气象学中的分布函数.docx
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气象学中的分布函数
第二章气象学中的分布函数
上一章讨论的概念可以用于包括社会科学在内的众多学科。
本章则转向如何把它用于分析气象学所关注的种种气象现象。
正确地提出问题常常是科学地解决问题的先导。
这一章中我们的中心问题是效仿统计物理中的一些做法，从新的角度提出问题。
其中某些问题将在本书后边的几章中逐步予以解答。
但是仍留有一定数量的问题，我们并没有给出理论答案。
我们相信这些问题的提法是正确的。
希望在今后找出适当的理论解答。
而这类解答很可能是从统计物理原理、熵原理的角度找到的。
我们并没有用分布函数的概念去分析每个气象问题。
下面介绍的仅是初步分析得到的一些结果。
从中可以看到在云物理学中气象工作者早已用上了这种概念，仅是名称不同。
而在大气环流等研究中尚没有从这个角度提出问题。
第一节介绍的云物理学中的谱是直接与分布函数对应的。
而后边介绍的分布函数在概念上还要做些说明才能与大气流体的连续分布问题相对应。
这就使我们先对大气微团概念和统计方法做些讨论，此后再介绍一个个的分布。
§1云物理学中的谱
气象学领域内与分布函数相对应的概念是云物理领域中的“谱”。
云滴谱、雨滴谱、冰雹谱等等实际上都是分布函数。
任何一个云体都是由充分多的云滴或冰晶组成的。
这些云滴的直径（对冰晶也可以换算成相应的液态直径即直径当量）大小并不相等。
N个云滴中不同直径的云滴各占多少?
云滴直径与其对应的个数的关系在云物理中称为云滴谱，它恰好是我们定义的分布函数。
图2．1是云滴谱的一个实例，它是根据文献[1]绘成的。
图中显示它呈现为一种偏态的单峰分布。
直径为15—20微米的云滴最多。
它的分布形态实际对多数云体有代表性。
图2．1云滴谱示例
据[1]，1963年Khrgian和Mazin推荐用Ar2e-Br来计算半径在r→r+1区间内的云滴个数（A，B为两个常数）。
后边将看到我们依据熵极大原理导出了与此有别的谱方程[2]，（见第6章）。
云滴的数据要把仪器装在飞机上去收集，而雨滴大小与个数的观测可在地面上进行。
而早在1948年已由J．S．Marshall和W．M．Palmer指出[3]雨滴谱遵守负指数关系。
这样直径介于d→d+1之间的雨滴个数n（d）应为
（2．1）
这里A，B仍为参数。
此外，如把雪花融化后的液滴直径与其个数找关系，则也是负指数分布[4]。
而在图上如果垂直坐标取为个数的对数，负指数分布对应为一条直线。
图2．2是从文献[4]中转引的。
图中不同的直线对应于不同的降雪强度。
图2．2雪花的谱（D为融化后的相当直径）
有趣的是冰雹、霰的直径与其落地个数也多遵守负指数分布[5，6]。
当我们研究云滴谱、雨滴谱、雪、霰和冰雹谱时，实标是从云体或降水物中采集一群个数较多的个体。
它应当足够多，一则要对被观测总体（云，降水物）。
有代表性，另则要使不同直径的个体足够多，以减少观测误差。
按分布函数的含义，由N个元素组成的样本总体就是一个集合，而直径（对应前面讲的物理量x）的值与其对应的个数的关系就是分布函数。
此函数值被N去除就是相对分布函数。
这个函数也可以从随机抽样的角度去认识，即从云体或降水物中任取一个个体，把谱函数的值被N去除，则恰好对应直径为不同值的个体的出现概率（实为概率密度）。
这也就是我们设想的理想实验所应得到的函数。
这又使我们认识到，原来云物理中研究的各种谱实际都与对应的概率密度分布函数是一回事。
因而可以认为在云物理学中早巳使用了这里强调的分布函数这个概念。
§2粒子与空气微团
统计物理时常强调它是通过对微观过程的分析从而统计地得出宏观参量的规律性。
电子、原子、分子等等是那里分析的典型微观单元。
它们通常被通称为“粒子”。
宏观系统中常包含着大量的微观粒子。
宏观系统中含有的微观粒子个数的典型数值是与阿伏伽德罗常数的数量级——1023相当的。
当我们想借助统计物理思路研究气象问题时，不是重复在统计物理中已经作过的研究，而是把它的思想、方法用到气象上。
那么，什么是气象上的微观粒子，什么又是由大量微观粒子组成的宏观系统呢?
前面对云滴的分析实际颇有代表性。
我们可以把大小不等的云滴看成微观粒子，而从地面上看到的一片片、一朵朵云不妨认为对应于宏观的云体。
这里的微观与宏观的研究对象和统计物理中的微观，宏观研究对象很易于对应起来。
对于连续变化的气象要素场，微观粒子的概念就不那么明确了。
气压场上、温度场上的基本粒子显然不能是空气中的氮、氧分子。
对单个的分子也谈不上它的气压或温度值。
当把某一气象要素场——例如亚洲区域的某等压面的温度场做为研究对象时，什么是宏观的研究对象应当是清楚的--这就是整个要素场（亚洲区的温度场）。
而微观的研究对象应当比宏观总体小很多，又应当对每个微观单元都有唯一的要素值。
换句话说，我们可以在大气这个连续介质中任选大小适度的一块作为微观粒子，不过这个“粒子”必须足够小，使其具有的气象要素仅能（在一个时刻）有一个值而不允许有多个值；另一方面，这个“粒子”又要足够大，它应当大到一定程度以保证诸如气压、温度、比湿……等等这些气象变量在该“粒子”上含义明确。
显然，在中高纬度地区，我们不能把上百万平方公里地区的大气视为一个粒子。
因为这么大的区域气象要素不会仅有一个值。
另一方面以单个分子为粒子也不行，因为它的“气压”、“温度”毫无物理意义。
那么具体把多大的一块空气视为粒子才妥当呢?
我们觉得只要选用动力气象中早已惯用的“空气微团”概念，这个问题就妥当地解决了。
空气微团实际上恰好满足前面提出不能过大又不能过小的要求。
换言之，对于连续介质的空气而言，其“微观粒子”与动力气象中讲的“微团”可以认为是一回事。
这个结论一方面使我们的研究对象与动力气象相一致，另一方面又与统计物理中的粒子相一致。
它有助于我们引用统计物理中的概念与方法；又利于使引出的结论与动力气象相调协。
表2．1是从文献[7]中引来的。
它清楚地列出了气象上的微观粒子与统计物理中的微观粒子的异同点。
表2.1统计物理与气象学中研究对象的微观、宏观尺度对比
统计物理领域
气象领域
单元（粒子）名称
分子
电子
空气微团
云滴
典型的粒子大小
10—8cm
10—12cm
10cm
10-3cm
对应的宏观系统名
气体
金属
天气系统或大气环流总体
云
典型的宏观系统大小
一瓶气体
一段导线
包围一个国家或全地球的大气
一片云
宏观系统与单元（粒子）的典型比值
1023
1023
1021
1010
微观对象可观测性
难
难
容易
难
宏观对象可观测性
容易
容易
难（有了卫星也容易）
容易
解决的典型问题示例
麦克斯韦的分子速率分布
金属中自由电子的热容量
风速的相对分布
初始云滴谱分布
表2．1中把“空气微团”的粒子大小标为10cm。
这是针对气象观测中仪器的感应部件的尺度而填上的。
在数值预告等计算中，一方面理论上要求此粒子应当是无限小的，另一方面在实际计算时，则把水平方向的上百公里内的空气视为一个点（粒子）。
所以空气微团的大小可以有几个数量级的差别也是允许的。
§3场的分布函数的一些计算方法
给定了一个气象要素场--如一个温度场，不仅知道了在要素场内每一个几何位置上的气象要素的取值，也应该从中计算出相应的分布函数来。
如何从要素场计算出分布函数来呢?
根据分布函数的含义，这实际是求出气象要素为不同数值的空气含量。
例如要求出温度为0℃到1℃的空气有多少，温度在T→T+ΔT范围的空气有多少等。
显然，只要把要素场切割成充分多的小块（微团），统计某要素具有各种特定值的空气块的个数（或质量数）就可以从要素场中求出这个函数来。
第一章的表1.2和1.4已经对此作了原则说明。
这里结合后边常用到的两种特定情况，即要素场为某层的全北（或南）半球大气或从地面到大气上界的剖面时，把具体计算办法介绍一下。
3．1一层大气
气象上经常分析某一特定层如500hPa大气的某气象要素的地理分布。
此时大气总体对应于总面积，而要素取某特定值的大气的数量也是指对应的面积是多少。
这里的核心问题是弄清楚如何把这一层大气分成若干小面积和每个小面积（对应于空气微团）究竟有多大。
对此我们在统计中采用了两种办法，一种是用于分析好了半球图上的气象要素等值线的场合，另一种用于已知标准网格点上的气象要素值的场合。
在分析好了的等值线图上，求算各要素值占有多大面积是用手工进行的。
此时采样点不宜过多，否则工作量过大。
我们在半球上把面积分成240块，且规定每块都代表相同大小的面积。
这样从天气图（要素场）上读取240个点的要素值，再依表2．2的格式求出要素取不同值时的样本点个数，那么个数与要素值的关系就是分布函数。
图2.3纬带面积的计算
由于每个纬带占的面积并不相等，我们规定每个纬度带的采样点数正比例于该纬度带的面积。
这样就保证了各纬圈上的采样点代表了相同的面积。
从图2．3上可以看出从纬度φ到φ+ΔΦ内的地球表面积ΔS应有
（2．2）
此处R为地球半径。
它表明纬带面积是与纬度的余弦值cosφ成正比的。
所以各纬圈采样点的个数与cosφ成正比就可以了。
表2．2就具体给出了各纬圈的采样点个数。
它是针对半球天气图而言的。
把它用于全球也可以，此时在赤道（0）上要采样42个而其他纬圈分南北半球依表中个数采样即可。
表2．2半球天气图上各纬圈采样个数
纬度
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
合计
个数
21
41
39
36
32
28
21
14
7
1
240
由于半球面积为2πR2，即约为5×108km2，故每个样本代表总面积的1/240，即约为2.1×106km2。
表2．3是在500hPa等压面图上计算位势高度的分布函数时的一个采样示例。
它是依表2.2在天气图上采集240个点的等压面位势高度值各依表1.2格式整理出来的。
表中除给出点子个数外还列出了相对面积（%）。
它是以240除点子个数而得的结果。
此结果显示500hPa的位势高度为双峰分布。
表2.3对500hPa的位势高度的一个采样的处理结果（位势高度的单位：
位势什米）
位势高度
496-
506
506-
516
516-
526
526-
536
536-
546
546-
556
556-
576
566-
576
576-
586
点数
28
38
15
13
15
22
52
45
12
%
11.6
15.8
6.2
5.4
6.2
9.2
21.7
18.8
5
上述采样办法可称做均匀采样。
如果原始的气象要素场是由给出各标准经纬格点上的要素值的办法提供的，这就是俗称的网格点资料。
此时，每个格点所代表的面积不同，这个面积Si，可由下式算得：
（2．3）
其中R是地球半径，Φ是地球纬度，n是纬向格点数。
（2．3）式与（2．2）式等价。
在计算不同要素值占有的面积时，先用（2．3）式算得每个格点代表的面积，再把要素划分成若干个区间（A，A+ΔA）。
把要素值为同一区间的点所对应的面积S加在一起，就可得到要素的面积分布。
这些计算可由电子计算机去做。
3．2整层大气
如果我们把研究范围由一层大气扩大到整层大气，这时大气总体对应于全球（或半球）大气总质量。
要研究的问题是要素取某特定值的大气质量是多少。
这就需要把全球（或半球）大气分成若干个空气块，每个空气块的大小对应于空气微团。
先看在大气某一剖面上的分块办法（或采样办法）。
由于我们通常所得到的资料都是标准等压面上的，所以垂直坐标按标准等压面划分。
又由于气压随高度是按指数递减的，而标准等压面的确定并没有循这一规律，所以按标准等压面划分出的空气块的质量大小不一。
因而需要把它们逐一计算出来。
附录A列出的是垂直坐标从1000hPa到20hPa按标准等压面划分成14块，水平坐标按标准纬度划分时每块空气的质量。
空气块的质量的计算式为（对于半球）
（2．4）
其中P是标准等压面的气压。
附录A只列出北半球部分，南半球与其对称，对于全球大气时，纬度0度的数据需乘2。
要计算不同要素值占有的大气质量，只需先将气象要素划分成若干个区间（A，A+ΔA），再对照附录A把要素为同一区间的点所对应的质量M加在一起，即可得到要素的质量分布。
表2.4列出的是从全球纬向平均图上算得的大气位能质量分布。
表2.4从全球纬向平均图上算得的大气不同位能占椐的大气相对质量（%）分布（位能单位：
104J／Kg）
位能
0-2
2-4
4-6
6-
8
8-
10
10-
12
12-
14
14-
16
16-
18
18-
20
20-
22
22-
24
%
23.7
16.2
16.5
10.0
9.3
6.5
6.7
2.0
3.1
1.8
1.6
1.9
把一层大气和剖面上的大气分块办法和起来，就可得到整层大气的分块（采样）办法。
例如，已有标准等压面上的网格点资料，要计算要素的质量分布。
先计算每一块空气的质量M，其计算公式是
（2．5）：
其中Si由（2．3）式给出。
我们把要素划分成若干区间（A，A+ΔA），再把要素值属于同一区间的点所对应的质量mi，加在一起即可。
这些计算也都可以由电子计算机去做。
§4风和压、温，湿的分布函数
应用空气微团的概念，我们可以把气象要素场这个连续介质离散化，把它看成是由一块块空气微团组成的，每一个微团里任一物理量不能出现多值。
然后，把空气微团与粒子等同起来，就可以直接沿用统计物理的思想方法去找气象要素场的分布函数了。
这里介绍几个最常用的气象要素场的分布函数，它们都是从实际资料中直接求算出来的。
对于这些分布函数，本节仅限于事实的揭示，其物理解释后论。
本节所用资料都取自《全球大气环流时间平均统计图集》。
4．1风的分布函数
在地球大气中，不同地点的空气运动速度不同，这就构成了大气风场。
如果我们仅从统计的角度分析它，而不去追究每一几何点的风速，就会提出这样一个问题：
全球大气中有百分之多少质量的大气，其风速介于（u，u+Δu）之间。
也就是说，我们把大气分成许多块，每一块都有一个确定的风速值，并且也有确定的质量。
在这些空气块中，风速为（u，u+Δu）的有多少?
它们的质量总和占大气总质量的百分之几?
由此得出的按风速大小分配的质量百分率就是风速的质量分布函数。
与著名的麦克斯韦分子运动速率方程相对照，这里的空气微团等同于分子，这里的每一块空气微团的风速等同于分子运动速率。
这里介绍的风速分布函数是不同风速大小的空气有多重，而分子运动速率方程论及的是不同速率的分子有多少个。
可见，这两个速度分布问题也有类似性。
文献（8）提供的资料已经过纬向平均，因而它给出的是一张风速的纬向、时间平均图。
基于这类资料，找风速分布函数的具体做法是：
●在给出的风速纬向、时间平均图上，水平方向每10个纬度为一格，垂直方向按给出的标准等压面划分格。
其划出14X19个格点，读取每个格点上的风速值；
●算出每个格点所代表的大气质量（参见附录A）；
●把风速值以Δu=5m/s为间隔划分区间，如（0，5）、（5,10）。
对照附录A，把风速为同一区间的点所对应的质量加起来，就得到了不同大小的风速所占有的大气质量是多少。
再将这个数除以大气总质量，就可得到不同大小的风速所占有的大气相对质量。
至此，风速相对分布函数就求出来了。
表2.5在多年平均图上求得的全球大气风速分布
风速
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
质量%
52.0
18.4
10.7
8.0
6.0
3.0
0.5
1.1
表2．5列出的是在多年平均图上求出的全球大气风速分布。
为看起来直观明了，我们把它画成直方图，图2.4中的长方柱就是根据表2．5画出的，从长方柱的分布情况看，柱的高度（风速为u±5的大气相对质量）随着风速增大单调降低。
‘即风速较大的大气质量少，风速较小的大气质量多。
对此分布，我们试着配出了一个指数分布函数（见图中光滑的曲线），即
（2．6）
其中a为全球大气平均风速，其值为8.13m/s。
从图中看出，曲线与直方图拟合得相当好。
经χ2检验，它顺利通过了置信度为0．05的假设检验。
可以认为，全球大气的风速分布是指数分布。
为了考察这个分布函数的稳定性，我们又做了北半球是春、夏、秋、冬各季平均的风速分布，结果它们也都是指数分布[9]。
图2.4全球大气多年平均风速分布，a=8.13m/s
从实际大气风速场的情况看，得到风速分布函数为指数函数是可以理解的。
在地球大气中，南北半球的对流层上部各有一个急流带，它们是地球大气风速极值所在地。
急流带狭长且位于中纬度的对流层上部，因而，它占有的大气质量当然不会多。
而更多的大气具有的风速比较小，如对流层中下层,20°S一20°N的低纬大气等。
所以风速小的大气占的大气质量多，而风速大的占有的质量少是在意料中的。
而现在的研究则明确了这个下降函数符合负指数分布。
4．2气压的分布函数
我们知道，在地球大气中，不同地点的气压值是不同的。
天气图上的高低压区就显示了某一等高面上的气压不同；而常用的压高公式又显示了竖直方向的气压不同。
那么我们要问不同气压值的大气各有多少?
它们占大气总质量的百分之几？
这就是一个气压分布问题。
与前述风的分布类似，更详细的解释是把地球大气分成许多块，每一块都有特定的气压值和质量大小，要找出气压为的大气质量是多少，它占大气总质量的百分之几。
下面我们求这个分布函数。
设气压为（p，p+Δp）的大气质量是Δm，那么质量应为密度p与体积的乘积，而体积又可写成面积s与厚度Δz之积，考虑到z的正方向是从地面指向上的，而Δz>0时Δm<0，所以有
（2.7）
将压力高度公式（静力方程）
（2.8）
代入上式，得
（2.9）
依定义，气压相对分布函数f（p）应为
（2.10）
式中的M0是地球大气的总质量。
气象学早已指出作用在地面上的大气压力p0（p0=1013．5hPa）与其上全部大气质量产生的重力相同，故依牛顿第二定律有
（2.11）
S是全地球的表面积，综合（2．9）、（2.10）、（2.11），得
（2.12）
上式表明气压的相对分布函数是个常数。
它表明，只要气压在0→p0的范围内，气压为任何值的大气质量都相等，而质量相对分布函数等于1/p0。
这种分布在概率论中被称做均匀分布。
表2．6地球上不同的地势高度所占有的地球
表面积和大气质量（潘安定先生提供）
地势高度（m）
大气厚度（hPa）
占的面积（1012m2）
占的大气质量（1016kg）
相对质量%
3000以上
395
8.5
3.423
0.665
3000-2000
95
11.2
1.085
0.210
2000-1000
95
22.6
2.189
0.424
1000-500
50
28.9
1.473
0.285
500-200
45
39.9
1.830
0.355
200-0
23
37.0
0.8674
0.168
0以下
20
0.8
0.01631
0.003161
如果地球表面所有的地方都是同高度，没有隆起和下凹。
我们经分析得出的气压分布式（2.12）是可以直接用于地球大气的。
但实际情况并非如此。
我们知道，地球表面上有高原、山脉、盆地、海洋、洼地，所有这些使得地球表面凹凸不平。
在计算气压分布函数时，隆起的地方会使那个高度的气压值所占有的大气质量变小，等于把均匀分布函数的图形斜着挖去了一块；而下凹的地方又会使图形的右边界向右拉伸变形。
这样一来，实际大气的气压分布还是否是均匀分布?
为此，我们以海平面为零高度，对高于和低于它的那部地形所占的大气质量做了计算。
表2．6列出的是地球上不同的地势高度所占有的地球表面积和大气质量。
可以看出，高出海平面部分的地形挖去的大气质量是0.1087×1013kg，它占大气总质量（5.16×1018kg）的2．1％。
而低于海平面部分的洼地增加出来的大气质量是1．631×1014kg．占大气，总质量的0．003161％，并且使气压值的右边界由1013hPa延伸至1036hPa。
这就是使均匀分布函数图形发生变形的部分，这个数量是很小的，它比大气总质量小了一个数量级以上，因而在一级近似下是可以忽略的所以，我们可以认为地球大气的气压分布是均匀分布（见图2．5）。
图2.5全球大气压力分布
4.3温度的分布函数
气温因地点不同而异，这也是众所周知的。
因而，我们同样又提出了气温的分布问题。
与全球大气风速分布的计算方法相同，我们找到了气温的分布，算出的气温与大气相对质量的关系（见图2．6）。
图2.6全球大气年平均气温分布
图2．6中的长方柱的高度就是由实测资料算得的温度为不同值的大气相对质量的大小。
可以看出，柱体全部集中在某一有限范围，并且柱高近于相等。
这启示我们把它视为均匀分布。
即温度的分布函数可写为
a≤T≤b（2．13）
式中的a，b分别是地球大气温度变化的下限和上限。
对于多年平均的全球大气来说，其下限a=201°K而上限b=298°K。
所以，图2.6中的长方柱所拟合的函数应是
201≤T≤298（2．14）
（2.14）式在图上表现为一个矩形。
可以看出，矩形与直方柱拟合得较好。
经检验，它顺利地通过了置信度为0.05的χ2检验。
因而，可以认为，全球大气年平均气温分布是均匀分布。
此外，我们还分别做了全球和北半球的四季的大气温度分布。
它们也都符合均匀分布。
这表明均匀分布并不是由于用了年平均资料而光滑出来的，而是大气各季都稳定在这种分布形态下（参数值有异）。
4．4大气比湿分布
地球大气中各处的比湿q（每千克空气中水分的克数）不尽相同，这同样引出不同比湿值的大气各为多少的问题。
我们仿计算风速分布的方案也计算了比湿的分布函数。
（见图2．7）。
由图2.7可见随着比湿值q由小变大，长方柱的高度（即不同值的比湿所占的大气相对质量）单调地由高变低。
这种分布形式很象前述的全球大气风速分布形式，因而也给它配了一个负指数分布函数
（2．15）
式中a是全球大气平均比湿，对于多年平均而言，我们有a=3.08g/kg。
图2.7中的光滑曲线就是这个函数的曲线。
可以看到，它们拟合得还是比较好的。
经检验，它顺利地通过了置信度为0.05的χ2检验。
（2.15）式对算出的全球大气北半球四季的比湿分布也适合，可见此分布具有稳定性。
在文献[9]中，作者用熵极大原理导出了大气比湿分布也是负指数分布。
这是很值得欣慰的。
有了理论推导与实测资料的计算结果的吻合，我们就可以确认，大气比湿分布就是负指数分布。
图2.7全球大气年平均比湿分布，a=1.839g/kg
在地球大气中，水汽都集中在对流层中下部，且在70°N一70°S之间。
越向大气高层，越向两极，水汽迅速减少到零。
比湿就是表示大气中水汽多少的量。
有大部份的大气水汽含量很少，只有少部份的大气水汽含量较多，基于这样的实际状况算出的比湿分布为负指数分布是完全可理解的。
4．5大气位温分布
在气象上，为了便于比较不同气压下空气的热状态，常采用位温这个参量。
其定义是：
气块从它原有的压强和温度情况
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