两角和与差公式.docx

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两角和与差公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

基础知识・自主学习

n知识梳理

i.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos（a—3=cosacos3+sin«sin3（C（a3）

cos（a+3=cos_acos_3—sin_ocsin…3（C（a+^）

sin（a—3=sin_ocos_3—cos_asin_3（S（a—3）

sin（a+3=sin_ocos_3+cos_asin_3（S（a+3）

tana—tan3十

tan（a—3=:

；（T（a—3））

1+tanatan3

一tana+tan3，十

tan（a+3=~I?

"（T（a+3））

1—tanatan3

2•二倍角公式

sin2a=2sin_久cos_a;

2.22・2

cos2a=cosa—sina=2cosa—1=1一2sina;

-2tana

tan2a=.

1—tana

逆用和变形

3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：

如公式的正用、

用等.如T（引可变形为

tana±an3=tan（a±®（1?

tan_atan__®,

tana+tan3tana—tan3,

tanaan3=1—=—「

“tan（a+3）tan（a—3）

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“V”或“X”）

（1）存在实数a,3,使等式sin（a+3）=sina+sin3成立.（V）

⑵在锐角厶ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定.（X）

3）,且对任意

（3）公式tan（a+3）=tana+tan3可以变形为tana+tan3=tan（a+3）（1—tanaan

1—tanaan3

角a,3都成立.（X）

⑷存在实数a,使tan2a=2tana（V）

⑸设sin2a=—sina,a€（才，n,则tan2a=,3.（V）

考点自测

1.（2013浙江）已知

a€R,Sina+2COSa=冷0，贝Vtan2a等于（）

4

A・3

33

B.4C—4

答案

解析

'•Sina+2cos

10

a=〒,

.2:

•sina+4sinocosa+4cos

25

ia=2・

化简得：

4sin2a=—3cos2a,

sin2a3,,•an2a=co?

2r—7故选C.

Sina+cosa1,

=2贝ytan2a等于（）

a—COSa

4

D.4

答案

解析

sina+cosa由

sina—cosa

1tana+11

1等式左边分子、分母同除cosa得，=~，解得tana=—3,

2tana—12

则tan

2a=^f=3・

1—tana4

3.（2013课标全国n）设B为第二象限角，若

tan（0+：

=?

，贝Vsin0+cos0=

答案

10

5

解析

'•tan

•an0=—3

3sin0=—cos0,即

Isin20+cos20=1,

且B为第二象限角,

解得sin0=£°,

cos

_3何

0=—10.

•'sin0+cosA—4.（2014课标全国n）函数f（x）=sin（x+2册—2sin$cos（x+妨的最大值为

答案1

解析・.f（x）=sin（x+2册—2sin（j）cos（x+册

=sin[（x+册+册—2sin（jcos（x+妨

=sin（x+©cos0+cos（x+©sin2singos（x+⑥

=sin（x+©cos©—cos（x+©sin©

=sin[（x+©—©=sinx,

••f（x）的最大值为1.

题型分类・深度剖析

题型一三角函数公式的基本应用

tan（a+B）的值为（）

例1

（1）设tana,tanB是方程x2—3x+2=0的两根,

C.1D.3

nnn、1

⑵右o

c°s（：

—弓=F,则cos（a+f）等于（）

A.

答案

（1）A

（2）C

解析

（1）由根与系数的关系可知

tana+tanB=3,tandanf=2.

tana+tanB3

•'tan（a+f）===—3.

1—tandanB1—2

故选A.

（2）cos（a+

nnB

=cos[（4+a）—（4—2）]

n、zn3n、.，nB

=cosq+acos（4—2）+sin£+a）sin（4—呂）.

n

••0va<2,

nn3n则右+av&，

•■sin（：

+a=欝.

则n

则4422，

n卫6则sin（4-2）=苜.

故曲+护1丿押冷=攀故选C.

思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立•使用中要注意观察角之间的和、

差、倍、互补、互余等关系.

解析

ntana+11

（1）：

tan（a+-）==1,

41—tana7

•'tan

3sina

a=—4=COsa，

•'COSa=-|sina

F..・22

乂・Sina+COSa=1,•-S^a=25.

n3

又=€（2,n,/sina=5.

cos100sin20

2sin10「sin10

cos10°2sin20

2sin10°

cos10°2sin30。

一10°

2sin10°

cos10°2sin30c6s10+2cos30s°10

2sin10°

题型二三角函数公式的灵活应用

例2

（1）sin（65°x）cos（x—20°）+cos（65°—x）cos（110°—x）的值为（）

A.2

b¥

C.1

⑶求值:

cos15半sin15

cos15—sin15

1

答案

（1）B⑵？

cos2x（3）,3

解析

（1）原式=sin（65°x）cos（x—20°+cos（65°x）cos[90°—（x—20°]=sin（65°x）cos（x—

20°+cos（65-x）sin（x—20—sin[（65-x）+（x—20—=sin45缚故选B.

『222

（2cosx—1）=cos22x

nnn

4sin]—xcos4—x2sin2x

2c’

cos2x1==-cos2x.

2cos2x2

1+tan15°tan45丰tan15

（3）原式==

1—tan15°1—tan45tan15

=tan（45牛15°）=■.3.

思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用

及变形，如tana+tan3=tan（a+3（1—tanatan3和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

答案

（1）cosa

（2）3

2a八・aaa.a

（2cos2+2sintcost）（cos，一sin^解析⑴原式=——22222

寸4cos2a

a

因为aqo,n,所以cosyo,

2aaaaa

2cos2+2sin^cos^-cos2—sin§所以原式=

a

2cos^

=.3,

所以tanA+tanC+,3tanAtanC

题型三三角函数公式运用中角的变换

1

又Ttan（a—3）=—3<0,

n

2

xH0W10

•■sin（a—3）=—肓,cos（a—3）=^^.

34

'.a为锐角，sina=5，「・COSa=5.

•'cos3=cos[a—（a—®]=cosa;os（a—3+sin久sin（a—3）=X远+x（—血）=更

n

4

2

510+5'10）50.

/、1+cos2

2ini

⑵因为cosa+4=

（n

1

“所

+cosa+21—sin2a

a—3

2=（

3a“

a+^）-（^+3等.

踉踪训缚

■3

（1）设a、3都是锐角，且cosa=£5,sin（a+3=3贝"cos3等于（）

55

A技5

A.25

B.5

3或

C.25或

D.f唏

5525

（2）已知（

cos（a-6）+sina=g\/3,贝Usin（a+77）的值是

答案（1

4

）A

（2）-4

5

解析（1

）依题意得sina='1—cos2a=,

COS（a+3

3=±1—sinia+3=±5.

又a,3

均为锐角，所以0cos（a+3）•

因为5>-

54

>——

55，

所以cos

4

；（a+®=—5.

于是cos

;3=cos[（a+3）—a

=COS（a-

卜3cosa+sin（a+3sina

一4X

5

叵3X2萌疵

5+5525.

（2）'-Cos（

n4

a—6）+sina=5」3,

•鱼

--2cos

3.4；.-

a+^sina=5冯3,

.3（2cos

3.\4Q

a+2sina=5.3,

3sin（6-

卜a=43,

・zn

「sin（6+

“）=5,

•*sin（a+

7nn、4

孕=-siPi©-a=—5.

高频小考点

高考中的三角函数求值、化简问题

2cos2#-sin0-1

典例：

⑴若tan20=—22,n<0<2n,则

—n

2sinB+4

n

（2）（2014课标全国I）设a€（0,^）,3€（0,

n

2）,且tan

1+sin3,、

a=盂頁则（）

A.3a—3=2

B.2a—

n

3=2

D・2a+

n

C.3a+3=2

⑶（2012大纲全国）已知a为第二象限角,

sina+cos

a=_33，^cos2a等于（）

A•-于B--专晡D^

a与sinacosa的联系.

⑶可以利用sin2a+cos2a=1寻求sina±cos

⑷利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.

“,cos0—sin01—tan0

解析

（1）原式==:

sin0+cos01+tan0

2tan0

又tan20=—=—22，即2tan20—tan0-.2=0,

1—tan20

n

•'2<0n:

.an

1

0=—.2,

故原式=

丄

—=3+22.

1—.2

'■'n<2<2n,

1+si口sina1+sinB

⑵由tana='得=

cospcosacosp

即sino（cosp=cosa+cosainp

—nnn_亠n

•■-a—pq-2，2），2—aC（0，2），

•••由Sin（a—p=sin（2—a），得a—P=2—a,

cn

•'2a—p=夕

n3

•2kn+2

3

•4kn+n<2x<4kn+2n（k®）,

•2a为第三象限角,

•「a为第二象限角，••sina>0,cosa<0,

•Sina—cosa=

P（sina—cosa$

=1—2sin

acosa=

15

3

sina+COSa=令，由3

sina—COSa=于,

.3+15sina=

6

得

3一15

COsa=6

•'COS2a=2COSa—1=—~~.

3

cos17

sinf30°+17°—sin17cOs30（4）原式=

sin30cOs17+cos30s°17—sin17cOs30cos17°

答案

（1）3+22

（2）B（3）A（4）C

温馨提醒

（1）三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式.

（2）三角求值

要注意角的变换，掌握常见的配角技巧.

思想方法-感悟提高

方法与技巧

1.巧用公式变形:

和差角公式变形：

tanx±any=tan（x±y）（1?

tanxtany）;倍角公式变形：

降幕公式cos2a=

1+cos2a

2

sina=

1—cos2a

2

配方变形：

1±;ina=

2a

1+cosa=2cos2,

2a

1—cosa=2sin2・

次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.

J2

2.在（0,n范围内，Sin（a+所对应的角a+B不是唯一的.

3.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值

练出高分

组专项基础训练

（时间：

30分钟）

2

1.已知tan（a+3=5,tan

n1

4=4,

那么tan

a才丿等于（）

a.^8

18

b.13c.22d.6

22226

答案

2.若

0€

n

[4,

n

2]，

sin20=，贝Vsin0等于（

8

3

4

7

3

代3

B.4

C

-4

d・4

答案

D

）

解析由sin20=討7和sin20+cos20=1得

2

（sin0+cos0）=

3一V73

同理，sin0-cos0=丁，.30=2

3.已知tana=4,则

2

1+cos2a+8sin

sin2a

a的值为（

A.4.3

65

D.

答案B

222

1+cos2a+8sina2cosa+8sina解析=

sin2a2sinacosa

cos40

-n

已知cos（x—6）=—

4.（2013重庆）4cos50-tan40等于（）

A.2

2+,

B.2

C.3

D.22—1

答案

C

解析

4cos50°—tan40°

4sin40cos40—sin40

cos40°

2sin80-sin40°2sin50°+30°—sin40

解析

cosx+cos（x—

3）=

1血.3

cosx+?

cosx+~sinx=?

cosx+

1

cosx+§sinx）=,3

宁sinx=

n

cos（x—6）=—1・

1—cos90°+10°1+sin10°1

21+sin10°21+sin10°2.

7.已知aB均为锐角，且cos（a+3=sin（a—B）,贝Utana=答案1

解析根据已知条件：

cosacos3—sinasin=sinacoscosasin3

cosBcosa—sina）+sinBcosa—sina）=0,

即（cos3+sin3（cosa—sina）=0.

又a、3为锐角，则sin+cosB>0,

•'cosa—sina=0,—tana=1.

Vptan12—3

8.4cos212°—2sin12

答案—4,3

解析

原式=

-3

cos12

2o

22cos12°—1sin12

2.3*sin12—"^cos12°

cos12°

2cos24s°n12°

2,3sin—48°—2,3sin48

2cos24sin12c6s12=sin24cbs24

—2,3sin48

^sin48

=—43.

9.已知

1+sina

；1—sina

1—sina

41+sina

2tan

a,

试确定使等式成立的

a的取值集合.

|1+sina|1—sina|

1+sina—1+sina

—|cosa

2sina

—|cosa，

2sina2sina

所以一一2tana——.

|COsaCOsa

所以sina—0或|cosa=—cosa>0.

n3n

故a的取值集合为{aa—kn或2kn+^

」i'n'n.aav6

10.已知a2，n，且sin2+cos2—芬.

（1）求cosa的值；

⑵若sin（a—®=—3,沃牙，n求cosB的值.

解⑴因为sin0°+cos扌一于，

1

两边同时平方，得sina—2.

nn

⑵因为2

nnn

所以一n<—仟—，故一2

34

又sin（a—B—一匚，得cos（a—B—.

55

cosB—cos[a—（a—®]—cosacos（a—B）+sin久sin（a—B）--今-5+八3--害

B组专项能力提升

（时间：

25分钟）

2

n1n

11.已知tan（a+4）—2,且—2

2sina+sin2a

则厂等于（

cosa—4|

鉱C一血D也

10.105

答案A

ntana+111

解析由tan（a+-）==；，得tana=_；.

41—tana123

n

又一2

sin

10

a=—10.

2

2sina+sin2a2sinasina+cosa

故=:

=22sina

=—沁

=—5.

12.若a€0,n,且sin2a+cos2a=半，则tana的值等于（）

2

A."2"

B^33C.2D.3

答案

D

解析

..n口.21

-aq0,，且sina+COS2a=4,

..22.21.21

-sina+COsa—Sina=4，.・COSa=4,

1、1

•■cosa=2或—2（舍去）,

答案

7*2

10

解析

因为sin20=

2sinGcos0

22:

sin0+cos0

2tan0

2

tan0+1

4

5,

又由eq。

n，得20如,n,

所以cos20="1—sin220=|,

n

所以sin（20+J

nn4V23V2理2

=sin20cos+cos29sin=x+x=

44525210'

（7n（3nx；

14.已知函数f（x）=sinx+4+cosx—4,x€R.

（1）求f（x）的最小正周期和最小值；

^4^4n_2

⑵已知cos（3—a=5，cos（B+a=—5，0

[f（3）]—2=0.

••T=2n,f（x）的最小值为一2.

4

⑵证明由已知得cos3osa+sin滋ina=5,

4

cos伍osa—sin3sina=—5,

两式相加得2cos3cosa=0,

22n

••[f（3）]—2=4sin4—2=0.

15.已知f（x）=（1+tan~x）sinx—2sin（x+sin（x—》.

（1）若tana=2，求f（a的值；

nn⑵若x€【12，J，求f（x）的取值范围.

解

（1）f（x）=（sin2x+sinxcosx）+2sinx+4•

cosx+4

11

=2+2（sin2x—cos2x）+cos2x

11=2（sin2x+cos2x）+夕

2sinoposa

a=.22=

Sina+cosa

2.22

cosa—sina1—tana3

Cos2a=22=2=一5

sina+cosa1+tana5

11

⑵由⑴得f（x）=2（sin2x+cos2x）+㊁

=#sin2x+

n+1.

由x€n,

5nn_5n得存2x+厂54-.

所以--2

/n72+1

Wsin2x+4<1,0<