40分附加题大突破与抢分秘诀.docx

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40分附加题大突破与抢分秘诀

40分附加题大突破与抢分秘诀

40分附加题大突破与抢分秘诀【专题定位】高考中主要考查曲线在矩阵变换下的曲线方程，求二阶矩阵的逆矩阵及二阶矩阵的特征值和特征向量等．如：

考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序．熟记几种常见变换，对应点间坐标关系；考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法；考查求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法；考查矩阵的特征值与特征向量的应用等．附加题部分由解答题组成，共6题．其中，必做题2题，考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容；选做题共4题，依次考查选修系列4中4－1、4－2、4－4、4－5这4个专题的内容，考生从中选2题作答．附加题部分由容易题、中等题和难题组成．容易题、中等题和难题在试卷中所占分值的比例大致为5∶4∶1.【应对策略】根据《考试说明》提出的要求，控制问题的难度，在本单元的复习中，应该注意突出以下几个方面：

1．回归课本，抓好基础知识的落实，高考题源于课本，在复习中必须重视对课本中的基础知识、基本方法和基本数学思想的复习，关注课本中的一些重点内容．2．加强训练，提高推理和运算能力，在复习过程中一定要注意加强训练，重视推理论证和运算能力的培养，学会主动地寻求合理、简捷的运算途径，努力提高解题的正确性和有效性．矩阵与变换【示例】►设M＝1002，N＝12001，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．解题突破可先求出MN，再求曲线在MN变换下的曲线方程．解MN＝100212001＝12002，（3分）设（x，y）是曲线y＝sinx上的任意一点，在MN变换下对应的点为（x，y）．则12002xy＝xy（5分）所以12y＝sin2x，即y＝2sin2x.即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下x＝12x，y＝2y，即x＝2x，y＝12y，（8分）代入y＝sinx得：

的曲线方程为y＝2sin2x.（10分）评分细则

（1）正确求出MN得3分.如果不正确本题不给分.

（2）正确表示x＝2x，y＝12y，得8分.（3）没有正确表示y＝2sin2x，扣1分.【突破训练】已知二阶矩阵A将点（1,0）变换为（2,3），且属于特征值3的一个特征向量是11，求矩阵A.解设A＝abcd，由abcd10＝23，得11＝3a＝2，c＝3.（5分）再由abcd11＝33，得a＋b＝3，c＋d＝3，b＝1，d＝0，A＝2130.（10分）【抢分秘诀】

（1）正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序．

（2）记住求逆矩阵的过程．（3）在求矩阵变换的特征值与特征向量时，可用定义建立关系．坐标系与参数方程【示例】►（2019如皋质量检测）在极坐标系中，A为曲线2＋2cos－3＝0上的动点，B为直线cos＋sin－7＝0上的动点，求AB的最小值．解题突破曲线2＋2cos－3＝0的直角坐标方程为（x＋1）2＋y2＝4，直线cos＋sin－7＝0先化为直角坐标方程x＋y－7＝0，问题变为求圆上的点到直线上点的距离的最小值．解圆方程为（x＋1）2＋y2＝4，圆心（－1,0），直线方程为x＋y－7＝0，（5分）圆心到直线的距离d＝|－1－7|2＝42，所以（AB）min＝42－2.（10分）评分细则

（1）正确将极坐标方程化为直角坐标方程各得2分.

（2）求出圆心到直线的距离得2分.（3）正确得到结果再得3分.【突破训练】在极坐标系中，点O（0,0），B22，4.

（1）求以OB为直径的圆C的直角坐标方程；

（2）若直线l的极坐标方程为cos＋sin＝4，判断直线l与圆C的位置关系．解

（1）设P（，）是所求圆上的任意一点，因为OB为直径，所以OPB＝90，则OP＝OBcos即x2＋y2－2x－2y＝0，－4，即＝22cos－4，（3分）故所求的圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.（5分）

（2）圆C的圆心的坐标为（1,1），半径为2，直线l的直角坐标方程为x＋y＝4，（7分）因为圆心到直线l的距离d＝|1＋1－4|12＋12＝2，所以直线l与圆C相切．（10分）【抢分秘诀】

（1）把极坐标方程转化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，可得相应的分数．

（2）求解过程要干净利落，条理分明，计算准确．空间向量解决立体几何问题【示例】►如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB＝23，

（1）求点A到平面MBC的距离；

（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解题突破

（1）先求出平面MBC的法向量，再利用公式求距离．

（2）通过求平面ACM与平面BCD的法向量所成的角，求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解取CD中点O，连OB，OM，由于△BCD与△MCD都是正三角形，则OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．OB＝OM＝3，则各点坐标分别为O（0,0,0），C（1,0,0），M（0,0，3），B（0，－3，0），A（0，－3，23），（2分）

（1）设n＝（x，y，z）是平面MBC的法向量，则BC＝（1,3，0），BM＝（0，3，3），由nBC得x＋3y＝0；由nBM得3y＋3z＝0；取n＝（3，－1,1），BA＝（0,0,23），（3分）则距离d＝|BAn||n|＝2155.（5分）

（2）CM＝（－1,0，3），CA＝（－1，－3，23）．设平面ACM的法向量为n1＝（x，y，z），由n1CM，n1CA得－x＋3z＝0，－x－3y＋23z＝0，解得x＝3z，y＝z，取n1＝（3，1,1）．（7分）又平面BCD的法向量为n＝（0,0,1），（8分）则cos〈n1，n〉＝n1n|n1||n|＝15，设所求二面角为，则sin＝1－152＝255.（10分）评分细则

（1）建立空间坐标系，得到相关点的坐标，得2分；

（2）求出平面MBC的法向量得1分，求出距离得2分；（3）求出平面ACM的法向量得2分，说出平面BCD的法向量得1分；（4）正确求出平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值得2分.【突破训练】（2019苏北四市联考）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1上，D1P平面PCE.试求：

（1）线段D1P的长；

（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．解

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0,0,2），E（2,1,0），C（0，2,0）．设P（x，y,2），则D1P＝（x，y,0），EP＝（x－2，y－1,2），EC＝（－2,1,0）．（2分）因为D1P平面PCE，所以D1PEP，D1PEC，所以D1PEP＝0，D1PEC＝0，故x（x－2）＋y（y－1）＝0，－2x＋y＝0.解得x＝0，y＝0.（舍去）或1625＋64x＝45，y＝85.（4分）即P45，85，2，所以D1P＝45，85，0，所以D1P＝25＝455.（6分）

（2）由

（1）知，DE＝（2,1,0），D1P＝45，85，0，D1P平面PEC，设DE与平面PEC所成角为，D1P与DE所成角为，则sin＝|cos|＝D1PDE||DE|D1P|＝16558025＝45，所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为45.（10分）【抢分秘诀】

（1）建立空间坐标系，得到相关点的坐标．

（2）用坐标正确表示相关向量．（3）尽可能的找出或求出相关平面的法向量．（4）借助符号语言，保证过程条理分明，正确计算求结果．概率、随机变量及其分布列【示例】►在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：

木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味），小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）．

（1）小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？

（2）小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数X的分布列，并计算其数学期望．解题突破

（1）分三类情况讨论：

①8种口味均不一样；②两瓶口味一样；③三瓶口味一样．

（2）确定X的取值为0,1,2,3.分别计算各种取值的概率，写出分布列并计算其数学期望．解

（1）若8种口味均不一样，有C38＝56种；若其中两瓶口味一样，有C18C17＝56种；若三瓶口味一样，有8种，所以小明共有56＋56＋8＝120种选择，（4分）

（2）X的取值为0,1,2,3.P（X＝0）＝C37＋C176＋7120＝84120＝710；P（X＝1）＝C27＋7120＝28120＝730；P（X＝2）＝7120；P（X＝3）＝1120.（8分）所以X的分布列为X0123P71073071201120其数学期望EX＝0710＋1730＋27120＋31120＝38.（10分）评分细则

（1）三类情况，每对一个1分，结果1分.

（2）求X＝0，1，2，3.的情形的概率，每对一个1分；（3）数学期望计算正确2分.【突破训练】某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：

按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为932.

（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；

（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）解

（1）由题意得（1－p1）p1＋18＝932，p1＝14或58.∵p1＞12，p1＝58.（4分）

（2）由

（1）知小李4次考核每次合格的概率依次为58，34，78，1，所以P（X＝1）＝58，P（X＝2）＝932，P（X＝3）＝1－581－3478＝21256，P（X＝4）＝1－581－341－781＝3256，（6分）所以X的分布列为X1234P58932212563256（8分）E（X）＝158＋2932＋321256＋43256＝379256.（10分）【抢分秘诀】

（1）要明确X的可能取值情况．

（2）利用概率的有关知识，正确计算X的各个取值的概率．（3）求概率时要充分利用随机变量的概率、古典概型等知识．（4）写分布列时要按规范，注意用分布列的性质验证．排列组合、二项式定理及数学归纳法的综合考查【例1】►（2019高邮模拟）在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和为Sn满足Sn＝12an＋1an.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）由

（1）猜想出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解题突破

（1）由S1＝a1＝12a1＋1a1可求a1＝1；同理可求a2，a3；

（2）由a1，a2，a3的特征猜想数列{an}的通项公式，再用数学归纳法证明．解

（1）由S1＝12a1＋1a1得，a21＝1，而an＞0，所以a1＝1.由S2＝12a2＋1a2得，a22＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1.又由S3＝12a3＋1a3得，a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－2.（3分）

（2）猜想an＝n－n－1（nN*）．（4分）①当n＝1时，a1＝1＝1－1－1，猜想成立；②假设n＝k（k1）时猜想成立，即ak＝k－k－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak.即ak＋1＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k，（6分）化简得a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，解得ak＋1＝k＋1－k＝k＋1－（k＋1）－1，即n＝k＋1时猜想成立，（9分）综上，由①、②知an＝n－n－1（nN*）．（10分）评分细则

（1）a1，a2，a3对一个1分.

（2）正确猜想1分.（3）根据归纳假设正确变形得2分.（4）根据归纳假设正确推理得到n＝k＋1时猜想成立，得3分；结论1分.【突破训练1】在正项数列{an}中，对于一切的nN*均有a2nan－an＋1成立，

（1）证明：

数列{an}中的任意一项都小于1；

（2）探究an与1n的大小，并证明你的结论．

（1）证明由a2∵在数列{an}中an＞0，an＋1＞0，an－a2nan－an＋1得an＋1an－a2nn＞0，0＜an＜1故数列{an}中的任意一项都小于1.（4分）

（2）解由

（1）知0＜an＜1＝11，那么a2a1－a21＝－a1－122＋1414＜12，由此猜想：

an＜1n（n2）．（6分）下面用数学归纳法证明：

①当n＝2时，显然成立；②当n＝k时（k2，kN*）时，假设猜想正确，即ak＜1k12，那么ak＋1ak－a2k＝－ak－122＋14＜－1k－122＋14＝1k－1k2＝k－1k2＜k－1k2－1＝1k＋1，当n＝k＋1时，猜想也正确综上所述，对于一切nN*，都有an＜1n.（10分）【例2】►（江苏省2019届高三全真模拟一22）已知x＋12xn的展开式中前三项的系数成等差数列．

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项．解题突破

（1）由展开式中前三项的系数成等差数列，建立方程求n的值．

（2）展开式中系数最大的项的系数应满足大于前一项的系数，还大于后一项的系数，由此建立关系式，确定r的值．解

（1）由题设，得C0n＋14C2n＝212C1n，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1（舍去）．（3分）

（2）设第r＋1的系数最大，则12rCr812r＋1Cr＋18，12rCr812r－1Cr－18.（5分）即18－r12（r＋1），12r19－1.解得r＝2或r＝3.（8分）所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x92.（10分）【突破训练2】设数列{an}满足：

a1＝－5，an＋1＝2an＋3n＋1，已知存在常数p，q使数列{an＋pn＋q}为等比数列．解方程an＝0.解由条件令an＋1＋p（n＋1）＋q＝k（an＋pn＋q），则an＋1＝kan＋（kp－p）n＋kq－q－p，故k＝2，kp－p＝3，kq－q－p＝1k＝2，p＝3，q＝4.又a1＋p＋q＝2，an＋3n＋4＝22n－1，an＝2n－3n－4.（5分）计算知a1＝－5，a2＝－6，a3＝－5，a4＝0，a5＝13.故猜测n5时，an＞0，即2n＞3n＋4，下证：

①当n＝5成立；②假设n＝k（k5）时成立，即2k＞3k＋4，那么当n＝k＋1时，2k＋1＞2（3k＋4）＝6k＋8＞3k＋7＝3（k＋1）＋4，故当n＝k＋1时成立，由①②可知，命题成立．故方程an＝0的解为n＝4.（10分）【抢分秘诀】1．关于二项式定理

（1）二项式定理主要题目类型：

①证明某些整除问题或求余数．②证明有关不等式．

（2）解题方法归纳：

①利用二项式定理可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧．②由于（a＋b）n的展开式共有（n＋1）项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．而对于整除问题，关键是拆成两项后，利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除．2．关于数学归纳法

（1）要验证初始值成立．

（2）要运用归纳假设，根据归纳假设进行适当的变形．（3）用数学归纳法的两个步骤缺一不可．