初中数学练习题含答案.docx

1、初中数学练习题含答案专题七新定义阅读理解题(2019 重庆A卷)道德经中的“道生一, 一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们 会对其中一些具有某种特性数进行研究.如学习自然数时，我们研究了奇数、 偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数一一“纯数”.定义：对于自然数n,在计算n+ (n + 1) + (n + 2)时，各数位都不产生进位，则 称这个自然数n为“纯数”.例如：32是“纯数”，因为计算32+ 33+ 34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+ 24+ 25时，个位产生了进位.(1)判断2 019和2 020是否是“纯数”？

2、请说明理由；求出不大于100的“纯数”的个数.【分析】(1)根据纯数的定义逐一判断2 019和2 020即可；(2)判断不大于100的“纯数”的个数，可先从个位数字入手，确定个位数字的 特点，再确定十位数字的特点，即可得到对应的“纯数”.【自主解答】1. (2018 重庆A卷)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为 9, 百位与个位上的数字之和也为 9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是 99的倍数，请 说明理由；(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数， 若四位数m为“极数”，记D(m)= 3m.求满足D(m)

3、是完全平方数的所有m.2 (2020 原创)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字 2, 组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N的“中2数”，记作F(N)，如34的“中2数”为F(34) = 324;若将一个两位正整数 M加2后得到一个新数，我 们称这个新数为M的“尾2数”，记作P(M),如34的“尾2数”为P(34) = 36. 对于任意一个两位正整数 T,令Q(T) = F( T)9P( .(1)判断Q(T)是否为整数，并说明理由；(2)对于一个两位正整数 M若P(M)的各位数之和是M的各位数之和的一半，求M的值.3.(2017 重庆A卷)对于任意一个三位数 n如果n满足

4、各数位上的数字互不 相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个 数位上的数字对调后，可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和 与111的商记为F(n)，例如123,对调百位与十位上的数字得到 213，对调 百位与个位上的数字得到321，对调十位和个位上的数字得到132,这三个新三 位数的和为 213+ 321 + 132= 666,二 F(123) = 6.(1)计算：F(243) , F(617); 若 s, t 都是“相异数”，其中 s= 100x + 32, t = 150+ y(1 x 9, 1y 9, x, y都是正整数)，规定：k = F7(s)，

5、当F(s) + F(t) = 18时，求k的最大值.4.(2020 原创)事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被 3整除，则这个数就能被3整除，反之也成立.定义：对于一个两位数 m和一个三位数n它们各个数位上的数字都不为 0,将 数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数 n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两 位数的和我们称之为“二三联合”，用 F(m, n)表示.例如数12与345的“二三联合”为 F(12 , 345) = 13+14+15 + 23 + 24 + 25= 114.(1)填空：F(11 , 369) =

6、 ; F(16 , 123) = ; 若一个两位数 s = 21x + y，个三位数 t = 121x + y+ 199(其中1x4, 1 y 5,且x, y均为整数),交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t， 当t与s的个位数字的3倍的和能被11整除，称这样的两个数s和t为“珊 瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值.5.(2019 九龙坡区模拟)数学不仅是一门科学，也是一种文化，即数学文化. 数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有 一位聪明的大臣，他发明了国际象棋献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了 对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣

7、一个要求.大臣说：“就在这 个棋盘上放一些米粒吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米， 然后是8 粒 16 粒 32粒一直到第64格”“你真傻！就要这么一点米粒？” 国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！ ”国王的国库里有 这么多米吗？题中问题就是求 1 +，+ 22+ 23+ 263是多少？请同学们阅读以 下解答过程就知道答案了.设 S= 1 + 21 + 22+ 23+ 263,贝卩 2S= 2(1 + 21 + 22 + 2+24+ 263) = 2 + 空 + 23 + 24+ + 263 + 264.2S S= 2(1 + 21 + 2?+2+24+ 263

8、) (1 +2勺 + 22+ 2 + 24+ + 263),即：S= 264 1.事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的 64个格子需要I + ZF + F + Z3+ 263 = (2 64 1)粒米.那么264 1到底多大呢？借助计算机 中的计算器进行计算，可知答案是一个 20位数：18 446 744 073 709 551 615, 这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解 决以下问题：(1)我国古代数学名著算法统宗中有一问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一

9、层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？(2)计算：1 + 3 + 9+ 27 + + 3n;(3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数： 1, 1, 2,1,2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,，其中第一项是2,接下来的两项 是2, 21,再接下来的三项是2, 21, 22,，依此类推.求满足如下条件的所 有正整数N: 10vN 100,且这一列数前N项和为2的正整数幕.请直接写出所 有满足条件的软件激活码正整数 N的值.参考答案【例 1】解：(1)当 n= 2

10、 019 时，n+ 1 = 2 020 , n + 2 = 2 021 ,v9+0+ 1 = 10,需进位，二2 019不是“纯数”；当 n= 2 020 时，n+ 1 = 2 021，n + 2= 2 022 ,个位：0+1 + 2 = 3,不需要进位；十位：2 + 2 + 2 = 6,不需要进位；百位：0+0+ 0 = 0,不需要进位；千位：2 + 2 + 2 = 6,不需要进位； 2 020 是“纯数”.(2)当n = 0时，n+ 1 = 1, n+ 2 = 2，贝卩0+ 1+ 2= 3,不需要进位，二0是“纯 数”；当n= 1时，n+ 1 = 2, n + 2= 3, 1+2+ 3 =

11、 6,不需要进位，二1是“纯数”；当n= 2时，n+ 1 = 3, n + 2 = 4, 2 + 3+4= 9,不需要进位，二2是“纯数”；当 n= 3 时，n+ 1= 4, n + 2=5, 3+4 + 5= 12,需要进位，二3 不是“纯数”， 综上可知，当这个自然数是一位自然数时，只能是 0, 1, 2；当这个自然数是两位自然数时，这个自然数可以是 10, 11, 12, 20, 21, 22,30, 31, 32,共 9 个，当这个自然数是三位自然数时，100是“纯数”，不大于100的自然数中，“纯数”的个数为 3+9 + 1 = 13.跟踪训练1.解：(1)1 188 ； 2 475

12、; 9 900.( 答案不唯一)猜想：任意一个“极数”是99的倍数.理由如下：设任意一个“极数”为xy(9 x)(9 y)(其中1x9, 0y9,且x, y均为 整数)，则 xy(9 x)(9 y) = 1 OOOx + 100y + 10(9 x) + 9y=1 OOOx + 100y + 90 10x + 9 y=99(10x + y+ 1).tx, y为整数，10x + y + 1为整数，二任意一个“极数”是99的倍数.设 m xy(9 x)(9 y),99 (10x + y + 1)由题意可知，D(m)= 33 = 3(10x +y+ 1),t 1wxW 9, Owyw 9,. 33W

13、 3(10x + y + 1) w 300,t D(m)是完全平方数，D(m)可取的值为 36, 81, 144, 225,当 D(m)= 36 时，3(10x +y+ 1) = 36,则 x = 1, y = 1, m= 1 188 ;当 D(m)= 81 时，3(10x +y+ 1) = 81,则 x = 2, y = 6, m= 2 673 ;当 D(m)= 144 时，3(10x + y + 1) = 144,贝U x = 4, y = 7, m= 4 752 ;当 D(m)= 225 时，3(10x + y + 1) = 225,则 x = 7, y = 4, m= 7 425.综上

14、所述，满足D(m)为完全平方数的m的值为1 188 , 2 673 , 4 752 , 7 425.2.解：(1)Q(T)是整数.理由如下：设两位正整数T为ab,则T= 10a + b, F(T) = a2b= 100a + 20+ b,P(T) =10a + b + 2, F(T) P(T) = 100a + 20 + b (10a + b + 2)=90a + 18= 9(10a + 2),va为整数，二10a + 2为整数,(2)设 M= ab, 1a9, 0b8,且 M+ 2= 10(a + 1) + (b + 2 10),1-a+ 1 + b + 2 10= (a + b),整理得a

15、+ b= 14,a= 6, b= 8，或 a= 5, b= 9,M 为 68 或 59.3.解:(1)F(243) = (423 + 342+ 234) - 111= 9,F(617) = (167 + 716 + 671) - 111= 14.vs, t都是相异数， F(s) = (302 + 10x + 230 + x+ 100x + 23) - 111= x+ 5,F(t) =(510 + y + 100y + 51+ 105 + 10y) -111= y + 6,v F(s) + F(t) = 18,x +5 + y + 6 = x+y + 11 = 18,x + y = 7,v 1x

16、9, 1y9,且x, y都是正整数，x = 1 x = 2 x = 3 x= 4 x = 5 x = 6或 或 或 或 或y = 6 y = 5 y = 4 y = 3 y = 2 y = 1s 是相异数， xm2, xm3,Tt 是相异数， yM 1, yM5,x = 4x = 5或y=3y=2=9F (s)=10或=9F (t)=8一 x = 1满足条件的有 或y = 6F (s)= 6 F (s) 或F (t )= 12 F (t)F (s) 6 1 F (s) 9 F (s) 10 5=或 k = = = 1 或 k = = = _F (t) 12 2或 k F (t) 9 1 或 k

17、 F (t) 8 4,5k的最大值为4.4.解:(1)F(11，369) = 13+ 16+19+ 13+16+ 19= 96;F(16 , 123) =11 + 12+ 13 + 61+ 62 + 63 = 222.(2)已知 s = 21x + y = 20x + (x + y), t = 121x + y + 199= 100(x + 2) + 20x + (x + y-1), 1x4, 1y5,且 x, y 均为整数, t + 3(x + y) = 100(x + y 1) + 20x + x + 2+ 3(x + y) = 124x + 103y- 98,T t + 3(x + y)

18、能被 11 整除,整数,-8w 3x+ 4y + 1 w 33,当 3x + 4y + 1 = 11 时，x= 2, y = 1,此时 s = 43, t = 442; 当 3x+4y+ 1 = 22 时，得 x = 3, y = 3,此时 s = 66, t = 565; 当 3x+4y+ 1 = 33 时，x=4, y= 5,此时 s= 89, t = 688. F(s , t)的最大值为 F(89 , 688) = 554.5.解：(1)设塔的顶层有x盏灯，依题意得：x+ 21x + 22x + 23x + 24x + 25x + 26x = 381,解得：x = 3,答：塔的顶层共有3

19、盏灯.(2)设 S= 1 + 3 + 9+27+ 3n，贝卩 3S= 3(1 +3 + 9 + 27+ 3)= 3+9+ 27n n+ 1+3+3 , 3S-S= (3 + 9+27+3n+ 3n+1) (1 +3+9+27+ 3), 2S= 3n+1 13n+1 由题意这列数分n+1组：前n组含有的项数分别为：1, 2, 3,，n,最 后一组x项，根据材料可知每组和公式，求得前 n组每组的和分别为：21 1,2 3 n 丄2 1, 2 1,，2 1,前n组共有项数为 N= 1+2+3+ n= n(n+ 1),前 n组所有项数的和为 Sn= 21 1 + 22 1 + 23 1 + 2n 1 = (21 + 22+ 23+2n) n = 2n+1 2 n,由题意可知：2n+1为2的整数幕.只需最后一组x项将2 n消去即可，则1 + 2 + ( 2-n) = 0,解得：n=1,总项数为N= ；+。+ 2 = 3,不满足 10VNV10Q足 10N100=95,满足 10N10029x( 29+ 1) 1 + 2 + 4+8+16+ ( 2 n) =0,解得：n = 29,总项数为 N= q 5= 440,不满足 10N100所有满足条件的软件激活码正整数 N的值为：18或95.