①DE+BF=EF，②BF=

，

③AF=

，④S△MBF=

其中正确的是__________（填序号）

【答案】①②④

2、问题背景：

如图1，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠BAD=α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC、CD于点E、F，且

，连接EF。

试探究：

线段BE、DF、EF之间的数量关系。

（1）特殊情况：

在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD=∠B=∠D=90°”，如图

（2）小明很快就判断出线段BE、DF、EF之间的数量关系__________________。

（2）类比猜想

类比特殊情景，小明猜想：

在如图

（1）的条件下线段BE、DF、EF之间的数量关系是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

（3）拓展应用：

如图（3），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,点D、E均在边BC上，且

∠DAE=45°，若BD=

，请求出线段DE的长。

【答案】

（1）BE+DF=EF；

（2）仍然成立，证明从略；

（3）

。

3、在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M和N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=CD，设△AMN的周长为Q，等边△ABC的周长为L。

（1）如图1，当M、N分别在线段AB、AC上，且DM=DN时，探究BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；此时Q与L的关系是____________。

（2）如图2，当M、N分别在线段AB、AC上，且DM≠DN，其他条件不变时，

（1）中的两个结论是否还成立？

请说明理由。

【答案】

（1）BM+NC=MN，3Q=2L;

（2）结论依然成立，证明从略。