数学建模 第一章.docx
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数学建模第一章
第一章方程（组）模型
本章学习目的：
1．复习求解方程的基本原理和方法，掌握解方程的图形放大法和迭代算法；
2．能利用MATLAB软件编写迭代算法程序，了解迭代过程的图形表示；
3．熟练掌握用MATLAB软件的函数来求解方程和方程组；
4．通过范例展现求解实际问题的初步建模过程和MATLAB程序设计。
1.1引言
“方程是很多工程和科学工作的发动机”。
研究大型的土建结构、机械结构、输电网络、管道网络，研究经济规划、人口增长、种群繁殖等问题时，简单的分析可以直接归结为线性或非线性方程组，复杂一些要用到（偏）微分方程，求数值解时将转化为n非常大的方程组。
若干世纪以来，工程师和科学家花了大量的时间用于求解方程（组），数学家研究各种各样的方程求解方法。
本章我们就是要学习求解线性方程组、非线性方程（组）的方法，以及利用数学软件利用计算机对方程和方程组进行求解。
1.2方程的求解方法
考虑求方程f（x）=0的解，我们通常采用这样的几种方法：
因式分解法、图形放大法、数值迭代逼近法。
1．因式分解法：
这是我们最熟悉、常用的一种方法，这个方法的关键在分解因式，包括对多项式函数、三角函数和指数函数等的分解。
但对于无法进行分解的函数则无能为力。
2．图形放大法：
由于计算机的广泛应用，可以非常方便地作出函数f（x）的图形（曲线），找出曲线与x轴的交点的横坐标值，就可求出f（x）＝0的近似根。
这些值尽管不精确，但是直观，方程有多少个根、在什么范围，一目了然。
并且可以借助于计算机使用图形局部放大功能，将根定位得更加准确。
3．数值迭代逼近法：
利用图形的方法或连续函数的零点存在性定理，可以推知f（x）在某一区间内有根，我们就可以用数值方法来求方程的根，这就是迭代逼近法。
迭代逼近法分为区间的迭代和点的迭代。
区间迭代又分为对分法和黄金分割法；点的迭代又分为简单迭代法、单点割线法、两点割线法、牛顿法等。
迭代失败后又可以采用加速迭代收敛方法。
1.2.1图形放大法
用图形放大法求解方程f（x）＝0的步骤：
（1）建立坐标系，作曲线f（x）；
（2）观察f（x）与x轴的交点；
（3）将其中的一个交点进行局部放大；
（4）该交点的横坐标值就是方程的一个根；
（5）对所有的交点进行相同的处理，就得到方程的所有解。
例1.1求方程
所有的根及大致分布范围，欲寻求其中的一个实根，并且达到一定的精度。
（1）画出
的图形；
x=-6:
0.01:
6;
y=x.^5+2*x.^2+4;
plot（x,y）
gridon;%画坐标格
我们可以看出方程在－2～＋2范围有一个实根。
（2）逐次缩小范围得到较精确的根。
x=-2:
0.01:
2;
y=x.^5+2.*x.^2+4;
plot（x,y）
gridon
x=-2:
0.01:
-1.5;
y=x.^5+2.*x.^2+4;
plot（x,y）
gridon
x=-1.6:
0.01:
-1.5;
y=x.^5+2.*x.^2+4;
plot（x,y）
gridon
因此我们可以看出这个实根的值在-1.55~-1.5之间。
1.2.2简单迭代法
1．迭代算法步骤：
对方程f（x）=0求解
（1）对方程经过简单变形得到
（不是唯一的），x被称之为不动点；
（2）设置
为迭代初值，迭代过程为
，n=0,1,2……
（3）当两次迭代结果之差小于某个设定的误差值时，我们认为迭代结果是收敛的，可得到结果的近似值
。
例1．2求方程
的非负实根。
解：
由于函数
连续，并且在x=0和x=1处函数值符号相反，可以判断函数在区间（0，1）必有零点，即方程
在（0，1）内必然存在根。
（1）先将函数变形为
；
（2）设置迭代初值为0，编程进行迭代。
n=1;
x=0;
y=exp（x）/3;
ys=vpa（y,10）;%给出y的数值型结果，有效位数为10
z=abs（y-x）;
whilez>10^（-5）
x=y;
y=exp（x）/3;
ys=vpa（y,10）;
z=abs（y-x）;
n=n+1;
end
n,y,ys
n=
21
y=
0.6190
ys=
.6190471917
从该结果可以看出，迭代21次后两次迭代的结果误差值满足小于
的条件，结果收敛，迭代结果为0.6190，若保留小数点后10位有效数字则结果为0.6190471917。
例1.3用迭代方法求解方程
解：
（1）对方程变形为
，有不同的形式，比如
；（a）
；（b）
；……（c）
（2）设定初始值为1，编程迭代求解
x=1;y=1;z=1;
fork=1:
25
x=x^3-x^2-1;
y=（y^2+y+1）^（1/3）;
z=1+1/z+1/z^2;
end
x,y,z
x=
-Inf
y=
1.8393
z=
1.8393
在程序中，函数x,y,z分别对应方程（a）（b）（c），从结果可以看出方程（a）不收敛，结果趋于负无穷大，方程（b）（c）收敛，结果为1.8393。
而且，还可证明（b）比（c）收敛速度快。
注：
这段程序和例1.2有所不同，这里是设定了固定的迭代次数。
2．迭代失败的改进：
加速迭代收敛方法
例1.3中方程（a）的迭代是失败的（即迭代不收敛），如何解决？
当我们遇到迭代失败时，可以采用以下的简单方法解决。
我们考虑不直接用
迭代，而用
和x的加权平均
进行迭代，
为参数。
即：
在满足
的条件下，取
，由此可以得到
。
在实际迭代过程中用
代替a，因此在迭代中
，
其加速迭代过程如下：
。
采用以上方法对例2.3中方程（a）进行改进，产生新的迭代函数
加速迭代过程为
。
再编写程序计算：
x=0;
fork=1:
20
x=（-2*x^3+x^2-1）/（-3*x^2+2*x+1）;
end
x
x=
1.8393
x=100;
fork=1:
20
x=（-2*x^3+x^2-1）/（-3*x^2+2*x+1）;
end
x
x=
1.8393
由此我们看到选用两个不同的初值0和100都能得到结果是1.8393，改进是非常有效的，同学们还可尝试不同的初值，观察其迭代的收敛性。
实验表明，它比（b）、（c）的收敛速度都快。
但要注意，x=1不能作为初值，这会出现被0除的错误。
通过这个例子我们看出，求解方程的迭代函数构造形式多样，不同迭代函数的收敛性和收敛速度都可能不同，需要在遇到具体问题时灵活应用。
1.3方程组的求解方法
1.3.1线性方程组的求解
我们在线性代数中已经学习了线性方程组的求解方法。
对于线性方程组
可以写成矩阵的形式
由线性代数的知识可知，线性方程组的解可能出现三种情形：
无解、有唯一解、有无穷多组解。
这主要取决于系数矩阵A的秩与增广矩阵（A︱b）的秩是否相等、秩与变量个数是否相等，具体地：
若R（A）≠R（A︱b）,则
无解；
若R（A）＝R（A︱b）＝n（n为变量个数），则
有唯一一组解；
若R（A）＝R（A︱b）有无穷多组解。
求矩阵A的秩可以很方便的用MATLAB的rank（A）函数求得。
求解线性方程组的方法大致可以划分为两类：
直接消去法、迭代数值解法。
直接消去法在线性代数中已经学过，这里不再赘述。
线性方程组可以看成是非线性方程组的特例，其迭代数值解法相同，在非线性方程组的迭代解法中介绍方法。
1．3．2非线性方程组的迭代解法
非线性方程组的一般形式为
可以改写为等价的方程组
用这个方程组进行迭代求得精确解。
例1．4求解方程组
解：
对方程组进行变形，构造如下的迭代函数：
（1）
或
（2）
思考：
迭代序列如何表示？
求解方程组迭代产生的序列是数组：
对本例选择初始点（0，0），（2，3），（8，9），…分别计算，迭代次数逐渐增加，观察结果。
迭代程序如下：
（初始值是（2,3），迭代次数为20次）
x=[2,3];y=[2,3];
fork=1:
20
a=0.1*x
（1）^2+0.1*x
（2）^2+0.8;
x
（2）=0.1*x
（1）*x
（2）^2+0.1*x
（1）+0.8;
x
（1）=a;
b=（10*y
（2）-8）/（y
（2）^2+1）;
y
（2）=sqrt（10*y
（1）-8-y
（1）^2）;
y
（1）=b;
end
x,y
x=
1.00001.0000
y=
2.19343.0205
从这个结果看出，x
（1）=1,x
（2）=1,和y
（1）=2.1934,y
（2）=3.0205是方程组的两组解。
问：
程序中a、b变量的作用是什么？
取消可以吗？
1.4MATLAB软件直接求解法
1.4.1任意函数方程与线性方程组可用命令solve（）求解
solve（）语句的用法：
1．单变量方程：
f（x）=0
1）符号解：
例1．5求解方程：
解：
输入：
x=solve（'a*x^2+b*x+c'）
输出为：
x=
[1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c）^（1/2））]
[1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c）^（1/2））]
或输入：
solve（'a*x^2+b*x+c'）
输出为：
ans=
1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c）^（1/2））
1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c）^（1/2））
2）数字解：
如果不能求得精确的符号解，可以计算可变精度的数值解。
例1.6解方程：
解：
s=solve（'x^3-2*x^2=x-1'）
s=
1/6*（28+84*i*3^（1/2））^（1/3）+14/3/（28+84*i*3^（1/2））^（1/3）+2/3
-1/12*（28+84*i*3^（1/2））^（1/3）-7/3/（28+84*i*3^（1/2））^（1/3）+2/3+1/2*i*3^（1/2）*（1/6*（28+84*i*3^（1/2））^（1/3）-14/3/（28+84*i*3^（1/2））^（1/3））
-1/12*（28+84*i*3^（1/2））^（1/3）-7/3/（28+84*i*3^（1/2））^（1/3）+2/3-1/2*i*3^（1/2）*（1/6*（28+84*i*3^（1/2））^（1/3）-14/3/（28+84*i*3^（1/2））^（1/3））
double（s）
ans=
2.2470
-0.8019+0.0000i
0.5550-0.0000i
vpa（s,10）
ans=
2.246979604+.1e-9*i
-.8019377358-.1866025404e-9*i
.5549581322-.1339745960e-10*i
该方程无实根。
3）无穷解
例1.7求解方程：
解：
输入：
solve（'tan（x）-sin（x）=0'）
输出为：
ans=
0
该方程有无穷多个解，不能给出全部解，这里只得到其中的一个。
2．多变量方程组：
例1.8解方程组
解：
输入：
[x,y]=solve（'x^2*y^2','x-y/2-b'）
x=
0
0
b
b
y=
-2*
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