最新人教A版高中数学选修22测试题全套含答案.docx
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最新人教A版高中数学选修22测试题全套含答案
最新人教A版高中数学选修2-2测试题全套及答案
单元测评
(一) 导数及其应用(A卷)
(时间:
90分钟 满分:
120分)
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,共50分.
1.下列各式正确的是( )
A.(sina)′=cosa(a为常数)
B.(cosx)′=sinx
C.(sinx)′=cosx
D.(x-5)′=-x-6
解析:
由导数公式知选项A中(sina)′=0;选项B中(cosx)′=-sinx;选项D中(x-5)′=-5x-6.只有C正确.
答案:
C
2.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=-2x-3D.y=-2x-2
解析:
∵y′==,
∴k=y′|x=-1==2,
∴切线方程为:
y+1=2(x+1),即y=2x+1.
答案:
A
3.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0
解析:
f(x)为奇函数且x>0时单调递增,所以x<0时单调递增,f′(x)>0;g(x)为偶函数且x>0时单调递增,所以x<0时单调递减,g′(x)<0.
答案:
B
4.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3处取得极值,则a=( )
A.2 B.3C.4 D.5
解析:
f′(x)=3x2+2ax+3,
∵f′(-3)=0.
∴3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,∴a=5.
答案:
D
5.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )
A.0≤a≤21B.a=0或a=7
C.a<0或a>21D.a=0或a=21
解析:
f′(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.
答案:
A
6.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列结论正确的是( )
A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数
B.在区间(1,3)内f(x)是减函数
C.在区间(4,5)内f(x)是增函数
D.在x=2时,f(x)取极小值
解析:
由图象可知,当x∈(4,5)时,f′(x)>0,
∴f(x)在(4,5)内为增函数.
答案:
C
7.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为( )
A.-5B.7
C.10D.-19
解析:
∵y′=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),
∴函数在[-2,-1]内单调递减,
最大值为f(-2)=2+a=2.
∴a=0,最小值为f(-1)=a-5=-5.
答案:
A
8.曲线y=x2-1与x轴围成图形的面积等于( )
A.B.
C.1D.
解析:
函数y=x2-1与x轴的交点为(-1,0),(1,0),且函数图象关于y轴对称,故所求面积为
S=2(1-x2)dx=2|=2×=.
答案:
D
9.设f(x)=则f(x)dx等于( )
A.B.
C.D.
解析:
f(x)dx=x2dx+dx
=x3|+lnx|=.
答案:
A
10.若函数f(x)在R上可导,且f(x)>f′(x),则当a>b时,下列不等式成立的是( )
A.eaf(a)>ebf(b)B.ebf(a)>eaf(b)
C.ebf(b)>eaf(a)D.eaf(b)>ebf(a)
解析:
∵′=
=<0,
∴y=单调递减,又a>b,
∴<,
∴eaf(b)>ebf(a).
答案:
D
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11.如果函数f(x)=x3-6bx+3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线,则实数b的取值范围是________.
解析:
存在与x轴平行的切线,即f′(x)=3x2-6b=0有解.
又∵x∈(0,1),∴b=∈.
答案:
12.函数y=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则a=________.
解析:
∵y′=3x2+2ax+b,
∴⇒或
当时,y′=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函数无极值,故a=4,b=-11.
答案:
4
13.如果圆柱的轴截面周长为定值4,则圆柱体积的最大值为________.
解析:
设圆柱的高为h,底面半径为R,根据条件4R+2h=4,得h=2-2R,0∴V=πR2h=πR2(2-2R)=2πR2-2πR3,
由V′=4πR-6πR2=0得R=,且当R∈时,函数V递增;R∈时,函数V递减,
故R=时,V取最大值π.
答案:
π
14.一动点P从原点出发,沿x轴运动,其速度v(t)=2-t(速度的正方向与x轴的正方向一致),则t=3时,动点P移动的路程为________.
解析:
由v(t)=2-t≥0得0≤t≤2,
∴t=3时,点P移动的路程为
s=(2-t)dt-(2-t)dt
=|-|=.
答案:
三、解答题:
本大题共4小题,满分50分.
15.(12分)已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在x=2处的切线方程;
(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.
解:
(1)∵y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线斜率k=y′|x=2=4.
又x=2时y=4,
∴在点P(2,4)处的切线方程:
4x-y-4=0.4分
(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,
则切线斜率k=y′|x=x0=x,
∴切线方程为y-=x(x-x0),
即y=x·x-x+.8分
∵点P(2,4)在切线上,
∴x-3x+4=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1,x0=2.
故所求的切线方程为y=x+2或y=4x-4,即4x-y-4=0或x-y+2=0.12分
16.(12分)设函数f(x)=aex++b(a>0).
(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;
(2)设曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
解:
(1)f′(x)=aex-,
当f′(x)>0,即x>-lna时,f(x)在(-lna,+∞)上递增;
当f′(x)<0,即x<-lna时,f(x)在(-∞,-lna)上递减.
①当00,f(x)在(0,-lna)上递减,在(-lna,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(-lna)=2+b;
②当a≥1时,-lna≤0,f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(0)=a++b.6分
(2)依题意f′
(2)=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-(舍去).
所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=.
故a=,b=.12分
17.(12分)若函数f(x)=ax2+2x-lnx在x=1处取得极值.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间及极值.
解:
(1)f′(x)=2ax+2-,
由f′
(1)=2a+=0,得a=-.4分
(2)f(x)=-x2+2x-lnx(x>0).
f′(x)=-x+2-=
由f′(x)=0,得x=1或x=2.8分
①当f′(x)>0时1②当f′(x)<0时02.
当x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
↗
-ln2
↘
因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).
函数的极小值为f
(1)=,极大值为f
(2)=-ln2.12分
18.(14分)已知两个函数f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x.
(1)若对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数c的取值范围;
(2)若对任意x1∈[-3,3],x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数c的取值范围.
解:
(1)∵f(x)≤g(x)恒成立,
∴c≥(-2x3+3x2+12x)max.
令F(x)=-2x3+3x2+12x,x∈[-3,3],
∴F′(x)=-6x2+6x+12,x∈[-3,3],
令F′(x)=0得x=-1或x=2.
∴当x∈[-1,2],f′(x)≥0,f(x)单调递增,
当x∈[-3,-1)或x∈(2,3],f′(x)<0,
f(x)单调递减,4分
又∵F
(2)=20,F(-3)=45,
∴F(x)max=F(-3)=45,∴c≥45.7分
(2)∵f(x1)=7(x1-2)2-28-c,x1∈[-3,3],
∴f(x1)max=f(-3)=147-c,
∵g(x)=2x3+4x2-40x,
∴g′(x)=6x2+8x-40.
∵x∈[-3,3],
∴当x∈[-3,2]时,g′(x)≤0,g(x)单调递减;
x∈(2,3)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.
∴x2∈[-3,3]时,g(x2)min=g
(2)=-48.10分
又∵f(x1)≤g(x2)对任意x1,x2∈[-3,3]都成立,
∴147-c≤-48,即c≥195,
即实数c的取值范围为[195,+∞).14分
单元测评
(二) 导数及其应用(B卷)
(时间:
90分钟 满分:
120分)
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,共50分.
1.函数f(x)在x=1处的导数为1,则
的值为( )
A.3 B.-
C.D.-
答案:
D
2.函数f(x)=axm(1-x)n在区间[0,1]上的图象如图所示,则m,n的值可能是( )
A.m=1,n=1B.m=1,n=2
C.m=2,n=1D.m=3,n=1
答案:
B
3.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为( )
A.B.
C.D.1
答案:
A
4.求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积,其中正确的是( )
A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dx
C.S=(y2-y)dxD.S=(y-)dy
解析:
两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y=x2与y=x所围成图形的面积S=
(x-x2)dx.
答案:
B
5.已知实数a,b,c,d成等比数列,且函数y=ln(x+2)-x,当x=b时取到极大值c,则ad等于( )
A.-1B.0
C.1D.2
解析:
y′=-1,令y′=0得x=-1,当-20,当x>-1时,y′<0,∴b=-1,c=ln(-1+2)-(-1)=1,∴ad=bc=-1,故选A.
答案:
A
6.下列图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导数f′(x)的图象,则f(-1)的值为( )
(1)
(2)
(3)
A.B.-
C.D.-或
解析:
f′(x)=x2+2ax+a2-1,其图象为开口向上的抛物线,故不是第一个图;第二个图中,a=0,f′(x)=x2-1,但已知a≠0,故f′(x)的图象为第三个图,∴f′(0)=0,∴a=±1,又其对