第二章 数的整除和运算.docx

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第二章数的整除和运算

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数的整除

知识要点

1、整除的意义

整数A除以整数B（B≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说数A能被数B整除，（也可以说B能整除A）。

在讲“数的整除”时，我们所说的数一般不包括0.

“整数”和“除尽”是两个既有联系，又有区别的概念。

“整除”是指在自然数范围内两个数相除，除得的商是整数且没有余数；“除尽”是指在整数、小数范围内两个数相除，余数是0的所有情况。

它们之间的关系可用下图表示。

2、因数和倍数

如果数A能被数B整除，则A就叫做B的倍数，B就叫做A的因数。

（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数就是1.最大的因数是它本身。

（2）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

3、整除数的特征。

（1）能被2整除的数的特征：

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

奇数和偶数具有以下的一些性质：

奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数

奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数

（2）能被5整除的数的特征：

个位上是0或5的数，都能被5整除。

（3）能被3（或9）整除的数和特征：

若一个整数的各位上的数字和能被3（或9）整除，这个整数就能被3（或9）整除。

（4）能被4（或25）整除的数的特征：

若一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

（5）能被8（或125）整除的数的特征：

若一个数的末三位能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。

4、质数和合数

1质数和合数

一个数，如果除了1和它本身没有别的因数，那么这样的数叫做质数（也叫素数）。

（1）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。

最小的质数是2，最小的合数是4，没有最大的质数和合数，1既不是质数，也不是合数。

2、质因数和分解质因数

（1）把一个合数写成几个质数相乘的形式，其中每个质数又都是这个合数的因数，这几个质数叫做这个合数的质因数。

（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

5、公因数和最大公因数

几数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

几个灵敏的最大公因数必须包含这几个数全部公有的质因数。

求两个数的最大公因数的方法：

（1）用短除法；

（2）如果小数是大数的因数，那么小数就是这两个数的最大公因数；

（3）如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1.

6、公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。

其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

几个数的最小公倍数必须包含这几个数全部公有的质因数和各自独有的质因数。

求两个数最小公倍数的方法：

（1）用短除法；

（2）如果大数是小数的倍数，那么大数就是这两个数的最小公倍数；

（3）如果两个数是互质数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。

7、互质数

公因数只有1的两个数就叫做互质数。

一定互质的数有以下三种情况：

（1）1和任何自然数一定互质；

（2）相邻的两个自然数一定互质；（3）两个不同的质数一定互质。

1、四则运算的意义和法则

1、四则运算的意义

运算名称

意义

加法

把两个数合并成一个数的运算

减法

已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。

乘法

一个数乘整数，是求几个相同加数和的简便运算。

一个数乘小数，是求这个数的十分之几，百分之几……是多少。

一个数乘分数，是求这个数的几分之几是多少。

除法

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、四则运算的法则

（1）加、减法

整数、小数加减法：

相同数位上的数对齐（小数点对齐），从低位算起，哪一位上的数相加满十（哪一位上的数不够减），向前一位进一（从前一位退一，当十再减）。

分数加减法：

同分母分数相加减，用分子相加减，分母不变；异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法则进行计算。

（2）乘法

整数乘法：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数。

用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就要和哪一位对齐，再把几次乘得的数加起来。

小数乘法：

先按照整数乘法的法则计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

分数乘法：

用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，计算过程中能约分的先要约分。

结果要化成最简分数

（3）除法

整数除法：

除数有几位，就看被除数的前几位，不够除就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位数上面，每次除后余下的数必须比除数小。

小数除法：

先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位（位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的除法进行计算。

分数除法：

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

（4）各部分之间的关系

①加、减法

加数＋加数=和一个加数=和-另一个加数

减数=被减数-差

减数－减数=差被减数=差+减数

②乘、除法

因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数

被除数=商×除数

被除数÷除数=商除数=被除数÷商

2运算定律

名称

内容及字母公式

举例

加法交换律

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变

a+b=b+a

20+30=30+20

加法结合律

三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变

（a+b）+c=a+（b＋c）

（20+30）+40=20+（30+40）

乘法交换律

两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。

ab=ba

20×30=30×20

乘法结合律

三位数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变

（ab）c=a（bc）

（20×30）×50=20×（30×50）

乘法分配律

两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘。

再把两个积相加结果不变。

（a+b）c=ac+bc

（20+30）×50=20×50+30×50

3、四则混合运算

1、四则混合运算的顺序

在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。

在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。

2、几种常用的简算方法

（1）拆项法：

这是对分配律的逆向运用，常用的方法是分数拆项，主要有以下几种形式：

①分子、分母分别为两个相邻自然数的和与积时：

=

+

②分母为两个相邻自然数的积时：

=

-

③分母是差为a（a≠0）的两个自然数的积时：

=（

-

）×

④分母为三个相邻自然数的积时：

=

【

-

】

（2）数字变形法：

这是一种从数字特点出发，创新变形，巧妙地运用运算性质，规律达到简算目的的方法，如：

较接近1，可将其转化为（1-

），然后根据情况运用适当的方法。

（3）假设法：

如果原式中的数字或相同式子比较多，各部分数字或式子又比较接近，我们就可将其相同的部分看做一个整体，设为一个字母，使计算简便。

（4）分解质因数：

在计算中，常遇到一些复杂的数相加或相减，我们可根据情况把题中的每个数分解质因数，然后把其中的公因数提出来，使计算简便些。

（5）找规律法：

分析算式中各部分之间的关系，找出其中的规律，使计算简便。