统计学常用分布及其分位数.docx

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统计学常用分布及其分位数

§1.4常用的分布及其分位数

1.卡平方分布

卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N（0,1）时，Z=的分布称为自由度等于n的分布，记作Z～（n），它的分布密度p（z）=

式中的=，称为Gamma函数，且=1，=。

分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～（n），Z～（m），则Y+Z～（n+m）。

证明:

先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N（0,1），再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令

Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，

Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X，

即可得到Y+Z～（n+m）。

2.t分布若X与Y相互独立，且

X～N（0,1），Y～（n），则Z=的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z～t（n），它的分布密度

P（z）=。

请注意：

t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N（0,1）的密度曲线几乎重叠为一。

这时，t分布的分布函数值查N（0,1）的分布函数值表便可以得到。

3.F分布若X与Y相互独立，且X～（n），Y～（m），

则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F（n,m），它的分布密度

p（z）=

请注意：

F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F（n,m）时，～F（m,n）。

4.t分布与F分布的关系

若X～t（n），则Y=X～F（1,n）。

证：

X～t（n），X的分布密度p（x）=。

Y=X的分布函数F（y）=P{Y

当y0时，F（y）=0，p（y）=0；

当y>0时，F（y）=P{-

==2，

Y=X的分布密度p（y）=，

与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X～F（1,n）。

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。

但是，解应用问题时，通常是查分位数表。

有关分位数的概念如下：

4.常用分布的分位数

1）分位数的定义

分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：

当随机变量X的分布函数为F（x），实数α满足0<α<1

时，α分位数是使P{X

上侧α分位数是使P{X>λ}=1-F（λ）=α的数λ，

双侧α分位数是使P{X<λ1}=F（λ1）=0.5α的数λ1、使

P{X>λ2}=1-F（λ2）=0.5α的数λ2。

因为1-F（λ）=α，F（λ）=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；

F（λ1）=0.5α，1-F（λ2）=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。

2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u0.5α，1-0.5α分位数记作u1-0.5α。

当X～N（0,1）时，P{X

P{X

P{X

根据标准正态分布密度曲线的对称性，

当α=0.5时，uα=0；

当α<0.5时，uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u1-α，然后得到uα=-u1-α。

论述如下：

当X～N（0,1）时，P{X

P{X

P{X>u1-α}=1-F0,1（u1-α）=α，

故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。

例如，u0.10=-u0.90=-1.282，

u0.05=-u0.95=-1.645，

u0.01=-u0.99=-2.326，

u0.025=-u0.975=-1.960，

u0.005=-u0.995=-2.576。

又因为P{|X|

标准正态分布常用的上侧α分位数有：

α=0.10，u0.90=1.282；

α=0.05，u0.95=1.645；

α=0.01，u0.99=2.326；

α=0.025，u0.975=1.960；

α=0.005，u0.995=2.576。

3）卡平方分布的α分位数记作α（n）。

α（n）>0，当X～（n）时，P{X<α（n）}=α。

例如，0.005（4）=0.21，0.025（4）=0.48，

0.05（4）=0.71，0.95（4）=9.49，

0.975（4）=11.1，0.995（4）=14.9。

4）t分布的α分位数记作tα（n）。

当X～t（n）时，P{X

tα（n）=-t1-α（n），论述同uα=-u1-α。

例如，t0.95（4）=2.132，t0.975（4）=2.776，

t0.995（4）=4.604，t0.005（4）=-4.604，

t0.025（4）=-2.776，t0.05（4）=-2.132。

另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到tα（n），可用uα作为tα（n）的近似值。

5）F分布的α分位数记作Fα（n,m）。

Fα（n,m）>0，当X～F（n,m）时，P{X

另外，当α较小时，在表中查不出Fα（n,m），须先查

F1-α（m,n），再求Fα（n,m）=。

论述如下：

当X～F（m,n）时，P{X

P{>}=1-α，P{<}=α，

又根据F分布的定义，～F（n,m），P{

因此Fα（n,m）=。

例如，F0.95（3,4）=6.59，F0.975（3,4）=9.98，

F0.99（3,4）=16.7，F0.95（4,3）=9.12，

F0.975（4,3）=15.1，F0.99（4,3）=28.7，

F0.01（3,4）=，F0.025（3,4）=，F0.05（3,4）=。

【课内练习】

1.求分位数①0.05（8），②0.95（12）。

2.求分位数①t0.05（8），②t0.95（12）。

3.求分位数①F0.05（7,5），②F0.95（10,12）。

4.由u0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

5.由t0.95（4）=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

6.若X～（4），P{X<0.711}=0.05，P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。

7.若X～F（5,3），P{X<9.01}=0.95，Y～F（3,5），{Y<5.41}=

0.95，试写出有关的分位数。

8.设X、X、…、X相互独立且都服从N（0,0.09）分布,

试求P{>1.44}。

习题答案：

1.①2.73，②21.0。

2.①-1.860，②1.782。

3.①，②3.37。

4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。

5.2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为双侧0.1分位数。

6.0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。

为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，与5.41为双侧0.1分位数，与9.01为双侧0.1分位数。

8.0.1。