两角和与差公式.docx

1、两角和与差公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础知识自主学习n知识梳理i.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( a3 = cos acos 3+ sin sin 3 (C( a 3)cos( a+3 = cos_acos_ 3 sin_ ocsin3 (C(a+ )sin( a 3= sin_ ocos_ 3 cos_asin_ 3 (S(a3)sin( a+ 3= sin_ ocos_ 3+ cos_ asin_ 3 (S(a+3)tan a tan 3 十tan(a 3 = : ； (T( a3)1 + tan atan 3一 tan a+ tan 3 ，十tan( a+ 3 = I

2、 ? (T (a+ 3)1 tan atan 32 二倍角公式sin 2 a= 2sin_ 久cos_ a;2. 2 2 2cos 2 a= cos a sin a= 2cos a 1 = 1 一 2sin a;- 2ta n atan 2 a= .1 tan a逆用和变形3.在准确熟练地记住公式的基础上， 要灵活运用公式解决问题： 如公式的正用、用等.如T(引可变形为tan aan 3= tan( a(1 ?tan_ atan_,tan a+ tan 3 tan a tan 3 ,tan aan 3= 1 = “ tan( a+ 3) tan( a 3)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在

3、括号中打“V”或“X” )(1)存在实数 a, 3,使等式 sin( a+ 3)= sin a+ sin 3成立.( V )在锐角厶ABC中，sin As in B和cos Acos B大小不确定.(X )3),且对任意(3)公式 tan(a+ 3)= tan a+ tan 3可以变形为 tan a+ tan 3= tan( a+ 3)(1 tan aan1 tan aan 3角a, 3都成立.(X )存在实数 a,使tan 2 a= 2tan a( V )设 sin 2 a= sin a, a (才，n ,则 tan 2 a= , 3.( V )考点自测1. （2013浙江）已知a R, S

4、in a+ 2COS a=冷0，贝V tan 2 a等于（ ）4A33 3B.4 C4答案解析Sin a+ 2cos10a=,.2 :sin a+ 4sin ocos a+ 4cos2 5i a= 2化简得：4sin 2 a= 3cos 2 a,sin 2 a 3 , an 2a= co?2r7 故选 C.Sin a+ cos a 1 ,=2 贝y tan 2 a 等于（ ）a COS a4D.4答案解析sin a+ cos a 由sin a cos a1tan a+1 11等式左边分子、分母同除 cos a得， =，解得tan a= 3,2tan a 1 2则tan2 a=f = 31 ta

5、n a 43. （2013课标全国n ）设B为第二象限角，若tan（0+ ：= ?，贝V sin 0+ cos 0=答案,105解析tanan 0= 33sin 0= cos 0, 即Is in2 0+ cos2 0= 1,且B为第二象限角,解得 sin 0=,cos_ 3何0= 10 .sin 0+ cos A 4. （2014课标全国n ）函数f（x） = sin（x+ 2册2sin $cos（x+妨的最大值为答案 1解析 .f(x) = sin(x+ 2 册2sin(j)cos(x+ 册=sin(x + 册 + 册2sin (jcos(x + 妨=sin(x+ cos 0+ cos(x+

6、 sin 2sin gos(x+ =sin(x+ cos cos(x+ sin =sin (x + = sin x,f(x)的最大值为1.题型分类深度剖析题型一三角函数公式的基本应用tan(a+ B)的值为( )例1 (1)设tan a, tan B是方程x2 3x + 2= 0的两根,C. 1 D . 3n n n 、 1右 o a2, 2 b0 , cosq + a=3,cs(：弓=F,则 cos( a+ f)等于( )A.答案(1)A (2)C解析(1)由根与系数的关系可知tan a+ tan B= 3, tan dan f= 2.tan a+ tan B 3ta n(a+ f)= =

7、= 3.1 tan dan B 1 2故选A.(2)cos( a+n n B=cos(4+ a)(4 2),n 、 z n 3 n 、.，nB=cosq+ acos(4 2)+ si n+ a)s in(4呂).n0v a2,n n 3 n 则右+ av&，si n(：+ a =欝.则 nn3n则 4 4 2 2，n卫 6 则 sin(4- 2)=苜.故曲+护1丿押冷=攀故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.解析n tan a+ 1 1(1) ：tan( a+-)= = 1,4 1 tan a 7tan3 sin aa=

8、 4 = COs a，COS a=- |sin aF . 2 2乂 Sin a+ COS a= 1 , -Sa= 25.n 3又=(2, n , /sin a= 5.cos 10 0 sin 202sin 10sin 10cos 10 2sin 202sin 10 cos 10 2sin 30。一 102sin 10 cos 10 2sin 30 c6s 10 + 2cos 30 s 102sin 10 题型二三角函数公式的灵活应用例 2 (1)sin(65 x)cos(x 20) + cos(65 x) cos(110 x)的值为( )A. 2bC.1求值:cos 15 半 sin 15co

9、s 15 si n 151答案(1)B ？cos 2x (3),3解析 (1)原式=sin(65 x) cos(x 20 + cos(65 x)cos90 (x 20 = sin(65 x)cos(x 20+ cos(65 -x)sin(x 20 sin(65 -x)+ (x 20 = sin 45 缚故选 B. 2 2 2(2cos x 1 ) = cos22xn n n4sin x cos 4 x 2sin 2x2c cos 2x 1 = =-cos 2x.2cos 2x 21 + tan 15 tan 45 丰 tan 15(3)原式= =1 tan 15 1 tan 45 tan 15

10、=tan(45 牛 15) = . 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan a+ tan 3= tan(a+ 3 (1 tan atan 3和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式 的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.答案(1)cos a (2) 32 a 八a a a .a(2cos 2 + 2sintcost )(cos，一 sin 解析原式=2 2 2 2 2寸 4cos2aa因为aqo, n,所以cosyo,2 a a a a a2cos 2+ 2sincos - cos2 sin 所以原式= a2

11、cos=.3,所以 tan A+ tan C + ,3tan Atan C题型三 三角函数公式运用中角的变换1又 Tta n( a 3)= 30,n2 a 30.xH0 W10sin(a 3)=肓,cos(a3)=.3 4.a 为锐角，sin a= 5，COS a= 5. cos 3= cos a ( a =cos a;os( a 3+ sin 久sin (a 3) =X 远 + x (血)=更n425 10 + 5 10 ) 50 ./ 、 1 + cos22i n i因为cos a+ 4 =(n1“所+ cos a+ 2 1 sin 2 aa 32 =(3 a “a+ ) - ( + 3

12、等.踉踪训缚 3 (1)设 a、3都是锐角，且 cos a=5, sin( a+ 3 = 3 贝cos 3等于( )5 5A技5A. 25B. 53或C. 25 或D.f 唏5 5 25（2）已知（cos( a- 6)+ sin a= g/3,贝U sin( a+ 77)的值是答案（14)A (2) - 45解析（1)依题意得 sin a= 1 cos2 a=,COS(a+ 33 = 1 sin i a+ 3 = 5.又a, 3均为锐角，所以 0 acos( a+ 3) 因为5-5 4 5 5，所以cos4；(a+ = 5.于是cos;3= cos( a+ 3) a=COS( a-卜 3cos

13、 a+ sin( a+ 3sin a一 4X5叵3X 2萌疵5 + 5 5 25 .(2) -Cos(n 4a 6) + sin a= 53,鱼-2 cos3 . 4 ；.-a+ sin a= 5冯 3,.3(2cos3 . 4 Qa+ 2 sin a= 5 .3,3s in(6 -卜a=4 3,z nsin(6+“)=5,*sin( a+7 n n 、 4孕=-si Pi- a= 5.高频小考点高考中的三角函数求值、化简问题2cos2#- sin 0- 1典例： 若 tan 2 0= 2 2, n 02n,则 n2sin B+ 4n(2)(2014 课标全国 I)设 a (0, ), 3 (

14、0,n2),且 tan1 + sin 3 , 、a=盂頁则()A . 3 a 3= 2B . 2 an3= 2D 2 a+nC . 3 a+ 3= 2(2012大纲全国)已知a为第二象限角,sin a+ cosa=_33， cos 2a 等于( )A -于B-专晡Da与 sin acos a的联系.可以利用sin2a+ cos2 a= 1寻求sin acos利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.“ , cos 0 sin 0 1 tan 0解析 (1)原式= = :sin 0+ cos 0 1 + tan 02tan 0又 tan 2 0= = 2 2，即 2tan20tan 0- . 2

15、 = 0,1 tan2 0n2 0 n :.an10= .2,故原式=丄=3 + 2 2.1 .2n 22 n, 1 + si口 sin a 1 + sinB由tan a= 得 =cos p cos a cos p即 sin o(cos p= cos a+ cos ain p n n n _亠 n-a pq-2，2)，2 aC(0，2)， 由Sin( a p = sin(2 a)，得 a P= 2 a,c n2 a p=夕n 32k n+ 2 a2kn+ 4 Mk 題),3 4k n+ n 2x0 , cos a0,cos a sin a= 0,ta n a= 1.Vptan 12 38. 4

16、cos212 2 sin 12答案 4,3解析原式=- 3cos 122 o2 2cos 12 1 sin 122 .3 *sin 12 cos 12 cos 12 2cos 24 sn 12 2 , 3sin 48 2 , 3sin 482cos 24 sin 12 c6s 12 =sin 24 cbs 242 , 3sin 48sin 48=4 3.9 .已知1 + sin a；1 sin a1 sin a4 1 + sin a2tana,试确定使等式成立的a的取值集合.|1 + sin a |1 sin a|1 + sin a 1 + sin a |cos a2sin a|cos a，2

17、sin a 2sin a所以 一一2tan a .|COs a COs a所以 sin a 0 或|cos a= cos a0.n 3 n故 a 的取值集合为 a a kn或 2k n+ a2k n或 2k n+ na2k n+， k Z. in n . a a v610.已知 a 2， n，且 sin 2 + cos 2 芬.(1)求cos a的值；若sin( a = 3,沃 牙，n 求cos B的值.解因为sin 0+ cos扌一于，1两边同时平方，得 sin a 2.n n因为 2 an, 2 Bn,n n n所以一n仟，故一2a护夕34又 sin( a B 一 匚，得 cos( a B

18、 .5 5cos B cos a ( a cos acos( a B)+ sin 久sin (a B) -今-5+八3-害B组专项能力提升（时间：25分钟）2n 1 n11.已知 tan(a+ 4) 2,且2 a0，2sin a+ sin 2 a则 厂等于(cos a 4 |鉱C 一血D也10 . 10 5答案 An tan a+ 1 1 1解析 由 tan( a+ -)= =；，得 tan a=_ ；.41 tan a 1 2 3n又一2 a0,所以sin10a= 10.22sin a+ sin 2 a 2sin a sin a+ cos a故 = : =2 2sin a=沁=5 .12.若

19、 a 0, n ,且 sin2a+ cos 2a=半，则 tan a的值等于( )2A. 2B33 C. 2 D. 3答案D解析.n 口 .2 1-aq 0, ，且 sin a+ COS 2a= 4,.2 2 . 2 1 . 2 1-sin a+ COs a Sin a= 4，.COS a= 4,1 、 1cos a= 2或2(舍去),答案7*210解析因为sin 2 0=2sin Gcos 02 2 :sin 0+ cos 02ta n 02tan 0+145,又由eq。, n，得2 0如,n,所以 cos 2 0= 1 sin22 0= |,n所以 sin(2 0+ Jn n 4 V2 3

20、 V2 理2=sin 2 0cos + cos 2 9sin = x + x =4452 52 10 ( 7 n ( 3 nx；14 .已知函数 f(x) = sin x+ 4 + cos x 4 , x R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；4 4 n _ 2已知 cos(3 a = 5， cos(B+a= 5， 0 a 芦q，求证：f( 3) 2= 0.T= 2n, f(x)的最小值为一2.4证明 由已知得cos 3os a+ sin滋in a= 5,4cos 伍os a sin 3sin a= 5,两式相加得2cos 3cos a= 0,2 2 nf( 3) 2 = 4sin4 2=

21、 0.15.已知 f(x) = (1 + tanx)sin x 2sin(x + sin(x.(1)若 tan a= 2，求 f( a 的值；n n 若x【12，J，求f(x)的取值范围.解(1)f(x)= (sin2x+ sin xcos x) + 2sin x+ 4 cos x+41 1=2 + 2(sin 2x cos 2x) + cos 2x1 1 =2(sin 2x+ cos 2x) + 夕2sin opos aa= . 2 2 =Sin a+ cos a2 . 2 2cos a sin a 1 tan a 3Cos 2 a= 2 2 = 2 = 一 5sin a+ cos a 1 + tan a 51 1由得 f(x) = 2(sin 2x+ cos 2x)+ =#sin 2x+n+1.由 x n,5 n n _ 5 n 得存2x+厂54-.所以-2/ n 72 +1W sin 2x + 4 1,0