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初中数学练习题含答案

专题七新定义阅读理解题

(2019•重庆A卷)《道德经》中的“道生一,一生二,二生三,三生万物”道出了自然数的特征,在数的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性数进行研究.如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等,现在我们来研究另一种特殊的自然数一一“纯数”.

定义:

对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数n为“纯数”.

例如:

32是“纯数”,因为计算32+33+34时,各数位都不产生进位;

23不是“纯数”,因为计算23+24+25时,个位产生了进位.

(1)判断2019和2020是否是“纯数”?

请说明理由;

⑵求出不大于100的“纯数”的个数.

【分析】

(1)根据纯数的定义逐一判断2019和2020即可;

(2)判断不大于100的“纯数”的个数,可先从个位数字入手,确定个位数字的特点,再确定十位数字的特点,即可得到对应的“纯数”.

【自主解答】

1.(2018•重庆A卷)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.

(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;

(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数,若四位数m为“极数”,记D(m)=3m.求满足D(m)是完全平方数的所有m.

2(2020•原创)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为N的“中2数”,记作F(N),如34

的“中2数”为F(34)=324;若将一个两位正整数M加2后得到一个新数,我们称这个新数为M的“尾2数”,记作P(M),如34的“尾2数”为P(34)=36.对于任意一个两位正整数T,令Q(T)=F(T)9P(°.

(1)判断Q(T)是否为整数,并说明理由;

(2)对于一个两位正整数M若P(M)的各位数之和是M的各位数之和的一半,求

M的值.

3.(2017•重庆A卷)对于任意一个三位数n如果n满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后,可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n),例如123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位和个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,二F(123)=6.

(1)计算:

F(243),F(617);

⑵若s,t都是“相异数”,其中s=100x+32,t=150+y(1

k=F7(s),当F(s)+F(t)=18时,求k的最大值.

4.(2020•原创)事实:

我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3

整除,则这个数就能被3整除,反之也成立.

定义:

对于一个两位数m和一个三位数n它们各个数位上的数字都不为0,将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字,将数n任意一个

数位上的数字作为该新的两位数的个位数字,按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”,用F(m,n)表示.例如数12与345的“二

三联合”为F(12,345)=13+14+15+23+24+25=114.

(1)填空:

F(11,369)=;F(16,123)=;

⑵若一个两位数s=21x+y,—个三位数t=121x+y+199(其中1

5.(2019•九龙坡区模拟)数学不仅是一门科学,也是一种文化,即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候,在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋献给了国王,国王从此迷上了下棋,为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这位大臣一个要求.大臣说:

“就在这个棋盘上放一些米粒吧,第1格放1粒米,第2格放2粒米,第3格放4粒米,然后是8粒16粒32粒…一直到第64格”“你真傻!

就要这么一点米粒?

”国王哈哈大笑.大臣说:

“就怕您的国库里没有这么多米!

”国王的国库里有这么多米吗?

题中问题就是求1+,+22+23+…+263是多少?

请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.

设S=1+21+22+23+…+263,贝卩2S=2(1+21+22+2‘+24+…+263)=2+空+23+24+…+263+264.2S—S=2(1+21+2?

+2’+24+…+263)—(1+2勺+22+2’+24+…+263),

即:

S=264—1.事实上,按照这位大臣的要求,放满一个棋盘上的64个格子需

要I+ZF+F+Z3+…+263=(264—1)粒米.那么264—1到底多大呢?

借助计算机中的计算器进行计算,可知答案是一个20位数:

18446744073709551615,这是一个非常大的数,所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:

(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有一问题:

“远望巍巍塔七层,红光点点

倍加增;共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?

”意思是一座7层塔共挂了381

盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有多少

盏灯?

(2)计算:

1+3+9+27+…+3n;

(3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件,推出了“解数学题获取软件激活

码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:

已知一列数:

1,1,2,

1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2°,接下来的两项是2°,21,再接下来的三项是2°,21,22,…,依此类推.求满足如下条件的所有正整数N:

10vN<100,且这一列数前N项和为2的正整数幕.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数N的值.

参考答案

【例1】解:

(1)当n=2019时,n+1=2020,n+2=2021,

v9+0+1=10,需进位,二2019不是“纯数”;

当n=2020时,n+1=2021,n+2=2022,

个位:

0+1+2=3,不需要进位;

十位:

2+2+2=6,不需要进位;

百位:

0+0+0=0,不需要进位;

千位:

2+2+2=6,不需要进位;

•••2020是“纯数”.

(2)当n=0时,n+1=1,n+2=2,贝卩0+1+2=3,不需要进位,二0是“纯数”;

当n=1时,n+1=2,n+2=3,1+2+3=6,不需要进位,二1是“纯数”;

当n=2时,n+1=3,n+2=4,2+3+4=9,不需要进位,二2是“纯数”;

当n=3时,n+1=4,n+2=5,3+4+5=12,需要进位,二3不是“纯数”,综上可知,当这个自然数是一位自然数时,只能是0,1,2;

当这个自然数是两位自然数时,这个自然数可以是10,11,12,20,21,22,

30,31,32,共9个,

当这个自然数是三位自然数时,100是“纯数”,

•••不大于100的自然数中,“纯数”的个数为3+9+1=13.

跟踪训练

1.解:

(1)1188;2475;9900.(答案不唯一)

猜想:

任意一个“极数”是99的倍数.理由如下:

设任意一个“极数”为xy(9—x)(9—y)(其中1

则xy(9—x)(9—y)=1OOOx+100y+10(9—x)+9—y

=1OOOx+100y+90—10x+9—y

=99(10x+y+1).

tx,y为整数,10x+y+1为整数,

二任意一个“极数”是99的倍数.

⑵设m^xy(9—x)(9—y),

99(10x+y+1)

由题意可知,D(m)=33=3(10x+y+1),

t1wxW9,Owyw9,「.33W3(10x+y+1)w300,

tD(m)是完全平方数,

•••D(m)可取的值为36,81,144,225,

当D(m)=36时,3(10x+y+1)=36,则x=1,y=1,m=1188;

当D(m)=81时,3(10x+y+1)=81,则x=2,y=6,m=2673;

当D(m)=144时,3(10x+y+1)=144,贝Ux=4,y=7,m=4752;

当D(m)=225时,3(10x+y+1)=225,则x=7,y=4,m=7425.

综上所述,满足D(m)为完全平方数的m的值为1188,2673,4752,7425.

2.解:

(1)Q(T)是整数.理由如下:

设两位正整数T为ab,则T=10a+b,

•F(T)=a2b=100a+20+b,

P(T)=10a+b+2,

•F(T)—P(T)=100a+20+b—(10a+b+2)

=90a+18=9(10a+2),

va为整数,二10a+2为整数,

(2)设M=ab,1

M+2=10a+b+2,

vM+2的各数位上的数之和比M各数位上的数之和小,

•••M+2后,个位发生了进位,

•••b>8,且M+2=10(a+1)+(b+2—10),

1

--a+1+b+2—10=^(a+b),

整理得a+b=14,

•a=6,b=8,或a=5,b=9,

•M为68或59.

3.解:

(1)F(243)=(423+342+234)-111=9,

F(617)=(167+716+671)-111=14.

⑵vs,t都是相异数,

•F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)-111=x+5,

F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)-111=y+6,

vF(s)+F(t)=18,

•x+5+y+6=x+y+11=18,

•x+y=7,

v1

x=1x=2x=3x=4x=5x=6

或或或或或

y=6y=5y=4y=3y=2y=1

•「s是相异数,「•xm2,xm3,

Tt是相异数,「•yM1,yM5,

x=4

x=5

y=3

y=2

=

9

F(s)

=10

=

9

F(t)

=8

一x=1

•••满足条件的有或

y=6

F(s)=6F(s)…或

F(t)=12F(t)

F(s)61F(s)9F(s)105

=—=—或k==—=1或k==—=_

F(t)122或kF(t)91或kF(t)84,

 

5

•••k的最大值为4.

4.解:

(1)F(11,369)=13+16+19+13+16+19=96;

F(16,123)=11+12+13+61+62+63=222.

(2)已知s=21x+y=20x+(x+y),t=121x+y+199=100(x+2)+20x+(x+y

-1),「1

Tt'+3(x+y)能被11整除,

 

整数,

 

--8w3x+4y+1w33,

•••当3x+4y+1=11时,x=2,y=1,此时s=43,t=442;当3x+4y+1=22时,得x=3,y=3,此时s=66,t=565;当3x+4y+1=33时,x=4,y=5,此时s=89,t=688.

•F(s,t)的最大值为F(89,688)=554.

5.解:

(1)设塔的顶层有x盏灯,依题意得:

x+21x+22x+23x+24x+25x+26x=381,

解得:

x=3,

答:

塔的顶层共有3盏灯.

(2)设S=1+3+9+27+…+3n,贝卩3S=3(1+3+9+27+…+3)=3+9+27

nn+1

+…+3+3,•3S-S=(3+9+27+3n+3n+1)—(1+3+9+27+3),

•2S=3n+1—1

3n+1

⑶由题意这列数分n+1组:

前n组含有的项数分别为:

1,2,3,…,n,最后一组x项,根据材料可知每组和公式,求得前n组每组的和分别为:

21—1,

23n丄

2—1,2—1,…,2—1,

前n组共有项数为N=1+2+3+…+n=n(n+1),

前n组所有项数的和为Sn=21—1+22—1+23—1+…+2n—1=(21+22+23+…+

2n)—n=2n+1—2—n,

由题意可知:

2n+1为2的整数幕.只需最后一组x项将—2—n消去即可,

则①1+2+(—2-n)=0,解得:

n=1,总项数为N=;+。

+2=3,不满

足10VNV10Q

 

足10

=95,满足10

29x(29+1)

④1+2+4+8+16+(—2—n)=0,解得:

n=29,总项数为N=q

5=440,不满足10

•••所有满足条件的软件激活码正整数N的值为:

18或95.

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